离散信号分解与卷积和

前面学信号，数字信号，一直没想清楚卷积，冲击信号，冲击响应，系统响应的关系

首先是单位冲击信号，它是单位脉冲的理想化（我的理解），特别注意 n，说明很多点，只是除了0，其它都没有值。

δ[n−k] 是 δ[n]的时间移位，再加权 x(k)δ[n−k]

任何离散时间信号都可以看成是由离散时间单位脉冲组成的。

这个自己百度看博客理解吧，很简单。

说明离散信号可以拆成一个一个的加权时移的单位脉冲，

现在假设 δ[n] 通过线性时不变系统的响应是 h[n]

根据线性时不变特性，对 δ[n] 加权时移 x(k)δ[n−k] 那么它的响应也应该加权时移 x(k)h[n−k] 这能理解吧。

上面提到x[n] 可以拆分为很多的单位冲击信号加权时移，然后相加组合而成

那响应是不是也可以，把信号拆分以后，分别通过线性时不变系统后，在加起来呢，肯定可以啊，都说是线性时不变系统了。

δ[n] -----------------> h[n]

x(0)δ[n] ------------------> x(0)h[n]

x(1)δ[n-1] ------------------> x(1)h[n-1]

x(2)δ[n-2] ------------------> x(2)h[n-2]

x(3)δ[n-3] ------------------> x(3)h[n-3]

............. .................

x(k)δ[n-k] ------------------> x(k)h[n-k]

左右两边求和，不就是x(n),和响应 y(n) 么

左边求和

x(n)=x(0)δ[n] +x(2)δ[n-2]+x(3)δ[n-3] .......+x(k)δ[n-k]

右边求和

y(n)=x(0)h[n]+ x(1)h[n-1]+x(2)h[n-2]+x(3)h[n-3]+...............+x(k)h[n-k]

这不就是卷积吗，卷积求序列的系统响应吗，天啊，我居然懂了，看网上啰嗦半天，不就拆开，加权，时移，求和嘛。

对比学习：

论点1：任意周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和
论点2：任意非周期信号都可以表示为正弦信号的加权积分

根据欧拉公式，三角函数转换为复指数形式

$x[n]=e^{jwn}=coswn+jsinwn$

特征函数以及特征值定义：

一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则称该信号为系统的特征函数（eigenfunction），而幅度因子称为系统的特征值（eigenvalue）。

证明了连续复指数信号 $e^{st}$ 是LTI系统的特征函数，而常数 $H(s)$ 就是与特征函数 $e^{st}$ 有关的特征值。

证明离散复指数信号 $x[n]=z^{n}$ 是LTI系统的特征函数

由傅里叶分析可知，连续和离散时间复指数信号集都具有上述两个性质，即连续时间的 $e^{st}$ 和离散时间的 $z^{n}$ ，其中s和z都是复数。

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