python解决微分方程（数值解法）

Python求解微分方程（数值解法）

对于一些微分方程来说，数值解法对于求解具有很好的帮助，因为难以求得其原方程。
比如方程：
但是我们知道了它的初始条件，这对于我们叠代求解很有帮助，也是必须的。

那么现在我们也用Python去解决这一些问题，一般的数值解法有欧拉法、隐式梯形法等，我们也来看看这些算法对叠代的精度有什么区别？


```python```python
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
from matplotlib import pyplot as plt
import os
#先从odeint函数直接求解微分方程#创建欧拉法的类
class Euler:#构造方法，当创建对象的时候，自动执行的函数def __init__(self,h,y0):#将对象与对象的属性绑在一起self.h = hself.y0 = y0self.y = y0self.n = 1/self.hself.x = 0self.list = [1]#欧拉法用list列表,其x用y叠加储存self.list2 = [1]self.y1 = y0#改进欧拉法用list2列表，其x用y1叠加储存self.list3 = [1]self.y2 = y0#隐式梯形法用list3列表，其x用y2叠加储存#欧拉法的算法，算法返回t,xdef countall(self):for i in range(int(self.n)):y_dere = -20*self.list[i]#欧拉法叠加量y_dere = -20 * xy_dere2 = -20*self.list2[i] + 0.5*400*self.h*self.list2[i]#改进欧拉法叠加量 y_dere2 = -20*x(k) + 0.5*400*delta_t*x(k)y_dere3 = (1-10*self.h)*self.list3[i]/(1+10*self.h)#隐式梯形法计算 y_dere3 = (1-10*delta_t)*x(k)/(1+10*delta_t)self.y += self.h*y_dereself.y1 += self.h*y_dere2self.y2 =y_dere3self.list.append(float("%.10f" %self.y))self.list2.append(float("%.10f"%self.y1))self.list3.append(float("%.10f"%self.y2))return np.linspace(0,1,int(self.n+1)), self.list,self.list2,self.list3step = input("请输入你需要求解的步长:")
step = float(step)
work1 = Euler(step,1)
ax1,ay1,ay2,ay3 = work1.countall()
#画图工具plt
plt.figure(1)
plt.subplot(1,3,1)
plt.plot(ax1,ay1,'s-.',MarkerFaceColor = 'g')
plt.xlabel('横坐标t',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.ylabel('纵坐标x',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.title('欧拉法求解微分线性方程步长为'+str(step),fontproperties = 'simHei',fontsize =20)plt.subplot(1,3,2)
plt.plot(ax1,ay2,'s-.',MarkerFaceColor = 'r')
plt.xlabel('横坐标t',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.ylabel('纵坐标x',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.title('改进欧拉法求解微分线性方程步长为'+str(step),fontproperties = 'simHei',fontsize =20)plt.subplot(1,3,3)
plt.plot(ax1,ay3,'s-.',MarkerFaceColor = 'b')
plt.xlabel('横坐标t',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.ylabel('纵坐标x',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.title('隐式梯形法求解微分线性方程步长为'+str(step),fontproperties = 'simHei',fontsize =20)plt.figure(2)
plt.plot(ax1,ay1,ax1,ay2,ax1,ay3,'s-.',MarkerSize = 3)
plt.xlabel('横坐标t',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.ylabel('纵坐标x',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.title('三合一图像步长为'+str(step),fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
ax = plt.gca()
ax.legend(('$Eular$','$fixed Eular$','$trapezoid$'),loc = 'lower right',title = 'legend')
plt.show()
os.system("pause")

对于欧拉法，它的叠代方法是：

改进欧拉法的叠代方法：

隐式梯形法：

对于不同的步长，其求解的精度也会有很大的不同，我先放一几张结果图：

希望对你有所帮助！

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