第二章：真分数理论（真分数模型：概念、假设、平行测验）

第二章真分数理论

真分数理论 是心理和教育测量学发展历史中最早实现数学形式化的测量理论。
从19世纪末开始酝酿、兴起 ⟶\longrightarrow⟶ 20世纪30年代逐渐趋于成熟。
当前，尽管概括力理论与项目反应理论等现代测量理论实现了多方位的突破，开辟了测量理论发展的新阶段，但经典的真分数理论仍然在测验实际工作中保留着强有力的影响，发挥着重要的指导作用。他依然是影响最为广泛的一种测量理论。
真分数理论提出了真分数模型，并据此展开其理论体系，它的核心内容就是经典的信度理论。同时，它对测验编制和效度验证也提出了许多策略和技术。

第一节真分数模型

真分数概念

测量就是给研究对象指定值。
观测值（观察分数）： 这种在测量工具上直接得到的值，就叫观测值，在心理与教育测量中又叫观察分数。
真分数： 被测对象在测量工具所测特性上的真实值，并不就是直接得到的观测值，他是观察分数跟误差分数的一个差值。这种不能直接观察测量到的真值，在心理与教育测量场合就是被试所具有的真分数。
如果进行无限多次测量，得到的观察分数的平均数或者说期望值，就会使被观察对象的真值。即：

若有测量ggg，对特定被试aaa多次施测，其真分数记为τgaτ_{ga}τga ，而观察分数记为XgaX_{ga}Xga ，则
τga≡ξXgaτ_{ga} ≡ ξX_{ga} τga≡ξXga
这里，ξ是去期望的符号。式（1）把真分数定义为观察分数的期望值。 ⟶\longrightarrow⟶ 这里人们采用的式概率模型。这是一种广为人们接受的、构成经典的真分数理论基石的重要观念。
包含在观察分数中的误差有两种：随机误差、系统误差

随机误差：它是由大量原因不明、作用方向相互对立、影响分量都不大而彼此类似的因素所造成的；（本书所考察的误差专指随机误差）

系统误差：它是由少数作用效果显著、作用方向一致的特定因素所造成的。比如被试的成熟、所受教育影响等。

真分数理论的假设

经典的真分数理论提出了三个方面的基本假设，它的信度理论等就是由这些基本假设演绎展开而构建起来的。他们是经典真分数理论大厦的逻辑前提。

假设一，在所讨论的问题范围内，真分数不变，即个体具有恒定的特质，其分量一定，取值是常数。

在考虑测量理论框架的逻辑前提时，真分数究竟指的是什么无所谓，唯一要明确的，就是真分数所指代的被试特质必须具有某种程度的稳定性。至少在我们讨论问题的内容范围内、所经历的时间过程中，其值应该是不变的，保持恒定。否则，真分数理论就无法展开。

从这一假设看来，心理和教育测量的真分数理论更多的是借鉴物理测量的经验。

从较为粗放的角度来看，心理特质也可视为结构固定、取值恒常的。这是真分数理论能为人们接受的客观基础。
假设二，误差是完全随机的。这有两层意思：

（1）测量误差是平均数（期望值）为零的正态随机变量。

多次测量中误差有正有负，但是，当重复测量次数特别多，这种正负偏差会两相抵消，测量误差的平均数恰好为零。若测量误差记为E，则
ξE=0ξE = 0 ξE=0
测量误差服从以零为平均数的正态分布，这是18世纪人们才取得的一种科学认识，是概率统计与测量学发展中的重要成果。

（2）测量误差跟被测量心理特质即真分数间相互独立。又被称为独立性假设。

不仅如此，测量误差之间、测量误差跟被测特质外其他变量间，亦彼此相互独立。

总之，测量误差是一种独立的随机变量。若ρ为求相关的符号，则
ρET=0ρ_{ET} = 0 ρET=0

ρ(E1,E2)=0ρ(E_1,E_2) = 0 ρ(E1,E2)=0

ρ(E1,T2)=0ρ(E_1,T_2) = 0 ρ(E1,T2)=0

（3）假设三，观察分数（X）是真分数（T）与误差分数（E）的和。

可以建立下式
X=T+EX = T + E X=T+E
这是经典真分数理论中最重要、最本源的一个关系式。所谓真分数模型常常就用这个关系式来代表。

总之，观察分数是真分数值的函数（线性函数）。
- 从以上假设我们可以推出的结论： 观察分数的方差等于真分数方差加误差分数方差。若记σ2σ^2σ2 为方差，则有：
  σx2=σT2+σE2σ^2_x = σ^2_T + σ^2_E σx2=σT2+σE2
  式（6）已说明，观察分数式两个分数的合成分数。合成分数的方差式两因素分数方差和再加上两因素相关系数跟两因素分数标准差的积的二倍，有
  σx2=σT2+σE2+2ρTEσTσEσ^2_x = σ^2_T + σ^2_E +2ρ_{TE}σ_Tσ_E σx2=σT2+σE2+2ρTEσTσE
  其中，σTσ_TσT 和σEσ_EσE 分别是真分数与误差分数的标准差。式（3）说明ρTEρ_{TE}ρTE = 0，所以式（7）成立。

平行测验

经典的真分数理论要建立自己的理论框架，特别是要建立自己的信度理论还要依靠平行测验这个概念。
平行测验 就是能以相同的程度测量同一心理特质的两个或多个测验。

两个测验若真属平行，内容和形式可能完全相同，也可能有差异。关键是要能以相同程度测到同一心理特质。
从数学角度：若有测量X和X‘X^`X‘ ，使得
X=T+E,X‘=T+E‘X = T + E , X^` = T + E^` X=T+E,X‘=T+E‘
和
σ2(E)=σ2(E‘)σ^2(E) = σ^2(E^`) σ2(E)=σ2(E‘)
这种测量称为平行测量。
平行测量又称为平行性假设 ：两测量测同一特质若其测量误差的方差能够相等，就是平行测量。
误差分数的方差 用一个同一符号σE2σ^2_EσE2 来代表。⟶\longrightarrow⟶ 这是经典的真分数理论在独立性与平行性假设下，误差分数的一个重要而极为有用的性质。

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