【BZOJ】1497: [NOI2006]最大获利最大权闭合子图或最小割

【题意】给定n个点，点权为pi。m条边，边权为ci。选择一个点集的收益是在[点集中的边权和]-[点集点权和]，求最大获利。n<=5000,m<=50000,0<=ci,pi<=100。

【算法】最大权闭合子图或最小割

【题解】网络流的复杂度是假的233大胆地写吧。

把边视为连向端点的点，就是最大权闭合子图了。

重点讲一下Amber论文中的最小割模型。

设$d_v$表示点v的邻边边权和，$g$表示一端选一端不选的边权和（即点集和其他点的割），那么：

$$2ans=-(-\sum_v d_v+g+2*\sum_v p_v)$$

为了方便求最小割，我们在右边整体加了个负号，这样我们就是求括号内的最小值了。

在网络流图中，对每个点x建一个点，S-x-T，割x-T表示在S割表示选，割S-x表示在T割表示不选，所以把选点的代价$2p_v-d_v$放在x-T上。

如果点u选而点v不选，那么边(u,v)就必须加入最小割，所以从u向v连边容量为边权，这样割掉u-T和S-v后还有通路S-u-v-T。

建图完毕后，图中有负权边。我们给所有节点加一个固定代价U（U足够大，无论选不选），这样显然不影响决策，就可以在S-x和x-T上+U，从而解决负权边的问题。

（最小割不能直接给所有边加权，这样会破坏边权大小关系，必须要从建图方面考虑不影响决策的代价）

最终答案就是$\frac{U*n-c[S,T]}{2}$。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,S,T,p[5010];
namespace nwf{const int maxn=5010,maxm=200010,inf=0x3f3f3f3f;int tot=1,first[maxn],d[maxn],q[maxn],cur[maxn];struct edge{int v,f,from;}e[maxm*2];void insert(int u,int v,int f){tot++;e[tot].v=v;e[tot].f=f;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;tot++;e[tot].v=u;e[tot].f=0;e[tot].from=first[v];first[v]=tot;}bool bfs(){memset(d,-1,sizeof(d));d[S]=0;int head=0,tail=1;q[head]=S;while(head<tail){int x=q[head++];for(int i=first[x];i;i=e[i].from)if(e[i].f&&d[e[i].v]==-1){d[e[i].v]=d[x]+1;q[tail++]=e[i].v;}}return ~d[T];}int dfs(int x,int a){if(x==T||a==0)return a;int flow=0,f;for(int& i=cur[x];i;i=e[i].from)if(e[i].f&&d[e[i].v]==d[x]+1&&(f=dfs(e[i].v,min(a,e[i].f)))){e[i].f-=f;e[i^1].f+=f;flow+=f;a-=f;if(a==0)break;}return flow;}int dinic(){int ans=0;while(bfs()){for(int i=S;i<=T;i++)cur[i]=first[i];ans+=dfs(S,inf);}return ans;}
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);S=0;T=n+1;int U;for(int i=1;i<=n;i++){int u;scanf("%d",&u);nwf::insert(i,T,u*2);}for(int i=1;i<=m;i++){int u,v,w;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);nwf::insert(u,v,w);nwf::insert(v,u,w);//
        p[u]+=w;p[v]+=w;U=max(U,max(p[u],p[v]));}for(int i=1;i<=n;i++){nwf::insert(S,i,U);nwf::insert(i,T,U-p[i]);}printf("%lld",(1ll*U*n-nwf::dinic())/2);return 0;
}

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