365.水壶问题笔记
水壶问题
Leetcode题号：365
题目内容
有两个容量分别为 x升 和 y升 的水壶以及无限多的水。请判断能否通过使用这两个水壶，从而可以得到恰好 z升 的水？
如果可以，最后请用以上水壶中的一或两个来盛放取得的 z升 水。
你允许：
- 装满任意一个水壶
- 清空任意一个水壶
- 从一个水壶向另外一个水壶倒水，直到装满或者倒空
示例 1: (From the famous “Die Hard” example)
输入: x = 3, y = 5, z = 4
输出: True
示例 2:
输入: x = 2, y = 6, z = 5
输出: False
题解
本题官方给出了两种解法，一种是深度优先搜索方法，这种方法复杂度较高，第二种是数学方法，这种方法比较有意思，我们着重理解以下这个方法。
数学方法涉及到了裴蜀定理，这个定理在百度百科中的定义如下：
裴蜀定理（或贝祖定理）得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数 a、ba、ba、b和它们的最大公约数 ddd，关于未知数 xxx和 yyy的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若 a,ba,ba,b是整数,且 gcd(a,b)=dgcd(a,b)=dgcd(a,b)=d，那么对于任意的整数 x,y,ax+byx,y,ax+byx,y,ax+by都一定是 ddd的倍数，特别地，一定存在整数 x,yx,yx,y，使 ax+by=dax+by=dax+by=d成立。
它的一个重要推论是：a,ba,ba,b互质的充要条件是存在整数x,yx,yx,y使ax+by=1ax+by=1ax+by=1。
让我们举个例子，例如 a=12,b=8a=12,b=8a=12,b=8，那么有 gcd(a,b)=4gcd(a,b)=4gcd(a,b)=4，按照裴蜀定理有以下推论：所有整数 x,yx,yx,y都可以使 xa+ybxa+ybxa+yb为 444的倍数，而且肯定有 x,yx,yx,y使得 xa+yb=4xa+yb=4xa+yb=4。
可以解一下 12x+8y=412x+8y=412x+8y=4，有3x+2y=13x+2y=13x+2y=1，有 x=1,y=−1x=1,y=-1x=1,y=−1可以满足条件。
分析问题可知，每次操作之后都会有水量变化，总量的变化有以下几种可能
| 可能性 | 总水量变化量 |
|---|---|
| 从满倒空水壶xxx | −x-x−x |
| 从空倒满水壶xxx | xxx |
| 从满倒空水壶yyy | −y-y−y |
| 从空倒满水壶yyy | yyy |
| 从水壶xxx倒入水壶yyy（无论满不满） | 000 |
| 从水壶yyy倒入水壶xxx（无论满不满） | 000 |
| 从不满倒空水壶xxx（因为上一步操作后剩余水量也为ax+byax+byax+by) | cx+dycx+dycx+dy，其中ccc和ddd是整数 |
| 从不满倒空水壶yyy（因为上一步操作后剩余水量也为ax+byax+byax+by) | cx+dycx+dycx+dy，其中ccc和ddd是整数 |
由题目可知，每次操作之后必然有一个壶是满的或空的，因为不管哪一个操作都要到达满或空才会停止。而从不满的一个壶倒空水的时候，总水量是符合ax+byax+byax+by的，其中aaa和bbb是整数，而另一个水壶不是xxx或yyy就是000，那么倒出去的水也是符合cx+dycx+dycx+dy的，其中ccc和ddd是整数。
所以题目中要求判断是否可以达到恰好获得zzz升的水，只需要判断是否存在ax+by=zax+by=zax+by=z即可，由裴蜀定理可知，只要zzz为gcd(x,y)gcd(x,y)gcd(x,y)的倍数，因为存在a,ba,ba,b可以使得ax+by=gcd(x,y)ax+by=gcd(x,y)ax+by=gcd(x,y)，设z=m×gcd(x,y)z = m \times gcd(x,y)z=m×gcd(x,y)，有 z=m×(ax+by)z =m\times(ax+by)z=m×(ax+by)，其中mmm是整数。所以只需要判断zzz是否是gcd(x,y)gcd(x,y)gcd(x,y)的倍数即可。
python实现如下：
class Solution:def canMeasureWater(self, x: int, y: int, z: int) -> bool:if x+y < z: # 如果两个壶的水都不够z那么肯定不可能达到z的水量return Falseif x==0 or y==0: # 如果一个壶的水量为0，那么除非要求水量是0，或者某个壶和水量相等return z==0 or x+y == 0if z%math.gcd(x,y)==0: # 如果z是x和y的最大公约数的倍数，则可以取z的水量return Trueelse: # 其他情况是不能达到的return False
我觉得了解一下裴蜀定理是非常好的，推论 “a,ba,ba,b互质的充要条件是存在整数x,yx,yx,y使ax+by=1ax+by=1ax+by=1”值得记录一下。
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