【逻辑学知识】自然推理系统

一、自然推理是什么？

所谓自然推理，就是从给定的前提命题出发，运用演绎推理的有效式即根据演绎推理规则进行的推理。属“演绎推理”，前提命题的合取(∧)蕴涵(→)结论命题。自然推理和公理化推理不同，它不预设公理，只是根据规则，从给定的前提命题出发得出结论命题。这似乎更符合人们日常思维的习惯，因此，称之为自然推理。自然推理是判定推理形式有效的一种方法。自然推理的基本思想是确定一些推理规则，这些规则具有保真性，也就是说，依据这些规则，从真前提只会推出真结论。

二、自然推理系统的组成

由以下三部分要素组成:

1.字母表:(1)命题变项符号p；q；r；---；(2)联结词符号:

￢(非)；

∧(合取)；∨(析取)；

→(蕴涵)；

↔(等值)；

(同时表示运算优先级)

(3)括号与逗号:()；，。2.合式公式集3.推理规则

三、基本规则1、前提引入规则，在推理的任何一步都可以引入前提，这条规则为p规则。2、重言蕴涵规则，如果在推理中有一些在先的命题，它们的合取(∧)重言地蕴涵(→)A，那么，在推理中就可以引入命题A，这条规则为T规则。3、条件证明规则，如果能从假定前提A和一组前提R推出B，那么，可以从这组前提推出(A→B)，这条规则为C·P规则。即：R∧A→B与 R→(A→B)是等值的，写成公式：

R∧A → B↔R →(A→B)

C·P规则(输出律)的证明：

R → (A→B)↔￢R∨(A→B)↔￢R∨(￢A∨B)↔(￢R∨￢A)∨B

↔￢(R∧A)∨B↔R∧A → B

即：R →(A→B)↔R∧A → B

上述证明应用了：

实质蕴涵律：p→q↔￢p∨q

德摩根律：￢(p∧q)↔￢p∨￢q

￢(p ∨q)↔￢p ∧￢q

结合律：p∨(q∨r)↔(p∨q)∨r

p∧(q∧r)↔(p∧q)∧r

四、例子

例1

在自然推理系统中构造下面推理的证明:

前提 :  p∨q， q→r， p→s，￢s

结论:r∧(p∨q)

证明:①p→sp规则前提引入②￢sp规则前提引入③￢pT规则①②(p→s)∧￢s→￢p④p∨qp规则前提引入

⑤qT规则③④析取三段式

⑥q→rp规则前提引入

⑦rT规则⑤⑥假言推理(q→r)∧q →r

⑧r∧(p∨q)T规则④⑦合取，得证。

例2

在一起案件中，侦查人员了解到如下一些情况：

(1)甲和乙不同时作案；

(2)如果丙作案，那么乙也作案；

(3)如果丁作案，那么甲也作案；

(4)或者戊和己不同时作案，或者丙作案。

据此，侦查人员做出推断，如果丁和己一同作案，那么戊不会作案(即要得出s∧u→￢t )。

问：这一推断正确吗？

解：用符号表示如下命题：

p：甲作案

q：乙作案

r：丙作案

s：丁作案

t：戊作案

u：己作案

推断如下：

(1)甲和乙不同时作案￢(p∧q)                  p规则前提引入

(2)如果丙作案，那么乙也作案     r→q                   p规则前提引入

(3)如果丁作案，那么甲也作案     s→p                   p规则前提引入

(4)戊和己不同时作案或者丙作案￢(t∧u) ∨r              p规则前提引入

(5)如果丁和己一同作案          s∧u             假定前提引入

(6)丁作案                         s             T规则(5)

(7)甲作案                         p             T规则(3)(6)

(8)甲不作案或者乙不作案￢p∨￢q            T规则(1)  德摩根律

(9)乙不作案￢q               T规则(7)(8)

(10)丙不作案￢r                T规则(2)(9)

(11)戊和己不同时作案￢(t∧u)              T规则(4)(10)

(12)戊不作案或者己不作案￢t∨￢u             T规则(11)  德摩根律

(13)己作案                         u                T规则(5)

(14)戊不作案￢t                  T规则(12)(13)

(15)那么戊不作案                s∧u →￢t              C·P规则(5)(14)

所以，侦查人员的推断正确。

例3

在自然推理系统中构造下面推理(复杂构成式二难推理)的证明 :

(p→q)∧(r→s)∧(p∨r) → (q∨s)

证明 : 用归谬法

①  如果￢(q∨s)     p规则 假设前提引入

②￢q∧￢s             T规则 ① 德摩根律

③￢q                     T规则 ② 简化律

④  p→q                  p规则 前提引入⑤￢p                     T规则③ ④  假言推理(否定后件式)⑥￢s                      T规则 ② 简化律⑦  r→s                   前提引入⑧￢r                      T规则⑥ ⑦  假言推理(否定后件式)⑨  p∨r                   前提引入⑩  r                         T规则   ⑤ ⑨ 析取三段论⑾  p                        T规则 ⑧ ⑨析取三段论⑿￢r∧r  ，￢p∧p      T规则⑧ ⑩合取， T规则⑤ ⑾合取⒀  那么(￢(q∨s) →(￢r∧r))  →   (q∨s)C·P规则①⑿

从假设前提￢(q∨s)推出相互矛盾的命题￢r∧r，得出q∨s为真的结论。

和数学一样，形式逻辑学提供一般的推理方法，这些方法可以应用于各门学科。

正在尝试应用自然推理系统于化学教学之中。

例4

(1)工业上可用组成为K2O∙M2O3∙ 2RO2∙ nH2O的无机材料纯化氢气。

①已知元素M、R均位于元素周期表中第3周期，两种元素原子的质子数之和为27，则R的原子结构示意图为。

解：推理过程如下：

(1) 有K2O∙M2O3∙ 2RO2∙ nH2O(P规则 前提引入)

(2) 得M2O3和RO2(T规则 由1)

(3) 有O2-(前提引入)

(4)有电中性规则               (前提引入)

(5) 得M3+和R4+(由2、3、4)

(6)有第三周期元素Na(11，1+)，Mg(12，2+)，Al(13，3+)，Si(14，4+)，P(15，3+，5+，3-)，S(16，2-，4+，6+)，Cl(17，1-，1+，3+，5+)，Ar(18，0)(前提引入)

(7) 元素M、R均位于元素周期表中第3周期      (前提引入)

(8)Z(M) + Z(R)  = 27(前提引入)

(9) 得M = Al和R =Si(由5，6，7，8)

(10)有Si的原子结构示意图如下图   (前提引入)

(11)得R的原子结构示意如下图     (由8、9)

这样形式的解题应该有助于清晰学生思想过程。

实际上，我们很多的日常工作应用的就是自然推理系统。

自然推理和公理化推理不同，它不预设公理，只是根据规则(逻辑规则和学科规则，逻辑学不管学科规则)，从给定的前提命题出发推出结论命题。

至今中国还没有人应用公理化方法建立过理论体系。

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