UA MATH523A 实分析1 集合论基础7 一些度量空间基本概念

UA MATH523A 实分析1 集合论基础7 度量空间

内部、边界、闭包
收敛与连续性
完备性
紧性

称(X,ρ)(X,\rho)(X,ρ)为度量空间（Metric Space），ρ:X×X→[0,∞)\rho:X\times X \to [0,\infty)ρ:X×X→[0,∞)为度量，如果

ρ(x,y)=0\rho(x,y)=0ρ(x,y)=0 iff x=yx=yx=y
∀x,y∈X\forall x,y \in X∀x,y∈X,ρ(x,y)=ρ(y,x)\rho(x,y)=\rho(y,x)ρ(x,y)=ρ(y,x)
∀x,y,z∈X\forall x,y,z \in X∀x,y,z∈X, ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z)\rho(x,z) \le \rho(x,y)+\rho(y,z)ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z)

假设(X,ρ1)(X,\rho_1)(X,ρ1)与(Y,ρ2)(Y,\rho_2)(Y,ρ2)是两个度量空间，考虑它们的乘积X×YX\times YX×Y，可以定义ρ(ρ1,ρ2)\rho(\rho_1,\rho_2)ρ(ρ1,ρ2)作为乘积空间的度量。比如
ρ((x1,y1),(x2,y2))=max⁡{ρ1(x1,x2),ρ2(y1,y2)}\rho((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = \max\{\rho_1(x_1,x_2),\rho_2(y_1,y_2)\}ρ((x1,y1),(x2,y2))=max{ρ1(x1,x2),ρ2(y1,y2)}

在度量空间上，我们也可以定义上一讲中在拓扑空间中定义的所有概念，所以很多实分析的问题都是可以分别从分析或者拓扑的角度去理解的。

定义B(r,x)B(r,x)B(r,x)表示XXX中以xxx为圆心，rrr为半径的开球，即
B(r,x)={z∈X:ρ(x,z)<r}B(r,x) = \{z \in X:\rho(x,z)<r\}B(r,x)={z∈X:ρ(x,z)<r}

对于A⊂XA \subset XA⊂X，如果∀x∈A,∃r>0\forall x \in A, \exists r>0∀x∈A,∃r>0, B(r,x)⊂AB(r,x)\subset AB(r,x)⊂A，则称AAA是开集。

内部、边界、闭包

内点：∀x∈X\forall x \in X∀x∈X, 如果∃r>0\exists r>0∃r>0, B(r,x)⊂AB(r,x) \subset AB(r,x)⊂A，则xxx是AAA的内点；
外点：∀x∈X\forall x \in X∀x∈X, 如果∃r>0\exists r>0∃r>0, B(r,x)⊂ACB(r,x) \subset A^CB(r,x)⊂AC，则xxx是AAA的外点；
边界点：∀x∈X\forall x \in X∀x∈X, 如果∃r>0\exists r>0∃r>0, B(r,x)∩A≠ϕB(r,x) \cap A \ne \phiB(r,x)∩A=ϕ, B(r,x)∩AC≠ϕB(r,x)\cap A^C\ne \phiB(r,x)∩AC=ϕ，则xxx是AAA的边界点；

内部 ∀A⊂X\forall A \subset X∀A⊂X, AAA的内部表示AAA包含的最大的开集，或者AAA的所有内点构成的集合，记为int(A)int(A)int(A)
边界 AAA的所有边界点的集合，记为∂A\partial A∂A
闭包 AAA的内部与边界点的集合，记为Aˉ\bar{A}Aˉ，表示包含AAA的最小闭集

这里的定义和点集拓扑的相比只是把邻域换成了开球。

稠密(dense) 称AAA在XXX中是稠密集如果Aˉ=X\bar{A}=XAˉ=X，如果int(Aˉ)=ϕint(\bar{A})=\phiint(Aˉ)=ϕ就称AAA nowhere dense。

