应用随机过程笔记（一）：随机过程的定义

title: 应用随机过程笔记（一）：随机过程的定义
date: 2019-12-23 12:16:13
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随机过程的定义

一个随机过程，即是一族随机变量，即对于每一个t∈Tt \in Tt∈T，X(t)X(t)X(t)是一个随机变量。

T是可数集，则称X是离散时间过程；

T是连续统，则称X是连续时间过程。

定义（随机过程）

设(Ω,F,P)(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})(Ω,F,P)是概率空间，$ (E, \mathcal{E}) 是可测空间，是可测空间，是可测空间，T是指标集，如果对任何是指标集，如果对任何是指标集，如果对任何t \in T，，，X_{t}是是是(\Omega,\mathcal{F})到到到(E, \mathcal{E})上的可测映射，则称上的可测映射，则称上的可测映射，则称X=\lbrace{X_{t} ; t \in T\rbrace}是是是{\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}}上的以上的以上的以E$为状态空间的随机过程。

在连续时间随机过程中，称其有：

独立增量：若对t0<t1<⋯<tnt{0}<t_{1}<\dots<t_{n}t0<t1<⋯<tn，随机变量X{(t1})−X{(t0}),X{(t2})−X{(t1}),⋯,X{(tn})−X{(tn−1})X\lbrace(t_{1}\rbrace)-X\lbrace(t_{0}\rbrace), X\lbrace(t_{2}\rbrace)-X\lbrace(t_{1}\rbrace), \cdots, X\lbrace(t_{n}\rbrace)-X\lbrace(t_{n-1}\rbrace)X{(t1})−X{(t0}),X{(t2})−X{(t1}),⋯,X{(tn})−X{(tn−1})相互独立。

平稳增量：X(t+s)−X(t)X(t+s)-X(t)X(t+s)−X(t)对一切ttt有相同的分布。

随机过程的有限维分布

称Ft(x)=P{X(t)≤x}F_{t}(x)=P\{X(t) \leq x\}Ft(x)=P{X(t)≤x}，x∈Rx \in Rx∈R，为{X(t),t∈T}\{X(t), t \in T\}{X(t),t∈T}的一维分布函数。

称{{Ft(x),t∈T}}\lbrace\{F_{t}(x), \quad t \in T\rbrace\}{{Ft(x),t∈T}}为以为分布函数族。

n维随机变量的分布函数记为
Ft1,t2,…,tn{(x1,x2,⋯xn})=P{{X{(t1})≤x1,X{(t2})≤x2,⋯X{(tn})≤xn}}xi∈R,i=1,2,⋯nF_{t_{1}, t_{2}, \dots ,t_{n}}\lbrace(x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n}\rbrace)=P\lbrace\{X\lbrace(t_{1}\rbrace) \leq x_{1}, X\lbrace(t_{2}\rbrace) \leq x_{2}, \cdots X\lbrace(t_{n}\rbrace) \leq x_{n}\rbrace\} \quad x_{i} \in R, i=1,2, \cdots n Ft1,t2,…,tn{(x1,x2,⋯xn})=P{{X{(t1})≤x1,X{(t2})≤x2,⋯X{(tn})≤xn}}xi∈R,i=1,2,⋯n
称其为{X(t),t∈T}\{X(t), t \in T\}{X(t),t∈T}的n维分布函数。

称{{Ft1,t2,⋯,tn{(x1,x2,⋯xn});t1,t2,⋯tn∈T}}\lbrace\{F_{t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{n}}\lbrace(x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n}\rbrace) ; t_{1}, t_{2}, \cdots t_{n} \in T\rbrace\}{{Ft1,t2,⋯,tn{(x1,x2,⋯xn});t1,t2,⋯tn∈T}}称为n维分布函数族。

有限维分布函数族满足：

横向相容（其意义为t的顺序不影响n维分布函数）
纵向相容

均值函数和协方差函数

图片

定义（二阶矩过程）

随即过程X(t),t∈T{X(t), t \in T}X(t),t∈T,如果对每一t∈Tt \in Tt∈T，E{[X2(t)}]E\lbrace[X^{2}(t)\rbrace]E{[X2(t)}]都存在，则称其维二阶矩过程。

二阶矩过程的均值函数和自相关函数总是存在。

一些随机过程的分类

定义

（正态过程）{(Xt1,⋯,Xtn})\lbrace(X_{t_{1}}, \cdots, X_{t_{n}}\rbrace){(Xt1,⋯,Xtn})服从正态分布

（宽平稳过程）X是二阶矩过程，任意t，μX(t)\mu_{X}(t)μX(t)为常数，CX(t,s)C_{X}(t,s)CX(t,s)只是时间差&s-t&的函数。

（严平稳过程）满足（1）所有XtX_{t}Xt同分布；（2）对任何n>=2n>=2n>=2，任何t1,⋯,tn∈T,{(Xt1,⋯,Xtn})t_1,\cdots,t_n \in T,\lbrace(X_{t_{1}},\cdots,X_{t_{n}}\rbrace)t1,⋯,tn∈T,{(Xt1,⋯,Xtn})的分布只与时间差t2−t1,⋯,tn−tn−1t_{2}-t_{1}, \cdots, t_{n}-t_{n-1}t2−t1,⋯,tn−tn−1有关，而与时间的起点t1t_{1}t1无关。

定义

（平稳增量过程） Xt−XsX{t}-X{s}Xt−Xs（增量）的分布仅与时间差有段
（独立增量过程）增量相互独立
（平稳独立增量过程）既平稳又独立