任意给4条边求形成四边形面积最大值

题目：任意给4条边，求形成四边形面积最大值。

结论：形成的四边形的四个顶点都在它的外接圆上，面积S满足：

其中

这也即是圆内接四边形的面积公式。

证明过程：

首先我们把四边形的四个顶点和四条边顺次分别记为：A,B,C,D和a,b,c,d，角B和D分别记为，设面积为S

这样就可以写推导过程了：

，亦即 (1)

对于对角线AC，由余弦定理对于有：

消去AC得到：

(2)

将(1)^2+(2)^2后得到：

所以到了这里可以看出要使S最大，必须使等于-1.

这样就知道了，，所以这就证明了，S最大时，四点都在外接圆上。

然后我们继续化简S，我们进一步得到：

然后把后面的用平方差公式继续展开：

继续平方差公式展开得到：

现在我们设：，这样我们就得到了任意给4条边形成四边形面积最大值的公式：

同时它也是圆内接四边形的面积公式。

典型题目：HDU4386.

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