第六章 信号与系统v1

第六章 信号与系统的复频域分析 目录 6.0 引言 本章将讨论连续时间信号与系统拉普拉斯变换的分析方法。它的本质是把连续时间信号分解为est复指数信号的叠加，同时利用复指数信号est是LTI系统的特征函数，求出连续时间系统在复频域对输入信号的响应。 与连续时间傅里叶分析方法相比，拉氏变换分析方法扩大了信号变换的范围，在本质上可以看作是广义的傅里叶变换，可以用于一些傅里叶变换不能应用的重要方面，如系统的稳定性分析。 6.1 拉普拉斯变换 6.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 6.1.2 拉氏变换的收敛域 6.1.3 拉氏变换的几何表示：零极点图 6.1.4 x(t)的时域特性与其拉氏变换X(s) 收敛域的关系 6.2 常用信号的拉氏变换对 1. 阶跃信号u(t) 2. 指数信号e-atu(t) 6.2 常用信号的拉氏变换对 3. 冲激信号 6.2 常用信号的拉氏变换对 4. tn (n是正整数) 6.2 常用信号的拉氏变换对 6.2 常用信号的拉氏变换对 5. 6. 6.3 双边拉氏变换的性质 (1)线性 (2)时域平移性质 (3)S域平移性质 (4)尺度变换特性 (5)时域微分 6.3 双边拉氏变换的性质 (6)S域微分 (7)卷积性质 (8)时域积分 (9)初值和终值定理 6.4 周期信号与抽样信号的拉氏变换 (1)周期信号的拉氏变换 (2)抽样信号的拉氏变换 6.5 拉氏反变换 仅讨论可以用有理函数表示的拉氏函数的反变换，即 6.5 拉氏反变换 6.6 单边拉氏变换及性质 将单边拉氏变换的定义重新写为 6.6 单边拉氏变换及性质 6.7 连续时间LTI系统的复频域分析 6.7.1 系统函数 6.7.2 S域的元件模型 6.7.3 全响应的求解 6.7.4 系统函数代数属性和方框图表示 分隔页 222222222222222222222222222222222 6.1.1 从傅立叶变换到拉普拉斯变换 6.1.1 从傅立叶变换到拉普拉斯变换 6.1.1 从傅立叶变换到拉普拉斯变换 6.1.2 拉氏变换的收敛域 拉氏变换对于 的范围有一定的选取，不同的选取范围将对应不同的信号。通常把能使信号x(t)的拉氏变换存在的s值的范围称为信号x(t)的收敛域(Region of Convergence)，简记为ROC，在S域平面上常用阴影部分表示ROC。 当收敛域包含j?轴时，信号的傅里叶变换一定收敛。 6.1.3 拉氏变换的几何表示：零极点图 许多信号x(t)的拉氏变换都可表示为有理函数的形式 改写为因子相乘的形式 其中，A为常数因子，zi与pj分别为使分子多项式和分母多项式为零的根。 6.1.3 拉氏变换的几何表示：零极点图 因为 故zi和pj分别称为X(s)的零点和极点。在S平面上分别用符号 和 表示零极点的位置，这个图形称为X(s)在S平面的零极点图。 X(s)可用它在S平面上的零极点图来表征。 6.1.4 时域特性与拉氏变换收敛域的关系 x(t)的时域特性不仅仅取决于X(s)的代数表示，还与收敛域有关，仅有X(s)的代数表示式并不能惟一表征它所对应的时间信号。 本节将讨论X(s)收敛域的性质，X(s)的收敛域与信号x(t) 的时域特性之间的关系，收敛域边界的位置与X(s)极点之间的关系。 6.1.4 时域特性与拉氏变换收敛域的关系 性质1：连续时间信号x(t)的拉氏变换X(s)的收敛域在S平面上，由平行于j?轴的带状区域构成。 这是因为X(s)的收敛域是由那些能使 绝对可积的复数 的实部组成的,而与S的虚部无关，因此收敛域的边 界必然是平行于虚轴(j?)的直线。 性质2：对有理拉氏变换X(s)来说，在收敛域内不应包含任何极点，否则，如果在收敛域内有个极点，则X(s)在该点为无穷大，它就不可能收敛了。 6.1.4 时域特性与拉氏变换收敛域的关系 性质3：如果x(t)是时限的，则它的拉氏变换X(s)的收 敛域是整个S平面。 6.1.4 时域特性与拉氏变换收敛域的关系 6.1.4 时域特性与拉氏变换收敛域的关系 6.1.4 时域特性与拉氏变换收敛域的关系 6.1.4 时域特性与拉氏变换收敛域的关系 6.1.4 时域特性与拉氏变换收敛域的关系 6.1.4 时域特性与拉氏变换收敛域的关系 性质5：如果 是左边信号，且 存在，则 的收敛域一定在最左边极点的左边。 右边信号是指 时， 的信号