随机过程笔记：2.谱分析

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谱分析Spectral Analysis of Stochastic Process
- 1.引入：确定性信号的分解
- 2.随机信号的分解——功率谱密度

总结版传送门，推导较少

谱分析Spectral Analysis of Stochastic Process

谱，从某种角度出发，进行分解，以把握特征。

1.引入：确定性信号的分解

对于确定性周期信号：X(t),deterministic,Periodic:X(t+T)=X(t)X(t),deterministic,Periodic:X(t+T)=X(t)X(t),deterministic,Periodic:X(t+T)=X(t)

，有：x(t)=∑kαkejωkt,ωk=2kπT,2πTx(t)=\sum_k\alpha_ke^{j\omega_kt},\omega_k=\frac{2k\pi}{T},\frac{2\pi}{T}x(t)=∑kαkejωkt,ωk=T2kπ,T2π为基频Base Frequency，其中αk=1T∫−T2T2x(t)e−jωktdt\alpha_k=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-j\omega_kt}dtαk=T1∫−2T2Tx(t)e−jωktdt

展开仅仅成立在t∈[−T2,T2]t\in[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]t∈[−2T,2T]
对于非周期函数也可在区间做傅里叶级数展开，区间之外傅里叶级数是其周期延拓
基函数1Tejωkt,k∈(−∞,+∞)\frac{1}{\sqrt{T}}e^{j\omega_kt},k\in(-\infty,+\infty)T1ejωkt,k∈(−∞,+∞)是规范正交基。此时与对应函数做内积就可以直接得到系数，相当于在对应方向上的投影。

当T→∞T\rightarrow\inftyT→∞，则有傅里叶变换：
x(t)=1T∑k=−∞+∞[∫−T2T2x(s)e−jωksds]ejωkt=1T∑k=−∞+∞[∫−T2T2x(s)e−j2kπTsds]ej2kπTt=12π∑k=−∞+∞[∫−T2T2x(s)e−j2kπTsds]ej2kπTt⋅2πTlim⁡T→∞x(t)=12π∫−∞+∞X(ω)ejωtdω\begin{aligned} x(t)&=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(s)e^{-j\omega_ks}ds]e^{j\omega_kt}\\ &=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(s)e^{-j\frac{2k\pi}{T}s}ds]e^{j\frac{2k\pi}{T}t}\\ &=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(s)e^{-j\frac{2k\pi}{T}s}ds]e^{j\frac{2k\pi}{T}t}\cdot\frac{2\pi}{T}\\ \lim_{T\rightarrow\infty}x(t)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega\\ \end{aligned} x(t)T→∞limx(t)=T1k=−∞∑+∞[∫−2T2Tx(s)e−jωksds]ejωkt=T1k=−∞∑+∞[∫−2T2Tx(s)e−jT2kπsds]ejT2kπt=2π1k=−∞∑+∞[∫−2T2Tx(s)e−jT2kπsds]ejT2kπt⋅T2π=2π1∫−∞+∞X(ω)ejωtdω
傅里叶变换对：
{x(t)=12π∫−∞+∞X(ω)ejωtdωX(ω)=∫−∞+∞x(t)e−jωtdt\left\{ \begin{aligned} x(t)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega\\ X(\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x(t)X(ω)=2π1∫−∞+∞X(ω)ejωtdω=∫−∞+∞x(t)e−jωtdt

2.随机信号的分解——功率谱密度

x(t)=12π∑k=−∞+∞[∫−T2T2x(s)e−j2kπTsds]ej2kπTt⋅2πTx(t)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(s)e^{-j\frac{2k\pi}{T}s}ds]e^{j\frac{2k\pi}{T}t}\cdot\frac{2\pi}{T} x(t)=2π1k=−∞∑+∞[∫−2T2Tx(s)e−jT2kπsds]ejT2kπt⋅T2π

相比确定信号，随机信号可能存在一个问题，积分是否收敛？

对于傅里叶变换积分收敛，存在一个条件：x(t)∈L1(R)⇔∫−∞+∞∣x(t)∣dt<∞x(t)\in L^1(\mathbb{R})\Leftrightarrow\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|dt<\inftyx(t)∈L1(R)⇔∫−∞+∞∣x(t)∣dt<∞。该条件对于确定性信号，是普遍满足的。对于不满足的情况，通常也会做一些处理。

例如cos(t)，引入广义函数12[δ(ω−1)+δ(ω+1)]\frac{1}{2}[\delta(\omega-1)+\delta(\omega+1)]21[δ(ω−1)+δ(ω+1)]

