【自动控制原理】根轨迹Root Locus-笔记
Part1 “根”的作用
重点：掌握根的变化规律。从而设计控制器/补偿器。
“根”——“极点”（一样的概念）
一阶系统
比如这个系统
传递函数为 ，对这个系统施加一个冲击 u(t)=
，
的Laplace变换=1。
所以系统的输出为 ，令s + a = 0，得“根”P = -a
进行Laplace的逆变换，得到这个系统的时间函数 ，这里的-a就是它的根
当a>0时，它在时间轴上的表现为指数衰减
对于一般的一阶系统来说，如果把它的根在复平面上(横轴为实数,竖轴为虚数)表达出来的话，它一定落在实轴上，如图
一阶函数的重要指标：时间常数、稳定时间，都与根的位置息息相关。
二阶系统
比如一个弹簧阻尼系统
其传递函数表达为
固有频率
阻尼比
系统输入
所以系统输出为
令分母=0，再用求根公式，得P1、P2
进行Laplace逆变换，得
则在复平面上，因此，可知系统的收敛速度是由根P1决定的
进行Laplace逆变换，得
则把这两个根在复平面上表达出来，
而它所体现出来的时间函数图像为
进行Laplace逆变换，得
输出的表现为
把两个根在复平面上表达出来，
如果此时用一些手段把根向左移，可以看到d2没有变，即wd没有变，振荡频率不变
d1变大了，收敛速度变快
二阶系统的性能指标：超调量、上升时间等等，与根的位置息息相关
对于更高的系统来说，也不过是一阶、二阶系统的叠加。
比如这样一个三阶系统
Part2 根轨迹手绘技巧
其闭环传递函数为
而我们研究的就是它的分母
强调：我们研究= 0时的根，也就是这个闭环传递函数的极点。而分析对象是开环传递函数G(s)。即通过G(s)判断
= 0时的根
也就是说，如果我们有这样一个系统
它所对应的传递函数为
！ 在这种情况下，G(s)H(s)就是我们的分析对象。
或者说，给一个闭环传递函数
如何化为标准形式？
化成框图，
其中
Part3 分离点/汇合点和根的性质
1.分离点/汇合点
一个典型的二阶系统，其微分方程为
其中
下面，我们尝试用根轨迹的方法来设计这个阻尼比。
先画出传递函数的框图
令=k，分母改变一下
要用根轨迹，就要把它变成一般形式，即
于是，得到极点（两个)和零点（一个）
然后绘制根轨迹
而
当把代入，得
这就是根在实轴上时，K的一个表达形式
所以
2.根的性质
例子：
验证一下：
可以用几何方法求得结果。
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