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前言

最开始搞 OIOIOI 的时候接触了搜索算法，后面基本上没有在练过了。若本文有误，请在讨论区指出。

本文例题链接

思想

有时，答案不只一组，可能有多个，有些情况下需要找到有特殊情况的答案。

如上图，需要找到的答案为 ans3ans3ans3 。

首先考虑 DFSDFSDFS ，一般是一搜搜到底，很有可能找到 ans1ans1ans1 。若继续查找，很有可能花费太多时间。时间效率低。

再来考虑 BFSBFSBFS ，它可以找到最近的答案 ans2ans2ans2 。若继续查找，很有可能存储状态的队列会浪费巨大空间。空间效率低

现在引出 IDDFSIDDFSIDDFS ，它通常适用于有两个条件的问题：一是它是个最优解问题，二是最优的答案深度最小。且能够快速地找到答案。

假设在搜索树中，每层树都有 333 个方案，即是搜索树为一颗 333 叉树，共 222 层， ansansans 在 333 。

先来对比 DFSDFSDFS ，搜索路径为 1−2−5−2−6−2−7−2−1−31-2-5-2-6-2-7-2-1-31−2−5−2−6−2−7−2−1−3 ，找到答案。有最坏情况，即每一个分支都是一个无底洞，若永远搜索不到答案，就会卡在里面。

再来对比 BFSBFSBFS ，搜索路径为 1−2−31-2-31−2−3 ，看起来比较短，但是队列中有 1,2,5,6,7,31,2,5,6,7,31,2,5,6,7,3 的信息，若答案更深一些，那么就会炸空间。

通过上述两个例子，可以知道 DFSDFSDFS 和 BFSBFSBFS 的局限性，但也各有千秋。结合两种算法，就有了迭代加深。首先限定一个层数，对于搜索树进行深度优先搜索。假设这个层数为 111 ，那么深搜只会搜索到 222 ，不会继续加深。首先试探性地来找答案，直到找到答案位置。很明显，上面几层的点会搜到很多遍，但时间复杂度对于 DFSDFSDFS 来说比较优，而在空间复杂度上比 BFSBFSBFS 上略胜一筹。

很容易就写出模板：

int max_depth = min_depth;
Id_Dfs( int current_depth  ,  int max_depth ) {if( current_depth > max_depth ) return ;if( 找到答案 ){ 输出答案 ; (exit(0) ;  ||  return ;) }for each ( 当前节点的儿子节点 )Id_Dfs(current_depth + 1, max_depth) ;
}
for(; ; max_depth++ ) {Id_Dfs( 0 , i ) ;
}

结合例题理解。

题目

一个与 nnn 有关的整数加成序列 <a0,a1,a2,...,am><a_0,a_1,a_2,...,a_m><a0,a1,a2,...,am> 满足以下四个条件：

a0=1a_0=1a0=1
am=na_m=nam=n
a0<a1<a2<...<am−1<ama_0<a_1<a_2<...<a_{m-1}<a_ma0<a1<a2<...<am−1<am
对于每一个 k(1≤k≤m)k(1≤k≤m)k(1≤k≤m) 都存在有两个整数 iii 和 j(0≤i,j≤k−1j(0≤i,j≤k-1j(0≤i,j≤k−1，iii 和 jjj 可以相等 )) ，使得 ak=ai+aja_k=a_i+a_jak=ai+aj

你的任务是：给定一个整数 nnn ，找出符合上述四个条件的长度最小的整数加成序列。如果有多个满足要求的答案，只需要输出任意一个解即可。

思路

按照 1,2,4,8...1,2,4,8...1,2,4,8... 这样来排列，找出最少需要的次数那么最少的层数就找到了，就减少了之前做的无用功。

树上的子节点也较为好找，只需要将之前搜索到的数字，按照题意两两搭配找到下一项。

只需要按照 IDDFSIDDFSIDDFS 的规则搜索就行了。但重点在于剪枝，写在注释里的。

for(int i = nowdepth; i >= 1; i--) {for(int j = nowdepth; j >= i; j--) {//两两搭配，且答案越大越容易找到解，故而到着找if(ans[i] + ans[j] <= n && ans[i] + ans[j] > ans[nowdepth]) {//满足题意1，2两点的搜索int now;//找到下一项ans[nowdepth + 1] = now = ans[i] + ans[j]; for(int k = nowdepth + 2; k <= limit; k++)
//从nowdepth + 1这一项开始，后面最大时也就是now不停扩大2倍，若最大都达不到n，舍去不求now <<= 1;if(now < n)continue;Id_Dfs(nowdepth + 1);//搜索下一层if(flag)//找到答案return;}}
}

C++代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
bool Quick_Read(int &N) {N = 0;int op = 1;char c = getchar();while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-')op = -1;c = getchar();}while(c >= '0' && c <= '9') {N = (N << 1) + (N << 3) + (c ^ 48);c = getchar();}N *= op;return N != 0;
}
void Quick_Write(int N) {if(N < 0) {putchar('-');N = -N;}if(N >= 10)Quick_Write(N / 10);putchar(N % 10 + 48);
}
const int MAXN = 1e5 + 5;
int ans[MAXN];
int limit;
bool flag;
int n;
void Id_Dfs(int nowdepth) {if(nowdepth > limit || flag)//达到层数不在恋战或找到答案，直接跳出return;if(ans[nowdepth] == n) {//满足题意flag = true;return;}for(int i = nowdepth; i >= 1; i--) {for(int j = nowdepth; j >= i; j--) {//两两搭配，且答案越大越容易找到解，故而到着找if(ans[i] + ans[j] <= n && ans[i] + ans[j] > ans[nowdepth]) {//满足题意1，2两点的搜索int now;//找到下一项ans[nowdepth + 1] = now = ans[i] + ans[j];   for(int k = nowdepth + 2; k <= limit; k++)//从nowdepth + 1这一项开始，后面最大时也就是now不停扩大2倍，若最大都达不到n，舍去不求now <<= 1;if(now < n)continue;Id_Dfs(nowdepth + 1);//搜索下一层if(flag)//找到答案return;}}}
}
void Work() {for(; !flag; limit++)//直到找到答案时停止搜索Id_Dfs(1);for(int i = 1; i < limit; i++) {//输出Quick_Write(ans[i]);putchar(' ');}putchar('\n');
}
void Init() {limit = 1;int test = 1;while(test < n) {//找到最小层数test <<= 1;limit++;}ans[1] = 1;flag = false;
}
int main() {while(Quick_Read(n)) {//多组输入输出，到0为止Init();Work();}return 0;
}

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高级搜索算法之迭代加深

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