面对这样的问题，可以提供两种解决办法。物理的角度：可以想到的是，希望做傅里叶的是有衰减趋势的函数，可以考虑二阶的函数。大部分相关函数是衰减的（也有周期振荡的）。下面以复随机信号(宽平稳)为例：
1TE∣∫−T2T2x(t)e−jωtdt∣2(有损的变换,相位信息消失)=1TE(∫−T2T2x(t)e−jωtdt)(∫−T2T2x(s)e−jωsds‾)=1T∫−T2T2∫−T2T2E[x(t)x(s)‾]e−jω(t−s)dtds(对于宽平稳有E[x(t)x(s)‾]=Rx(t,s)=Rx(t−s))=1T∫−T2T2∫−T2T2Rx(t−s)e−jω(t−s)dtds(换元u=t−s,v=t+s,雅可比行列式dtds=∣det∂(t,s)∂(u,v)∣dudv=12dudv)=12T[∫−T0∫−u−Tu+TRx(u)e−jωudvdu+∫0T∫u−T−u+TRx(u)e−jωudvdu]=12T∫−TT∫∣u∣−T−∣u∣+TRx(u)e−jωudvdu=12T∫−TT(2T−2∣u∣)Rx(u)e−jωudu=∫−TT(1−∣u∣T)Rx(u)e−jωudu则lim⁡T→∞1TE∣∫−T2T2x(t)e−jωtdt∣2=∫−∞+∞Rx(u)e−jωudu=Sx(ω)\begin{aligned} &\frac{1}{T}E|\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-j\omega t}dt|^2\\ (&有损的变换,相位信息消失)\\ =&\frac{1}{T}E(\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-j\omega t}dt)(\overline{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(s)e^{-j\omega s}ds})\\ =&\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}E[x(t)\overline{x(s)}]e^{-j\omega (t-s)}dtds\\ (&对于宽平稳有E[x(t)\overline{x(s)}]=R_x(t,s)=R_x(t-s))\\ =&\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}R_x(t-s)e^{-j\omega (t-s)}dtds\\ (&换元u=t-s,v=t+s,雅可比行列式dtds=|det\frac{\partial(t,s)}{\partial(u,v)}|dudv=\frac{1}{2}dudv)\\ =&\frac{1}{2T}[\int_{-T}^0\int_{-u-T}^{u+T}R_x(u)e^{-j\omega u}dvdu+\int_0^T\int_{u-T}^{-u+T}R_x(u)e^{-j\omega u}dvdu]\\ =&\frac{1}{2T}\int_{-T}^T\int_{|u|-T}^{-|u|+T}R_x(u)e^{-j\omega u}dvdu\\ =&\frac{1}{2T}\int_{-T}^T(2T-2|u|)R_x(u)e^{-j\omega u}du\\ =&\int_{-T}^T(1-\frac{|u|}{T})R_x(u)e^{-j\omega u}du\\ 则&\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}E|\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-j\omega t}dt|^2=\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(u)e^{-j\omega u}du=S_x(\omega) \end{aligned} (==(=(====则T1E∣∫−2T2Tx(t)e−jωtdt∣2有损的变换,相位信息消失)T1E(∫−2T2Tx(t)e−jωtdt)(∫−2T2Tx(s)e−jωsds)T1∫−2T2T∫−2T2TE[x(t)x(s)]e−jω(t−s)dtds对于宽平稳有E[x(t)x(s)]=Rx(t,s)=Rx(t−s))T1∫−2T2T∫−2T2TRx(t−s)e−jω(t−s)dtds换元u=t−s,v=t+s,雅可比行列式dtds=∣det∂(u,v)∂(t,s)∣dudv=21dudv)2T1[∫−T0∫−u−Tu+TRx(u)e−jωudvdu+∫0T∫u−T−u+TRx(u)e−jωudvdu]2T1∫−TT∫∣u∣−T−∣u∣+TRx(u)e−jωudvdu2T1∫−TT(2T−2∣u∣)Rx(u)e−jωudu∫−TT(1−T∣u∣)Rx(u)e−jωuduT→∞limT1E∣∫−2T2Tx(t)e−jωtdt∣2=∫−∞+∞Rx(u)e−jωudu=Sx(ω)
上述结果即为功率谱密度Power Spectral Density，简称PSD。得到随机信号的傅里叶变换对（由相关函数的傅里叶变换得到功率谱密度）：
{Sx(ω)=∫−∞+∞Rx(u)e−jωuduRx(u)=12π∫−∞+∞Sx(ω)ejωudω\left\{ \begin{aligned} S_x(\omega)=&\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(u)e^{-j\omega u}du\\ R_x(u)=&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_x(\omega)e^{j\omega u}d\omega \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧Sx(ω)=Rx(u)=∫−∞+∞Rx(u)e−jωudu2π1∫−∞+∞Sx(ω)ejωudω
分析：

