多项式求逆

和整数的乘法逆元定义类似，对于多项式\(A(x)B(x)=1\)，则称\(A(x),B(x)\)互为乘法逆元。

\(A(x)\)存在乘法逆元的充要条件是\([x^0]A(x)\)存在乘法逆元。

现在思考如何用\(O(n\log n)\)的时间计算\(A(x)\)的乘法逆元：

考虑倍增，当前已求出前\(n\)项的逆元，则：\(A(x)B(x)\equiv 1\pmod{x^n}\)
\[ \begin{equation} \begin{split} A(x)B(x)-1&\equiv 0\pmod{x^n}\\ \Big(A(x)B(x)-1\Big)^2&\equiv0\pmod{x^{2n}}\\ A(x)^2B(x)^2-2A(x)B(x)+1&\equiv 0\pmod{x^{2n}}\\ 2A(x)B(x)-A(x)^2B(x)^2&\equiv1\pmod{x^{2n}}\\ A(x)B(x)\Big(2-A(x)B(x)\Big)&\equiv1\pmod{x^{2n}}\\ \end{split} \end{equation} \]
这样我们就能求出\(\mod{x^{2n}}\)下的逆元：\(B(x)\Big(2-A(x)B(x)\Big)\)，重复\(O(\log n)\)次即可得到答案。

时间复杂度：\(T(n)=T(\frac n2)+O(n\log n)=O(n\log n)\)

代码：

例题：P4238 【模板】多项式求逆

//Luogu-O2
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define rint register int
typedef long long ll;#define Getchar (p1==p2&&(p2=(p1=In)+fread(In,1,1<<20,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char In[1<<20],*p1=In,*p2=In,Ch,Out[1<<20],*Outp=Out,St[25],*Tp=St;
inline int Getint(register int x=0)
{while(!isdigit(Ch=Getchar));for(;isdigit(Ch);Ch=Getchar)x=x*10+(Ch^48);return x;
}
inline void Putint(int x,char c)
{do *Tp++=x%10^48;while(x/=10);do *Outp++=*--Tp;while(Tp!=St);*Outp++=c;
}const int p=998244353,g1=3,g2=(p+1)/3;inline int Add(const int a,const int b){return (a+b)>=p?a+b-p:a+b;}
inline ll Pow(ll a,ll b,ll s=1){for(;b;b>>=1,a=a*a%p)if(b&1)s=s*a%p;return s;}namespace Poly
{int r[1<<18];void Pre(const int n){for(rint i=1,l=log2(n);i<n;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));}void NTT(const int n,int *A,const int g){for(rint i=1;i<n;++i)if(i<r[i])std::swap(A[i],A[r[i]]);for(rint i=2,h=1;i<=n;i<<=1,h<<=1)for(rint j=0,Rs=Pow(g,(p-1)/i);j<n;j+=i)for(rint k=0,Rt=1;k<h;++k,Rt=(ll)Rt*Rs%p){int Tmp=(ll)A[j+h+k]*Rt%p;A[j+h+k]=Add(A[j+k],p-Tmp),A[j+k]=Add(A[j+k],Tmp);}if(g==g2)for(rint i=0,In=Pow(n,p-2);i<n;++i)A[i]=(ll)A[i]*In%p;}int C[1<<18];void Inv(int n,int *A,int *B){if(n==1){B[0]=Pow(A[0],p-2);return;}Inv(n>>1,A,B),memcpy(C,A,n*sizeof(int));Pre(n<<1),NTT(n<<1,C,g1),NTT(n<<1,B,g1);for(rint i=0;i<(n<<1);++i)B[i]=B[i]*(2-(ll)C[i]*B[i]%p+p)%p;NTT(n<<1,B,g2),memset(B+n,0,n*sizeof(int));}
}int n,m,F[1<<18],G[1<<18];int main()
{n=Getint()-1;for(rint i=0;i<=n;++i)F[i]=Getint();for(m=n,n=1;n<=m;n<<=1);Poly::Inv(n,F,G);for(rint i=0;i<=m;++i)Putint(G[i],i==m?'\n':' ');return fwrite(Out,1,Outp-Out,stdout),0;
}