ar自回归 python_时间序列分析

向量自回归模型的英文名称为Vector Autoregressive model，常被简写成VAR。向量自回归的出现由来已久，可以追溯到上个世纪80年代，人们构建向量自回归模型主要出于以下考虑：

时间序列分析从单一时间序列 (time series data) 拓展到了多元时间序列 (multivariate time series)，在任意第

个时间间隔 (time interval)，观测样本从

变成了

，其中，

表示多元时间序列中时间序列的数量。
标准的自回归模型 (Autoregressive model, 简称AR) 其表达式过于简单，无法很好地在多元时间序列分析中发挥作用。

1 标准的自回归模型

在统计学、经济学乃至信号处理等领域，自回归模型被广泛应用于描述随时间变化的过程 (简称时变过程)，其中，最为经典的应用当属时间序列分析，在这里，自回归模型假设变量之间存在一个线性的依赖关系，即输出变量 (output variables) 如

与输入的历史变量 (previous variables) 如

存在一个线性表达式。

不妨先看一下标准的自回归模型：给定单一时间序列

，其时间间隔的数量为

，则对于任意第

个时间间隔，存在如下的线性表达式：

其中，

表示回归系数；常数

表示自回归模型的阶数 (order)，也可以将

简单地理解成当前时间点关联过去时间点的数量。

在自回归模型中，我们的目标是从观测数据中学习出参数

。现假设观测数据为

，首先，我们需要对自回归模型的线性表达式进行改写：

其中，

；

. 在这里，写成这种形式完全是为了简化后续的推导。

如果进一步将

作为高斯噪声，采用最小二乘法，则回归系数

的最优解为

2 多元时间序列

实际上，相比单一的时间序列数据，多元时间序列数据反而更为常见，是由单一的时间序列构成，如下面的矩阵

就是一般形式的多元时间序列数据。在矩阵

中，任意第

个时间间隔下，观测值为

观测值的数量为

3 向量自回归模型

针对多元时间序列数据，向量自回归模型采用了一种更为灵活的时序建模策略：给定多元时间序列数据为

，则对于任意第

个时间间隔，存在如下的线性表达式：

其中，

表示向量自回归模型的系数矩阵；

可视为高斯噪声。

为方便后续推导，与自回归模型类似，令

将向量自回归模型进行改写：

其中，公式中的矩阵

和

定义如下：

由此，采用最小二乘法，系数矩阵

的最优解为

在这里，我们用到了F-范数与矩阵迹 (trace) 之间的等价变换，它的意义是为了方便推导，如何简单理解这种等价变换呢？举一个例子：给定任意大小为

的矩阵

由于F-范数是矩阵所有元素的平方和开根号，即

另外，

因此，根据矩阵迹的定义，有

4 相关参考

本文来源于https://nbviewer.jupyter.org/github/mobility-computing/GrapicalML/blob/master/content/bvar.ipynb，原文主要讨论了向量自回归模型的原理，并介绍了如何用numpy实现向量自回归模型。