第2章数字之魅——求二进制中1的个数

求二进制中1的个数

问题描述

　　对于一个字节（8bit）的变量，求其二进制表示中“1”的个数，要求算法的执行效率尽可能地高。

【解法一】

　　可以举一个八位的二进制例子来进行分析。对于二进制操作，我们知道，除以一个2，原来的数字将会减少一个0。如果除的过程中有余，那么就表示当前位置有一个1。

以10 100 010为例；

第一次除以2时，商为1 010 001，余为0。

第二次除以2时，商为101 000，余为1。

因此，可以考虑利用整型数据除法的特点，通过相除和判断余数的值来进行分析。于是有了如下的代码：

 1 package chapter2shuzizhimei.erjinzhicount1;
 2 /**
 3  * 求二进制数中1的个数
 4  * 【方法一】
 5  * @author DELL
 6  *
 7  */
 8 public class Count1 {
 9
10     /**
11      * 统计整数x转变成二进制后1的个数
12      * @param x 被计算的整数
13      * @return 二进制中1的个数
14      */
15     public static int count(int x){
16         int count = 0;  //记录二进制中1的个数
17         while(x!=0){
18             if(x%2==1){
19                 count++;
20             }
21             x /= 2;
22         }
23         return count;
24     }
25
26     public static void main(String[] args){
27         int x = 15;
28         System.out.println("二进制中1的个数为："+count(x));
29     }
30 }

程序运行结果如下：

二进制中1的个数为：4

【解法二】采用位操作

　　前面的代码看起来比较复杂。我们知道，向右移位操作同样也可以达到相除的目的。唯一不同之处在于，移位之后如何来判断是否有1存在。对于这个问题，再来看看一个八位的数字：10 100 001。

　　在向右移位的过程中，我们会把最后一位直接丢弃。因此，需要判断最后一位是否为1，而"与"操作可以达到目的。可以把这个八位的数字与00000001进行"与"操作。如果结果为1，则表示当前八位数的最后一位为1，否则为0。代码如下：

 1 package chapter2shuzizhimei.erjinzhicount1;
 2 /**
 3  * 求二进制数中1的个数
 4  * 【方法二】采用位操作
 5  * @author DELL
 6  *
 7  */
 8 public class Count2 {
 9
10     /**
11      * 统计整数x转变成二进制后1的个数
12      * @param x 被计算的整数
13      * @return 二进制中1的个数
14      */
15     public static int count(int x){
16         int count = 0;  //记录二进制中1的个数
17         while(x!=0){
18             count += x&0x01;  //采用与运算来统计1的个数
19             x >>= 1;
20         }
21         return count;
22     }
23
24     public static void main(String[] args){
25         int x = 15;
26         System.out.println("二进制中1的个数为："+count(x));
27     }
28 }

程序运行结果如下：

二进制中1的个数为：4

【解法三】只考虑1的个数

　　位操作比除、余操作的效率高了很多。但是，即使采用位操作，时间复杂度仍为O（log2v），log2v为二进制数的位数。那么，还能不能再降低一些复杂度呢？如果有办法让算法的复杂度只与"1"的个数有关，复杂度不就能进一步降低了吗？

　　同样用10 100 001来举例。如果只考虑和1的个数相关，那么，我们是否能够在每次判断中，仅与1来进行判断呢？

　　为了简化这个问题，我们考虑只有一个1的情况。例如：01 000 000。

　　如何判断给定的二进制数里面有且仅有一个1呢？可以通过判断这个数是否是2的整数次幂来实现。另外，如果只和这一个"1"进行判断，如何设计操作呢？我们知道的是，如果进行这个操作，结果为0或为1，就可以得到结论。