功率：量纲是I2TI^2TI2T焦耳JJJ，即能量。换个角度，可得到Rx(0)=12π∫−∞∞Sx(ω)dω=E∣x(t)∣2R_x(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}S_x(\omega)d\omega=E|x(t)|^2Rx(0)=2π1∫−∞∞Sx(ω)dω=E∣x(t)∣2，为功率，则Sx(ω)S_x(\omega)Sx(ω)单位为功率除以频率，也就是功率乘以时间，故量纲是JJJ，即能量。
谱：功率谱密度反映的是随机过程在每个频点上功率的大小，是一个二阶量。
- Sαx(ω)=∣α∣2Sx(ω)S_{\alpha x}(\omega)=|\alpha|^2S_x(\omega)Sαx(ω)=∣α∣2Sx(ω)
- Rx(0)−Rx(τ)≥14[Rx(0)−Rx(2τ)]R_x(0)-R_x(\tau)\geq\frac{1}{4}[R_x(0)-R_x(2\tau)]Rx(0)−Rx(τ)≥41[Rx(0)−Rx(2τ)]
证明思路1：
上式等价于：3Rx(0)−4Rx(τ)+Rx(2τ)≥0(xyx)(Rx(0)Rx(τ)Rx(2τ)Rx(τ)Rx(0)Rx(τ)Rx(2τ)Rx(τ)Rx(0))(xyx)=f1(x,y,z)Rx(0)+f2(x,y,z)Rx(τ)+f3(x,y,z)Rx(2τ)≥0(根据正定)解f1=3,f2=−4,f3=1(待定系数法)\begin{aligned} &上式等价于：3R_x(0)-4R_x(\tau)+R_x(2\tau)\geq0\\ &\begin{pmatrix} x\\y\\x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R_x(0)&R_x(\tau)&R_x(2\tau)\\ R_x(\tau)&R_x(0)&R_x(\tau)\\ R_x(2\tau)&R_x(\tau)&R_x(0)\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x&y&x \end{pmatrix}\\ =&f_1(x,y,z)R_x(0)+f_2(x,y,z)R_x(\tau)+f_3(x,y,z)R_x(2\tau)\\ \geq&0(根据正定)\\ &解f_1=3,f_2=-4,f_3=1(待定系数法) \end{aligned} =≥上式等价于：3Rx(0)−4Rx(τ)+Rx(2τ)≥0⎝⎛xyx⎠⎞⎝⎛Rx(0)Rx(τ)Rx(2τ)Rx(τ)Rx(0)Rx(τ)Rx(2τ)Rx(τ)Rx(0)⎠⎞(xyx)f1(x,y,z)Rx(0)+f2(x,y,z)Rx(τ)+f3(x,y,z)Rx(2τ)0(根据正定)解f1=3,f2=−4,f3=1(待定系数法)
证明思路2：频域上分析
已知:Rx(0)=12π∫−∞+∞Sx(ω)dω,Rx(τ)=12π∫−∞+∞Sx(ω)ejωτdω则Rx(0)−4Rx(τ)+Rx(2τ)=12π∫−∞+∞Sx(ω)[3−4ejωτ+ejω2τ]dω(在下面有结论:Sx(ω)=∫−∞+∞Rx(τ)e−jωτdτ=∫−∞+∞Rx(τ)cos(ωτ)dτ)=12π∫−∞+∞Sx(ω)[3−4cos(ωτ)+cos(2ωτ)]dω=12π∫−∞+∞2Sx(ω)[cos(ωτ)−1]2dω≥0\begin{aligned} &已知:R_x(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_x(\omega)d\omega,R_x(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_x(\omega)e^{j\omega\tau}d\omega\\ &则R_x(0)-4R_x(\tau)+R_x(2\tau)\\ =&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_x(\omega)[3-4e^{j\omega\tau}+e^{j\omega2\tau}]d\omega\\ &(在下面有结论:S_x(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau=\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)cos(\omega\tau)d\tau)\\ =&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_x(\omega)[3-4cos(\omega\tau)+cos(2\omega\tau)]d\omega\\ =&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}2S_x(\omega)[cos(\omega\tau)-1]^2d\omega\geq0 \end{aligned} ===已知:Rx(0)=2π1∫−∞+∞Sx(ω)dω,Rx(τ)=2π1∫−∞+∞Sx(ω)ejωτdω则Rx(0)−4Rx(τ)+Rx(2τ)2π1∫−∞+∞Sx(ω)[3−4ejωτ+ejω2τ]dω(在下面有结论:Sx(ω)=∫−∞+∞Rx(τ)e−jωτdτ=∫−∞+∞Rx(τ)cos(ωτ)dτ)2π1∫−∞+∞Sx(ω)[3−4cos(ωτ)+cos(2ωτ)]dω2π1∫−∞+∞2Sx(ω)[cos(ωτ)−1]2dω≥0
- Rx(0)−Rx(τ)≥14n[Rx(0)−Rx(2nτ)]R_x(0)-R_x(\tau)\geq\frac{1}{4^n}[R_x(0)-R_x(2^n\tau)]Rx(0)−Rx(τ)≥4n1[Rx(0)−Rx(2nτ)]
Sx+y≠Sx(ω)+Sy(ω)S_{x+y}\neq S_x(\omega)+S_y(\omega)Sx+y=Sx(ω)+Sy(ω)
密度：体现在是常数。
关于Sx(ω)≥0S_x(\omega)\geq0Sx(ω)≥0，从另外一个角度分析。相关函数Rx(t)R_x(t)Rx(t)是正定的，根据Bochner的结果，其傅里叶变换也是正的。
如果是实变量，功率谱是偶函数：Sx(ω)=Sx(−ω)S_x(\omega)=S_x(-\omega)Sx(ω)=Sx(−ω)。实信号没有负频率的说法，其频率负轴是频率正轴的镜像。验证：