可分（Separable）称AAA可分如果AAA有稠密子集；

收敛与连续性

点列收敛 {xn}⊂X\{x_n\}\subset X{xn}⊂X, lim⁡n→∞xn=x∈X⇔lim⁡n→∞ρ(x,xn)=0\lim_{n\to \infty}x_n = x \in X \Leftrightarrow \lim_{n\to \infty}\rho(x,x_n)=0limn→∞xn=x∈X⇔limn→∞ρ(x,xn)=0

闭集的等价叙述 度量空间(X,ρ)(X,\rho)(X,ρ)上，A⊂XA \subset XA⊂X，x∈Xx \in Xx∈X，下面的叙述等价：

x∈Aˉx \in \bar{A}x∈Aˉ
∀r>0\forall r>0∀r>0, B(r,x)∩A≠ϕB(r,x)\cap A \ne \phiB(r,x)∩A=ϕ
∃{xn}⊂X\exists\{x_n\}\subset X∃{xn}⊂X, xn→xx_n \to xxn→x

连续性 (Pointwise) f:(X1,ρ1)→(X2,ρ2)f:(X_1,\rho_1) \to (X_2,\rho_2)f:(X1,ρ1)→(X2,ρ2)在xxx上连续，如果∀ϵ>0\forall \epsilon>0∀ϵ>0, ∃δx,ϵ>0\exists \delta_{x,\epsilon}>0∃δx,ϵ>0, B(δx,ϵ,x)⊂f−1(B(ϵ,f(x)))B(\delta_{x,\epsilon},x)\subset f^{-1}(B(\epsilon,f(x)))B(δx,ϵ,x)⊂f−1(B(ϵ,f(x)))。

一致连续 (uniformly continuous) f:(X1,ρ1)→(X2,ρ2)f:(X_1,\rho_1) \to (X_2,\rho_2)f:(X1,ρ1)→(X2,ρ2)一致连续，如果∀x∈X1,ϵ>0\forall x \in X_1, \epsilon>0∀x∈X1,ϵ>0, ∃δ>0\exists \delta>0∃δ>0, B(δ,x)⊂f−1(B(ϵ,f(x)))B(\delta,x)\subset f^{-1}(B(\epsilon,f(x)))B(δ,x)⊂f−1(B(ϵ,f(x)))。

拓扑中的连续性定义也可以作为判断映射连续的方法：fff连续等价于∀U∈X2\forall U \in X_2∀U∈X2，UUU为开集，则f−1(U)f^{-1}(U)f−1(U)也是X1X_1X1中的开集。

完备性

Cauchy {xn}⊂X\{x_n\} \subset X{xn}⊂X is Cauchy if ∀n,m≥N\forall n,m \ge N∀n,m≥N, ∃N∈N\exists N \in \mathbb{N}∃N∈N，ρ(xn,xm)<ϵ,∀ϵ>0\rho(x_n,x_m)<\epsilon,\forall \epsilon>0ρ(xn,xm)<ϵ,∀ϵ>0

完备 (complete) 称A⊂XA \subset XA⊂X完备，如果AAA中的Cauchy列收敛到AAA中的点

闭集的完备性 完备度量空间中的闭集完备；任意度量空间中的完备子集是闭集。这个性质说明完备度量空间中的柯西序列收敛到闭集中。

有界性(bounded) 集合的直径为diamE=sup⁡{ρ(x,y):x,y∈E}diam E=\sup\{\rho(x,y):x,y \in E\}diamE=sup{ρ(x,y):x,y∈E}，如果diamE<∞diam E<\inftydiamE<∞，称EEE有界

Totally Bounded ∃ϵ>0\exists \epsilon>0∃ϵ>0, {zi}i=1n⊂X\{z_i\}_{i=1}^n \subset X{zi}i=1n⊂X, A⊂⋃i=1nB(ϵ,zi)A \subset \bigcup_{i=1}^n B(\epsilon,z_i)A⊂⋃i=1nB(ϵ,zi)，称AAAtotal bounded

紧性

紧集假设A⊂XA \subset XA⊂X, AAA完备且total bounded，则AAA为紧集（compact set），关于紧集有下列等价性叙述：

Bolzano-Weierstrass定理：AAA中的任意点列存在一个极限在AAA中的收敛子列；
Heine-Borel定理：AAA的任何开覆盖都有有限子覆盖