《向量积分配律的证明》证明书
《向量积分配律的证明》证明书
向量积分配律的证明三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。
下面把向量外积定义为：
a × b = |a|·|b|·Sin.
分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。我们假定已经知道了：
1)外积的反对称性：( 散文阅读：www.sanwen.net )
a × b = - b × a.
这由外积的定义是显然的。
2)内积(即数积、点积)的分配律：
a·(b + c) = a·b + a·c,
(a + b)·c = a·c + b·c.
这由内积的定义a·b = |a|·|b|·Cos，用投影的方法不难得到证明。
3)混合积的性质：
定义(a×b)·c为矢量a, b, c的混合积，容易证明：
i) (a×b)·c的绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a, b, c的定向决定(右手系为正，左手系为负)。
从而就推出：
ii) (a×b)·c = a·(b×c)
所以我们可以记a, b, c的混合积为(a, b, c).
由i)还可以推出：
iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)
我们还有下面的一条显然的结论：
iv) 若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1, a2, a3，则a必为零矢量。
下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。
设r为空间任意矢量，在r·(a×(b + c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有
r·(a×(b + c))
= (r×a)·(b + c)
= (r×a)·b + (r×a)·c
= r·(a×b) + r·(a×c)
= r·(a×b + a×c)
移项，再利用数积分配律，得
r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0
这说明矢量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即
a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0
所以有
a×(b + c) = a×b + a×c.
证毕。
三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。
下面把向量外积定义为：
a × b = |a|·|b|·Sin.
分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。我们假定已经知道了：
1)外积的反对称性：
a × b = - b × a.
这由外积的定义是显然的。
2)内积(即数积、点积)的分配律：
a·(b + c) = a·b + a·c,
(a + b)·c = a·c + b·c.
这由内积的定义a·b = |a|·|b|·Cos，用投影的方法不难得到证明。
3)混合积的性质：
定义(a×b)·c为矢量a, b, c的混合积，容易证明：
i) (a×b)·c的绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a, b, c的定向决定(右手系为正，左手系为负)。
从而就推出：
ii) (a×b)·c = a·(b×c)
所以我们可以记a, b, c的混合积为(a, b, c).
由i)还可以推出：
iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)
我们还有下面的一条显然的结论：
iv) 若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1, a2, a3，则a必为零矢量。
下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。
设r为空间任意矢量，在r·(a×(b + c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有
r·(a×(b + c))
= (r×a)·(b + c)
= (r×a)·b + (r×a)·c
= r·(a×b) + r·(a×c)
= r·(a×b + a×c)
移项，再利用数积分配律，得
r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0
这说明矢量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即
a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0
所以有
a×(b + c) = a×b + a×c.
证毕。
《向量积分配律的证明》证明书相关推荐
- Mobius反演方法
<更新提示> 前置知识:建议有一点DirichletDirichletDirichlet卷积的基础,会线性筛求积性函数.本文可能会持续更新. 可以看我以前在博客园的博客. <正文&g ...
- 4.1-4.3 什么是矩阵 矩阵的基本运算及性质
什么是矩阵 Matrix 向量是对数的拓展,一个向量表示一组数. 矩阵是对向量的拓展,一个矩阵表示一组向量. 以行来看矩阵, 以列看矩阵 行数与列数相等的矩阵 称为 方阵 使用大写字母代表矩阵,用矩阵 ...
- 【数论】ACM数论基础知识总结
文章目录 一.质数 1.定义 2.质数的判断 3.质数的筛选 4.质因子分解 5.互质 二.同余 1.模运算 2.同余 3.欧拉定理 4.同余方程 5.同余方程组 6.原根 7.高次同余方程 数论是数 ...
- 2022考研数学-离散数学教程
文章链接 https://gitee.com/fakerlove/discrete-mathematics 文章目录 离散数学教程 1. 命题逻辑 1.1 命题符号化 1.1.1 概念 1.1.2 形 ...
- 最大公因数GCD的分配律、结合律 - 证明及其简单应用
最大公因数GCD的分配律.结合律 - 证明及其简单应用 背景简介 分配律 Distributive Law 结合律 Associative Law 简单应用(完成题目证明) 背景简介 在学习数论相关知 ...
- 叉乘分配律的几何证明
叉乘分配律的几何证明 方法1 叉乘常被用于计算机图形学求平面法向量计算. 叉乘的物理意义可以理解成力矩.力是可以合成与分解的,所以叉乘当然支持分配律. 下面使用几何的方式证明: (a⃗+b⃗)×c⃗= ...
- 初等证明：费马商的加法分配律证明
题:令ppp是素数,aaa是正整数且不能被ppp整除,定义费马商qp(a)=ap−1−1pq_p(a) = \frac{a^{p-1}-1}{p}qp(a)=pap−1−1.证明:若aaa和bbb ...
- 叉积的证明_矢量叉乘分配律的几何证明
              预备知识 矢量的叉乘 证明 $ \boldsymbol{\m ...
- 两个向量叉乘（定义是类似多项式相乘再求和）和点乘（定义是对应位置的坐标相乘再求和）的定义和证明，以及和四元数乘法的联系和区别
向量叉乘: 两个向量的坐标量积又叫做向量积,用于计算法向量. 游戏内应用: 用于判断物体在自身的左右方位. 还有应用于图形学里,对环境光照于自身顶点或者片元的法向量的夹角来判断光漫反射的强弱. 用于相 ...
最新文章
- 他24岁，4篇Nature在手，也会关心学不懂C语言怎么办
- Git 2.18版本发布：支持Git协议v2，提升性能
- 不需要任何依赖的图片加载错误处理的工具类load-image.js
- 求数组最小数平均值和和值
- html5--1.15 style元素与HTML样式基础
- 15. 二维数组中的查找【难度: 一般 / 知识点: 思维】
- Coursera吴恩达《神经网络与深度学习》课程笔记（3）-- 神经网络基础之Python与向量化
- 影响了一代代前端人的 20 个里程碑式的顶级开源项目！- 2006 - 2021
- 【软考】2017年11月软件设计师上午真题5-8题答案解析
- OpenCASCADE：Modeling Data之几何实用程序
- 刷新器-Java EE 7后端十大功能
- 服务器改用ssh文件登录
- 使用 APPLY 来为每行调用表值函数
- mysql 分表 存储过程,通用分表存储过程
- juniper：opencontrail/contrail 作为SDN解决方案
- MAC Pro开机密码忘记了怎么办？
- 软件设计师-6.结构化开发方法
- 按关键字爬取百度图片
- linux 计算程序运行时间
- 秀智商，答对12题平分百万-《百万英雄》