学习日记11--常微分方程数值解法

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常微分方程数值解法——龙格库塔法（RK法）

RK法的K的个数就是其精度的阶数，常用的有四阶RK法

y(i+1) = y(i)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6
      K1=f(x(i),y(i))
        K2=f(x(i)+h/2,y(i)+h*K1/2)
        K3=f(x(i)+h/2,y(i)+h*K2/2)

K4=f(x(i)+h,y(i)+h*K3)

精度阶数：若某方法局部截断误差满足

T(n+1)=y(x+h)-y(x)-hφ(x,y,h)=O(h^(p+1))，

则称该方法具有p阶精度。

其中， φ(x,y,h)为增量函数。

局部截断误差和整体截断误差

y(x(n+1))-y(n+1)=y(x(n+1))-[y(n)+hφ(x(n),y(n),h)]

=y(x(n+1))-y(x(n))-hφ(x(n),y(n),h)=T(n+1)

上式为局部截断误差。

e(n)=y(x(n))-y(n)

上式就是整体截断误差。其中，y(x(n)) 为精确解， y(n) 为数值解（近似解）。

注：对于整体截断误差，若某方法具有p阶精度，则e(n)=y(x(n))-y(n)=O(h^p)，与局部截断误差是不同的。也就是说每个

局部的误差为p+1阶，整体的误差为p阶。

一阶方程组的RK法
化高阶方程为一阶方程组的RK法

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