63. 不同路径 II【动态规划】
63.不同路径 II
题目链接:https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths-ii/
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为“Start” )。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为“Finish”)。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径?
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
示例 1:
输入:obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出:2
解释:
3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径:
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2:
输入:obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出:1
提示:
* m == obstacleGrid.length
* n == obstacleGrid[i].length
* 1 <= m, n <= 100
* obstacleGrid[i][j]为 0 或 1
思路
这道题相对于62.不同路径就是有了障碍。
第一次接触这种题目可能会有点懵,这如果有障碍了,应该怎么算呢?
62.不同路径中已经详细分析了没有障碍的情况,有障碍的话,其实就是标记对应的dp table(dp数组)保持初始值(0)就可以了。
动规五部曲:
1.确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i][j] :表示从(0 ,0)出发,到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。
2.确定递推公式
递推公式和62.不同路径一样,dp[i][j]= dp[i - 1][j]+ dp[i][j - 1]。
但这里需要注意一点,因为有了障碍,(i, j)如果就是障碍的话应该就保持初始状态(初始状态为0)。
所以代码为:
```
if (obstacleGrid[i][j] == 0) { // 当(i, j)没有障碍的时候,再推导dp[i][j]
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
```
3.dp数组如何初始化
在62.不同路径不同路径中我们给出如下的初始化:
```
for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
```
因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条,所以dp[i][0]一定为1,dp[0][j]也同理。
但如果(i, 0) 这条边有了障碍之后,障碍之后(包括障碍)都是走不到的位置了,所以障碍之后的dp[i][0]应该还是初始值0。
如图:
下标(0, j)的初始化情况同理。
所以本题初始化代码为:
```
for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++) dp[0][j] = 1;
```
注意代码里for循环的终止条件,一旦遇到obstacleGrid[i][0] == 1的情况就停止dp[i][0]的赋值1的操作,dp[0][j]则同理。
4. 确定遍历顺序
从递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] 中可以看出,一定是从左到右一层一层遍历,这样保证推导dp[i][j]的时候,dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值。
代码如下:
```
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
if (obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
```
5. 举例推导dp数组
拿示例1来举例如题:
对应的dp table 如图:
如果这个图看不同,建议在理解一下递归公式,然后照着文章中说的遍历顺序,自己推导一下!
动规五部分分析完毕,对应java代码如下:
什么是动态规划
动态规划,英⽂:Dynamic Programming,简称DP,如果某⼀问题有很多重叠⼦问题,使⽤动态规划是最有效的。
动态规划中每⼀个状态⼀定是由上⼀个状态推导出来的,这⼀点就区分于贪⼼,贪⼼没有状态推导,⽽是从局部直接选最优的。
动规和贪心的区别举个例子:
例如:有N件物品和⼀个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品只能⽤⼀次,求解将哪些物品装⼊背包⾥物品价值总和最⼤。
动态规划中dp[j]是由dp[j-weight[i]]推导出来的,然后取max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])。
但如果是贪⼼呢,每次拿物品选⼀个最⼤的或者最⼩的就完事了,和上⼀个状态没有关系。
动态规划的解题步骤:
对于动态规划问题,可以拆解为如下五步曲,这五步都搞清楚了,才能说把动态规划真的掌握了!
- 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
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