初等证明：费马商的加法分配律证明

题：令ppp是素数，aaa是正整数且不能被ppp整除，定义费马商qp(a)=ap−1−1pq_p(a) = \frac{a^{p-1}-1}{p}qp(a)=pap−1−1.证明：若aaa和bbb是不能被素数ppp整除的正整数，那么qp(ab)≡qp(a)+qp(b)(modp)q_p(ab) \equiv q_p(a) + q_p(b) \pmod pqp(ab)≡qp(a)+qp(b)(modp)

前言：显然p∣(ap−1−1)⋀p∣(bp−1−1)p \mid (a^{p-1}-1) \bigwedge p \mid (b^{p-1}-1)p∣(ap−1−1)⋀p∣(bp−1−1)，注意到
ab−1=ab−b+b−1=(a−1)b+(b−1)ab-1=ab-b+b-1=(a-1)b+(b-1)ab−1=ab−b+b−1=(a−1)b+(b−1)
为何等式变复杂了却巧妙地利于结果的证明，大概是变复杂了也变成了特定的形式使其符合已有的理论进而使用已证明的理论对后续进行论证。

证：

qp(ab)=(ab)p−1−1p=1q_p(ab) =\frac{(ab)^{p-1} - 1}{p} = 1qp(ab)=p(ab)p−1−1=1

(ap−1−1)(bp−1+1)=(ab)p−1−1+ap−1−bp−1(a^{p-1}-1)(b^{p-1}+1) = (ab)^{p-1} -1 + a^{p-1} - b^{p-1}(ap−1−1)(bp−1+1)=(ab)p−1−1+ap−1−bp−1

∴qp(ab)=(ap−1−1)(bp−1+1)−ap−1+bp−1p\therefore q_p(ab) = \frac{(a^{p-1}-1)(b^{p-1}+1) - a^{p-1} + b^{p-1}}{p}∴qp(ab)=p(ap−1−1)(bp−1+1)−ap−1+bp−1

∴qp(ab)=(ap−1−1)(bp−1+1)−(ap−1−1)+bp−1−1p\therefore q_p(ab) = \frac{(a^{p-1}-1)(b^{p-1}+1) - (a^{p-1} - 1) + b^{p-1} - 1}{p}∴qp(ab)=p(ap−1−1)(bp−1+1)−(ap−1−1)+bp−1−1

∴qp(ab)=(ap−1−1)bp−1+bp−1−1p\therefore q_p(ab) = \frac{(a^{p-1}-1)b^{p-1} + b^{p-1} - 1}{p}∴qp(ab)=p(ap−1−1)bp−1+bp−1−1

∴qp(ab)=(ap−1−1)bp−1p+bp−1−1p\therefore q_p(ab) = \frac{(a^{p-1}-1)b^{p-1}}{p} + \frac{b^{p-1} - 1}{p}∴qp(ab)=p(ap−1−1)bp−1+pbp−1−1

∵p∣(ap−1−1)⋀bp−1≡1(modp)\because p \mid (a^{p-1} -1) \bigwedge b^{p-1} \equiv 1 \pmod p∵p∣(ap−1−1)⋀bp−1≡1(modp)

∴(ap−1−1)bp−1p≡ap−1−1p(modp)\therefore \frac{(a^{p-1}-1)b^{p-1}}{p} \equiv \frac{a^{p-1} -1}{p} \pmod p∴p(ap−1−1)bp−1≡pap−1−1(modp)

∴qp(ab)≡(ap−1−1)p+(bp−1−1)p≡qp(a)+qp(b)(modp)\therefore q_p(ab) \equiv \frac{(a^{p-1} -1)}{p} + \frac{(b^{p-1} -1)}{p} \equiv q_p(a) + q_p(b) \pmod p∴qp(ab)≡p(ap−1−1)+p(bp−1−1)≡qp(a)+qp(b)(modp)

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