Luogu1514 引水入城

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1514

引水入城

题目描述

在一个遥远的国度，一侧是风景秀美的湖泊，另一侧则是漫无边际的沙漠。该国的行政区划十分特殊，刚好构成一个NNN 行×M\times M×M列的矩形，如上图所示，其中每个格子都代表一座城市，每座城市都有一个海拔高度。

为了使居民们都尽可能饮用到清澈的湖水，现在要在某些城市建造水利设施。水利设施有两种，分别为蓄水厂和输水站。蓄水厂的功能是利用水泵将湖泊中的水抽取到所在城市的蓄水池中。

因此，只有与湖泊毗邻的第111 行的城市可以建造蓄水厂。而输水站的功能则是通过输水管线利用高度落差，将湖水从高处向低处输送。故一座城市能建造输水站的前提，是存在比它海拔更高且拥有公共边的相邻城市，已经建有水利设施。由于第NNN 行的城市靠近沙漠，是该国的干旱区，所以要求其中的每座城市都建有水利设施。那么，这个要求能否满足呢？如果能，请计算最少建造几个蓄水厂；如果不能，求干旱区中不可能建有水利设施的城市数目。

输入格式

每行两个数，之间用一个空格隔开。输入的第一行是两个正整数N,MN,MN,M，表示矩形的规模。接下来NNN 行，每行MMM 个正整数，依次代表每座城市的海拔高度。

输出格式

两行。如果能满足要求，输出的第一行是整数111，第二行是一个整数，代表最少建造几个蓄水厂；如果不能满足要求，输出的第一行是整数000，第二行是一个整数，代表有几座干旱区中的城市不可能建有水利设施。

输入输出样例

输入 #1

2 5
9 1 5 4 3
8 7 6 1 2

输出 #1

1
1

输入 #2

3 6
8 4 5 6 4 4
7 3 4 3 3 3
3 2 2 1 1 2

输出 #2

1
3

说明/提示

【样例1 说明】

只需要在海拔为999 的那座城市中建造蓄水厂，即可满足要求。

【样例2 说明】

上图中，在333个粗线框出的城市中建造蓄水厂，可以满足要求。以这333个蓄水厂为源头在干旱区中建造的输水站分别用3 种颜色标出。当然，建造方法可能不唯一。

【数据范围】

题解

要做这道题，首先需要看出来一个性质：对于一个蓄水厂，它能够输水的干旱区城市一定是连续的，否则必定有干旱城市不能建水利设施。因为若存在一个蓄水厂能够输水的区域（下图蓝色部分）不连续，则必定存在一段高海拔城市（下图蓝色部分）阻断了输水，使得被其包围的部分都不能被输水：

由此，我们就有了一个简谱的思路：通过bfs/dfsbfs/dfsbfs/dfs求出每个第一行城市可以覆盖的区间，然后做一个最小区间覆盖即可，复杂度为O(nm2)O(nm^2)O(nm2)存在理论AC\mathcal{AC}AC可能（博主开O2O2O2稳定过，不开玄学过，洛谷评测机就很迷）。

不难发现，当我们以每一个第一行城市为起电分别搜索时，有许多点被重复访问了，如果我们能把上一次搜索得到的结果保留下来，当搜索到已经搜索过的城市时就可直接返回，这样每个城市就只会被访问一次，复杂度为O(nm)O(nm)O(nm)，这就是传说中的记忆化搜索。

具体做法是：对于每个城市，我们记录它能输水的最左点和最右点，当后面再次访问到该城市时直接取min/maxmin/maxmin/max即可。

最小区间覆盖部分就是一个贪心，每次遍历所有区间，找到左端点在已覆盖区间内而右端点又最远的区间加上去，复杂度为O(m2)O(m^2)O(m2)，甚至还可以加上以左端点为第一关键字、右端点为第二关键字的排序实现O(mlog2m)O(mlog_2^m)O(mlog2m)求解。

代码

退役老咸鱼含泪复习记忆化搜索……

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=505;
int n,m,ans;
int l[M][M],r[M][M],hei[M][M];
int mx[]={1,-1,0,0};
int my[]={0,0,1,-1};
bool vis[M][M],flag;
void in()
{memset(hei,127,sizeof(hei));scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j)scanf("%d",&hei[i][j]);
}
void dfs(int x,int y)
{vis[x][y]=1;for(int i=0,tx,ty;i<4;++i){tx=x+mx[i],ty=y+my[i];if(hei[tx][ty]>=hei[x][y])continue;if(!vis[tx][ty])dfs(tx,ty);l[x][y]=min(l[x][y],l[tx][ty]),r[x][y]=max(r[x][y],r[tx][ty]);}
}
void ac()
{memset(l,127,sizeof(l));for(int i=1;i<=m;++i)l[n][i]=r[n][i]=i;for(int i=1;i<=m;++i)if(!vis[1][i])dfs(1,i);for(int i=1;i<=m;++i)if(!vis[n][i])++ans,flag=1;if(flag){printf("0\n%d",ans);return;}for(int le=1,ri=1;le<=m;++ans,le=ri+1)for(int i=1;i<=m;++i)if(l[1][i]<=le)ri=max(r[1][i],ri);printf("1\n%d",ans);
}
int main(){in(),ac();}