Sx(ω)=∫−∞+∞Rx(τ)e−jωτdτ=∫−∞+∞Rx(τ)cos(ωτ)dτ−j∫−∞+∞Rx(τ)sin(ωτ)dτ(积分内部为奇函数，则∫−∞+∞Rx(τ)sin(ωτ)dτ=0)=∫−∞+∞Rx(τ)cos(ωτ)dτ=∫−∞+∞Rx(τ)cos(−ωτ)dτ=Sx(−ω)\begin{aligned} S_x(\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)cos(\omega\tau)d\tau-j\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)sin(\omega\tau)d\tau\\ &(积分内部为奇函数，则\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)sin(\omega\tau)d\tau=0)\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)cos(\omega\tau)d\tau\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)cos(-\omega\tau)d\tau=S_x(-\omega) \end{aligned} Sx(ω)=∫−∞+∞Rx(τ)e−jωτdτ=∫−∞+∞Rx(τ)cos(ωτ)dτ−j∫−∞+∞Rx(τ)sin(ωτ)dτ(积分内部为奇函数，则∫−∞+∞Rx(τ)sin(ωτ)dτ=0)=∫−∞+∞Rx(τ)cos(ωτ)dτ=∫−∞+∞Rx(τ)cos(−ωτ)dτ=Sx(−ω)

随机过程通过线性系统：有Y(t)=(h∗x)(t)=∫−∞∞h(t−τ)x(τ)dτY(t)=(h*x)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(t-\tau)x(\tau)d\tauY(t)=(h∗x)(t)=∫−∞∞h(t−τ)x(τ)dτ，其中h(t)h(t)h(t)是系统的冲激响应，H(ω)H(\omega)H(ω)是传递函数。

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X(t)

H(LTI：线性时不变系统)

Y(t)