　　如果希望操作后的结果为0，01 000 000可以和00 111 111进行"与"操作。

　　这样，要进行的操作就是 01 000 000 &（01 000 000 - 00 000 001）= 01 000 000 &00 111 111 = 0。

　　因此就有了解法三的代码：

 1 package chapter2shuzizhimei.erjinzhicount1;
 2 /**
 3  * 求二进制数中1的个数
 4  * 【方法三】只考虑1的个数减少时间复杂度
 5  * @author DELL
 6  *
 7  */
 8 public class Count3 {
 9
10     /**
11      * 统计整数x转变成二进制后1的个数
12      * @param x 被计算的整数
13      * @return 二进制中1的个数
14      */
15     public static int count(int x){
16         int count = 0;  //记录二进制中1的个数
17         while(x!=0){
18             x &= (x-1);  //消掉最高位的1
19             count++;
20         }
21         return count;
22     }
23
24     public static void main(String[] args){
25         int x = 15;
26         System.out.println("二进制中1的个数为："+count(x));
27     }
28 }

程序运行结果如下：

二进制中1的个数为：4

【解法四】使用分支操作

　　解法三的复杂度降低到O(M)，其中M是v中1的个数，可能会有人已经很满足了，只用计算1的位数，这样应该够快了吧。然而我们说既然只有八位数据，索性直接把0~255的情况都罗列出来，并使用分支操作，可以得到答案，代码如下：

 1 int count(int x)
 2 {
 3     int num = 0;
 4     switch (x)
 5     {
 6         case 0x0:
 7             num = 0;
 8             break;
 9         case 0x1:
10         case 0x2:
11         case 0x4:
12         case 0x8:
13         case 0x10:
14         case 0x20:
15         case 0x40:
16         case 0x80:
17             num = 1;
18             break;
19         case 0x3:
20         case 0x6:
21         case 0xc:
22         case 0x18:
23         case 0x30:
24         case 0x60:
25         case 0xc0:
26             num = 2;
27             break;
28             //...
29     }
30     return num;
31 }

　　解法四看似很直接，但实际执行效率可能会低于解法二和解法三，因为分支语句的执行情况要看具体字节的值，如果a =0，那自然在第1个case就得出了答案，但是如果a =255，则要在最后一个case才得出答案，即在进行了255次比较操作之后！

　　看来，解法四不可取！但是解法四提供了一个思路，就是采用空间换时间的方法，罗列并直接给出值。如果需要快速地得到结果，可以利用空间或利用已知结论。这就好比已经知道计算1+2+ … +N的公式，在程序实现中就可以利用公式得到结论。

【解法五】查表法

　　算法中不需要进行任何的比较便可直接返回答案，这个解法在时间复杂度上应该能够让人高山仰止了。

　　代码如下：

 1 int countTable[256] =
 2 {
 3          0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4,
 4          1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5,
 5          1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5,
 6          2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6,
 7          1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5,
 8          2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6,
 9          2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6,
10          3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7,
11          1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5,
12          2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6,
13          2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6,
14          3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7,
15          2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6,
16          3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7,
17          3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7,
18          4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 5, 6, 6, 7, 6, 7, 7, 8
19 };
20
21 int count(int v)
22 {
23     return countTable[v];
24 }

　　这是个典型的空间换时间的算法，把0~255中"1"的个数直接存储在数组中，v作为数组的下标，countTable[v]就是v中"1"的个数。算法的时间复杂度仅为O(1)。

　　在一个需要频繁使用这个算法的应用中，通过"空间换时间"来获取高的时间效率是一个常用的方法，具体的算法还应针对不同应用进行优化。

扩展问题

1. 如果变量是32位的DWORD，你会使用上述的哪一个算法，或者改进哪一个算法？

2. 另一个相关的问题，给定两个正整数（二进制形式表示）A和B，问把A变为B需要改变多少位（bit）？也就是说，整数A 和B 的二进制表示中有多少位是不同的？

　　这个问题其实就是比问题1多了一个步骤，只要先算出A和B的异或结果，然后求这个异或值中1的个数就行了。