【图论】染色法判定二分图详解

染色法判定二分图

一、二分图
二、染色法
- 1.算法实现思路
- 2.DFS深度优先遍历代码实现
- 3.BFS广度优先遍历代码实现

一、二分图

一定不含有奇数环，可能包含长度为偶数的环，不一定是连通图

二分图是图论中的一种特殊模型。设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交子集，使得每一条边都分别连接两个集合中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图，如下图所示的全都是二分图：

关于二分图有一个重要的定理：G为二分图的充要条件是G中的每一个环的长度都是偶数 在这里就不证明了。

二、染色法

1.算法实现思路

我们规定1或2代表一个点属于两个集合。
首先我们任选一个点染色成1，把和它相连的所有点染色成2。
然后再把所有和染色成2的点相邻的点染色成1
在每一次染色点时首先要判断一下这个点是否被染色过，如果被染色过并且和上一个点颜色相同，则代表染色失败，该图不是二分图。

2.DFS深度优先遍历代码实现

代码思路：

染色可以使用1和2区分不同颜色，用0表示未染色
遍历所有点，每次将未染色的点进行dfs, 默认染成1或者2
由于某个点染色成功不代表整个图就是二分图,因此只有某个点染色失败才能立刻break/return
- 染色失败相当于存在相邻的2个点染了相同的颜色

//#pragma GCC optimize(2)
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<bitset>
#include<ctime>
#include<cstring>
#include<list>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef  pair<int, int> PII;
const int N = 1e5 + 7,M=2e5+7;int n, m;
int h[M], e[M], ne[M];  //邻接表存图
int id = 1;
int color[N];  //每个点的颜色void add(int a, int b)  //加边函数
{e[id] = b, ne[id] = h[a], h[a]=id++;
}bool dfs(int u, int x)   //把u染色成x
{color[u] = x;for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])   //遍历与u相连的所有点{int j = e[i];if (!color[j])  //如果这个点没被染色过就染色{if (!dfs(j, 3 - x))return false;  //染色失败就返回false}if (color[j] == color[u])return false;  //之前被染色并且和父节点颜色一样就染色失败}return true;
}void solve()
{mem(h, -1);cin >> n >>  m;for (int i = 0; i < m; i++){int a, b;cin >> a >> b;add(a, b);add(b, a);}for (int i = 1; i <= n; i++){if (!color[i]){if (!dfs(i, 1)){cout << "No" << endl;return;}}}cout << "Yes" << endl;
}int main()
{std::ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0), cout.tie(0);solve();return 0;
}

3.BFS广度优先遍历代码实现

代码思路

颜色 1 和 2 表示不同颜色, 0 表示未染色
定义queue是存PII，表示 <点编号, 颜色>,
同理，遍历所有点, 将未染色的点都进行bfs
队列初始化将第i个点入队, 默认颜色可以是1或2
- while (队列不空)
  - 每次获取队头t, 并遍历队头t的所有邻边
  - 若邻边的点未染色则染上与队头t相反的颜色，并添加到队列
  - 若邻边的点已经染色且与队头t的颜色相同, 则返回false

//#pragma GCC optimize(2)
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<bitset>
#include<ctime>
#include<cstring>
#include<list>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef  pair<int, int> PII;
const int N = 1e5 + 7,M=2e5+7;int n, m;
int h[M], e[M], ne[M];
int id = 1;
int color[N];void add(int a, int b)
{e[id] = b, ne[id] = h[a], h[a]=id++;
}bool bfs(int u) {queue<PII> q;q.push( { u, 1 });color[u] = 1;while (!q.empty()) {auto t = q.front();q.pop();int ver = t.first, c = t.second;for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]) {int j = e[i];if (!color[j]){color[j] = 3 - c;q.push ( { j, 3 - c });}else if (color[j] == c) return false;}}return true;
}void solve()
{mem(h, -1);cin >> n >>  m;for (int i = 0; i < m; i++){int a, b;cin >> a >> b;add(a, b);add(b, a);}for (int i = 1; i <= n; i++){if (!color[i]){if (!bfs(i)){cout << "No" << endl;return;}}}cout << "Yes" << endl;
}int main()
{std::ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0), cout.tie(0);solve();return 0;
}

作者：Avalon Demerzel，喜欢我的博客就点个赞吧，更多图论与数据结构知识点请见作者专栏《图论与数据结构》

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