Ry(t,s)=E[Y(t)Y(s)‾]=E[(∫−∞+∞h(t−τ)x(τ)dτ)(∫−∞+∞h(s−r)x(r)dr)‾]=∫−∞+∞∫−∞+∞E[x(τ)x(r)‾]h(t−τ)h(s−r)‾dτdr=∫−∞+∞∫−∞+∞Rx(τ−r)h(t−τ)h(s−r)‾dτdr(1.被积函数自变量相加可消去积分变量;2.卷积结果是函数,其取自变量加和的值)(构造h~(t))=h(−t)‾)=∫−∞+∞∫−∞+∞Rx(τ−r)h(t−τ)h~(r−s)dτdr=(Rx∗h∗h~)(t−s)\begin{aligned} R_y(t,s)&=E[Y(t)\overline{Y(s)}]\\ &=E[(\int_{-\infty}^{+\infty}h(t-\tau)x(\tau)d\tau)\overline{(\int_{-\infty}^{+\infty}h(s-r)x(r)dr)}]\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}E[x(\tau)\overline{x(r)}]h(t-\tau)\overline{h(s-r)}d\tau dr\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau-r)h(t-\tau)\overline{h(s-r)}d\tau dr\\ &(1.被积函数自变量相加可消去积分变量;2.卷积结果是函数,其取自变量加和的值)\\ &(构造\widetilde{h}(t))=\overline{h(-t)})\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau-r)h(t-\tau)\widetilde{h}(r-s)d\tau dr\\ &=(R_x*h*\widetilde{h})(t-s)\\ \end{aligned} Ry(t,s)=E[Y(t)Y(s)]=E[(∫−∞+∞h(t−τ)x(τ)dτ)(∫−∞+∞h(s−r)x(r)dr)]=∫−∞+∞∫−∞+∞E[x(τ)x(r)]h(t−τ)h(s−r)dτdr=∫−∞+∞∫−∞+∞Rx(τ−r)h(t−τ)h(s−r)dτdr(1.被积函数自变量相加可消去积分变量;2.卷积结果是函数,其取自变量加和的值)(构造h(t))=h(−t))=∫−∞+∞∫−∞+∞Rx(τ−r)h(t−τ)h(r−s)dτdr=(Rx∗h∗h)(t−s)

结论:宽平稳的随机过程通过线性系统仍然是宽平稳。
H~(ω)=∫−∞+∞h~(t)e−jωtdt=∫−∞+∞h(−t)‾e−jωtdt=∫−∞+∞h(−t)e−jωtdt‾=∫−∞+∞h(t)e−jωtdt‾=H(ω)‾Sy(ω)=Sx(ω)H(ω)H~(ω)=Sx(ω)H(ω)H(ω)‾=Sx(ω)∣H(ω)∣2\begin{aligned} \widetilde{H}(\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}\widetilde{h}(t)e^{-j\omega t}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{h(-t)}e^{-j\omega t}dt\\ &=\overline{\int_{-\infty}^{+\infty}h(-t)e^{-j\omega t}dt}\\ &=\overline{\int_{-\infty}^{+\infty}h(t)e^{-j\omega t}dt}\\ &=\overline{H(\omega)}\\ S_y(\omega)&=S_x(\omega)H(\omega)\widetilde{H}(\omega)\\ &=S_x(\omega)H(\omega)\overline{H(\omega)}\\ &=S_x(\omega)|H(\omega)|^2 \end{aligned} H(ω)Sy(ω)=∫−∞+∞h(t)e−jωtdt=∫−∞+∞h(−t)e−jωtdt=∫−∞+∞h(−t)e−jωtdt=∫−∞+∞h(t)e−jωtdt=H(ω)=Sx(ω)H(ω)H(ω)=Sx(ω)H(ω)H(ω)=Sx(ω)∣H(ω)∣2
例：
∣E[X(t)Y(t)]≤[E(X2(t)Y2(t))]12∣RXY(0)∣≤[RX(0)RY(0)]12∣12π∫−∞+∞SXY(ω)dω∣≤12π[∫−∞+∞SX(ω)dω∫−∞+∞SY(ω)dω]12∣∫abSXY(ω)dω∣≤[∫abSX(ω)dω∫abSY(ω)dω]12(相当于经过一个带通滤波器,是线性的)\begin{aligned} |E[X(t)Y(t)]&\leq[E(X^2(t)Y^2(t))]^{\frac{1}{2}}\\ |R_{XY}(0)|&\leq[R_X(0)R_Y(0)]^{\frac{1}{2}}\\ |\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_{XY}(\omega)d\omega|&\leq\frac{1}{2\pi}[\int_{-\infty}^{+\infty}S_X(\omega)d\omega\int_{-\infty}^{+\infty}S_Y(\omega)d\omega]^{\frac{1}{2}}\\ |\int_a^bS_{XY}(\omega)d\omega|&\leq[\int_a^bS_X(\omega)d\omega\int_a^bS_Y(\omega)d\omega]^{\frac{1}{2}}\\(相当于经过一个&带通滤波器,是线性的) \end{aligned} ∣E[X(t)Y(t)]∣RXY(0)∣∣2π1∫−∞+∞SXY(ω)dω∣∣∫abSXY(ω)dω∣(相当于经过一个≤[E(X2(t)Y2(t))]21≤[RX(0)RY(0)]21≤2π1[∫−∞+∞SX(ω)dω∫−∞+∞SY(ω)dω]21≤[∫abSX(ω)dω∫abSY(ω)dω]21带通滤波器,是线性的)
Wiener-Khinchine Relation.

Wiener：Cybernetics控制论，数学，美

Khinchine：排队论之父，前苏联