【GZOJ】1369——小明跳楼梯

2024-05-14 18:08:07

题目链接：广大OJ1369
本题亦为广大15级第一次周赛的B题。

题目内容

Problem Description
小明很喜欢跳楼梯。
他可以一次跳一阶楼梯（记为1），也可以一次跳两个台阶（记为2）。
那么问题来了。小明跳三个台阶共有几种方法？
答案很简单，一共三种。
分别是：111,12,21。
换成语言描述就是：连跳三阶楼梯，跳一阶后再一次跳两个台阶，一次跳两个台阶后再跳一阶，共三种。
以此类推，小明跳四个台阶就一共有五种，分别是：1111,112,121,211,22。
那么问题来了。小明跳n阶台阶共有几种方法？

Input
有多组输入数据。

每组数据共一行，为一个整数n（1<=n<=70）

Output
对于每组输入数据，输出一个整数m，m为小明跳n阶楼梯的方法数。
Sample Input
1
2
4
Sample Output
1
2
5
Hint
于是小明就孤独一生了。

可喜可贺可喜可贺。

解题思路

本题有两种方法：

1.观察规律。小明跳一阶楼梯有1种方法，跳两阶楼梯有2种方法，跳三阶楼梯有3种方法，跳四阶楼梯有5种方法，依次类推，接下去的方法数为8,13,21,34，。。。。。。。
不难发现这是一个斐波那契数列，于是就可以直接按求斐波那契数列的公式来算。

2.求递推公式。利用状态转移的思想。假设小明跳n阶楼梯会有F[n]种方法，那么小明跳这n阶楼梯的所有方法可以分为两类：
一，最后一步为跳一阶的方法
二，最后一步为跳两阶的方法
最后一步为跳一阶的方法除去最后一步就是跳n-1阶楼梯的方法数，最后一步为跳两阶的方法除去最后一步就是跳n-2阶楼梯的方法数。
所以便可以得到如下递推式：
F[n]=F[n-1]+F[n-2]
然后把特殊情况列出来（因为上式对n=1和n=2的情况不适用），于是就可以在算这道式子之前先初始化F[1]为1，F[2]为2。（当然也可以初始化F[0]=1，F[1]=1）
最后你会发现，这个推出来就是斐波那契数列的递推式。

代码

#include<cstdio>
int n;
long long a[80];
int main()
{a[1]=1;a[2]=2;for(int i=3;i<=70;i++)a[i]=a[i-1]+a[i-2];while(scanf("%d",&n)==1)printf("%lld\n",a[n]);return 0;
}

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