动态规划——零钱兑换问题

零钱兑换问题 I

1、题目：力扣原题

2、分析

（1）结合我们之前分析的（动态规划解决背包问题），这里硬币有无限个对应完全背包问题。但又存在一点区别：纯完全背包是能否凑成总的金额，本题是要求凑成总金额的组合个数。

（2）要注意是求解组合还是排列问题。例如 221 和121可以表示一种组合或者两种排列。组合之间不强调元素之间的顺序，而排列强调元素之间的顺序。

DP五部曲分析如下：

1）确定dp含义

dp[j]: 表示凑成总金额j可以得到的货币组合总数；

2）确定递推公式‘’

dp[j] （考虑coins[i]的组合总和）就是所有的dp[j - coins[i]]（不考虑coins[i]）相加。

所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];

（求装满背包有几种方法，一般公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];）

3）初始化

dp[0]=1,表示凑成金额为0的货币组合数为1；

4）确定遍历顺序

这里就要根据上面讨论的来进行区别，题目是要求组合数还是排列数需要对遍历顺序进行处理。因为纯完全背包求得是能否凑成总和，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！

而本题要求凑成总和的组合数，元素之间要求没有顺序。所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的。本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。

为了清晰对比，我们对两个for循环的先后遍历顺序讨论一下:

a、外层for循环遍历钱币，内层for循环遍历金钱总额的情况

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品（钱币数）for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量（金钱总额），内层循环这里，背包容量必须大于物品大小才有意义，
//这个物品才可以装进背包，所以初始化j=coins[i]dp[j] += dp[j - coins[i]];}
}

因为金钱总额遍历在内循环，所以金钱总额里的每一个值只对应了钱币数的单次情况。例如，假设：coins[0] = 1，coins[1] = 2。

那么就是先把1加入计算，然后再把2加入计算，得到的方法数量只有{1, 2}这种情况。而不会出现{2, 1}的情况。所以这种先物品再背包的遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！

b、把两个for循环的遍历次序交换，先遍历金钱总额，再遍历钱币数

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量（金钱总额）for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品（钱币）if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];}
}

背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。先背包，在物品遍历，此时dp[j]里算出来的就是排列数！

为了进一步分析，我们采用dp五步曲中的第五步来展开讲解：

5）举例dp数组推导

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：

我们采用先物品再背包的遍历顺序来求解组合数：

最后红色框中的结果就是最终的满足条件的组合数。

总结：

3、代码

java:

class Solution {public int change(int amount, int[] coins) {//递推表达式int[] dp = new int[amount + 1];//初始化dp数组，表示金额为0时只有一种情况，也就是什么都不装dp[0] = 1;for (int i = 0; i < coins.length; i++) {for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {dp[j] += dp[j - coins[i]];}}return dp[amount];}
}

python:

class Solution:def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:dp = [0]*(amount + 1)dp[0] = 1# 遍历物品for i in range(len(coins)):# 遍历背包for j in range(coins[i], amount + 1):dp[j] += dp[j - coins[i]]return dp[amount]

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零钱兑换问题 II

1、原题：力扣原题

（和问题1的区别：问题1是求解满足条件的所有组合数，本题是要求凑成金额的最少硬币个数；其中问题1和问题2的硬币数量都是无限的，即是完全背包问题的深入）

2、分析

根据题目要求，最简单的一种思路便是把满足硬币组合等于amount的组合全部列出来，然后找到组合数目最少的即可，可以用递归解决，但时间复杂度会很高，需要很好的剪枝策略；

另一个直观的想法便是采用动态规划，初始化一个amount+1大小的dp数组，记录每一个状态的最优解，过程如下：

1）dp定义

dp[j]: 表示可以凑成金额为j的最少硬币组合个数；

2） dp递归公式

得到dp[j]（考虑coins[i]），只有一个来源，dp[j - coins[i]]（没有考虑coins[i]）。

凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）

所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。递推公式：

dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

3)初始化

首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;

其他下标对应的数值呢？

考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。所以下标非0的元素都是应该是最大值。

4）确定遍历顺序

故本题，任意顺序遍历都可，我们采用先遍历物品(硬币)再遍历背包（总金额）；又因为硬币的个数有无数个，所以为完全背包问题，采用一维dp时，内层循环正序遍历即可。

3）代码

class Solution {public int coinChange(int[] coins, int amount) {int max = Integer.MAX_VALUE;int[] dp = new int[amount + 1];//初始化dp数组为最大值for (int j = 0; j < dp.length; j++) {dp[j] = max;}//当金额为0时需要的硬币数目为0dp[0] = 0;for (int i = 0; i < coins.length; i++) {//正序遍历：完全背包每个硬币可以选择多次for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {//只有dp[j-coins[i]]不是初始最大值时，该位才有选择的必要if (dp[j - coins[i]] != max) {//选择硬币数目最小的情况dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);}}}return dp[amount] == max ? -1 : dp[amount];}
}

python:

class Solution:def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:'''版本一'''# 初始化dp = [amount + 1]*(amount + 1)dp[0] = 0# 遍历物品for coin in coins:# 遍历背包for j in range(coin, amount + 1):dp[j] = min(dp[j], dp[j - coin] + 1)return dp[amount] if dp[amount] < amount + 1 else -1