这个问题可以堪称一个全排列，[起点，剩下的全排列]

回溯法

import numpy as npclass backtracking_Traveling_saleman:# 初始化，明确起点def __init__(self,graph,start=0):# 顶点的个数self.vertex_num = len(graph)self.graph = graphself.start = start# 当前解，当前解为顶点的集合[起点，顶点1，...顶点n-1],初始时，第0个为起点# 从第一个到n-1个为排列树# 解为[起点，顶点1，...顶点n-1]# 解的目标函数为：起点到顶点1距离（depth =1）+顶点1到顶点2的+...+顶点depth-1到depth的距离# 顶点n-2到顶点n-1(depth=n-1)距离，最后还要构成环路+顶点n-1到起点的距离，求上述和的最小值。self.curSolution = [i for i in range(self.vertex_num)]# 用于存最好的解self.bestSolution = [-1] *self.vertex_num# 当前花费初始距离为0self.curCost = 0# 界初始为很大，得到一个解之后更新，也可以提前更新self.bestCost = np.infdef backtracking(self,depth):# 当到达最后一个顶点，为递归出口if depth == self.vertex_num-1:# 最后一层时，目前函数应该为：当前的距离和+前一个顶点到最后顶点距离+最后顶点到起点的距离temp_cost = self.curCost + self.graph[self.curSolution[depth-1]][self.curSolution[depth]] + self.graph[self.curSolution[depth]][self.curSolution[self.start]]# 当前解优于最优解的话，更新最优解，假如求可行解的话，就需要把可行解保存起来if temp_cost < self.bestCost:self.bestCost = temp_costself.bestSolution[:] = self.curSolution[:]else:# 下面就是排列树的处理，我们需要求除了起点之外的[顶点1，...顶点n-1]n-1个起点的全排列#  我们处理的是标号，也就是self.curSolution = [i for i in range(self.vertex_num)]# 所以我们全排列都是self.curSolution里面的数for i in range(depth,self.vertex_num):
#                self.curSolution[depth],self.curSolution[i] = self.curSolution[i],self.curSolution[depth]# 当满足我们定义的界时，才可以进入下一层，也就是走过的长度<最优值的话（注意我们这儿要求的是最小值），我们才继续搜索，否则剪掉# 有没有人注意到这里是depth-1到i,而不是depth-1 到 depth?# 实际上我们学习到模板应该是，先交换，然后满足constraint() && bound() 回溯，最后再交换# 编码时先交换的话，这个地方就应该写成depth-1 到 depth，还没交换的话就是depth-1到i# 这里是做了优化处理，不满足条件的话，交换都没有必要执行if self.curCost + self.graph[self.curSolution[depth-1]][self.curSolution[i]] < self.bestCost:# 全排列，把 当前 和第一位交换，除第一位以外剩下的的进行全排列self.curSolution[depth],self.curSolution[i] = self.curSolution[i],self.curSolution[depth]# 同理这里为什么是depth-1 到 depth，为不是depth-1到i，也是一样的道理self.curCost += self.graph[self.curSolution[depth-1]][self.curSolution[depth]]# 进入下一层self.backtracking(depth+1)# 回溯处理，恢复现场self.curCost -= self.graph[self.curSolution[depth-1]][self.curSolution[depth]]self.curSolution[depth],self.curSolution[i] = self.curSolution[i],self.curSolution[depth]
#                self.curSolution[depth],self.curSolution[i] = self.curSolution[i],self.curSolution[depth]def print_Result(self):# 我们需要求除了起点之外的[顶点1，...顶点n-1]n-1个起点的全排列self.backtracking(1)print(self.bestCost)   print(self.bestSolution)

限界分支法，优先级队列实现方式

约束条件：只能未走过的点
代价函数：走过的长度+后续未走过的长度

如下的优先级队列方式实现，当前最后解一直到底部才更新，没有提前更新，所以首先有一次走到底部，而越靠近root的结点的界是越小的，因为大部分都是最小出边和，那么走到底之后，就会回到靠近靠近root的结点再次往下走，加入当前最优解较大的话，那他就一直处于优先级队列的尾部，无出头之日，那优先级队列就相当于深度优先回溯了。

import numpy as np
import heapq
class Node:def __init__(self,curCost=None,depth=None,rcost = None,path = None,lbound =None):# 限界函数，我们定义限界函数为：当前走过的长度+未走过的结点最小出边的长度和# 这个用于优先级队列排序self.lbound = lbound# 当前走过的距离self.curCost = curCost# 当前的解的深度self.depth = depth# 路径，从0到depth为已走过的，depth+1到n-1为未走过的结点self.path = path# depth到n-1为未走过的结点的最小出边的和self.rcost = rcost# 这个用于结点比较大小，之前的（weights,node)方式有时会出问题，是有时候，# 现在使用这种方式，lt means less thandef __lt__(self,other):return int(self.lbound) <int(other.lbound)class prune_Traveling_saleman:def __init__(self,graph,start=0):self.num = len(graph)self.graph =  graphself.start = start# 用于存储最优的结果self.bestNode = Node(np.inf,-1,-1,None,-1)# 用于存储每个顶点的最小出边self.minOut = [np.inf]*self.num# 所有的最小出边之和self.minSum =0for i in range(self.num):for j in range(self.num):if i !=j and graph[i][j] < self.minOut[i]:self.minOut[i] = graph[i][j]self.minSum += self.minOut[i]def traveling_Saleman(self):pqueue =[]# 第0层，就是起点，也可以认为是第一层，这里为了处理数据方便成为第0层# [i for i in range(self.num)]为开始的路径[0,1,2,3],path[0]是已经确定为0# 最开始curCost =0，depth=0，rcost =self.minSum，lbound=  self.minSumcurNode = Node(0,0,self.minSum,[i for i in range(self.num)],self.minSum)# 把第一个结点放入pqueue = [curNode,]depth =0while depth <= self.num-2:# 弹出结点curNode = heapq.heappop(pqueue)curCost = curNode.curCostdepth = curNode.depthrcost = curNode.rcostpath = curNode.path# 当处于倒数第2层时，就可以处理最后结果了，可以考虑结束了if depth == self.num-2:# 处于当处于倒数第2层时，lbound就是当前走过的距离+当前结点到最后一个结点的距离# + 最后一个结点到起点的距离；实际上也可以考虑self.num-1层，那就只需要加上# 当前结点到起点的距离lbound = curCost + self.graph[path[depth]][path[depth+1]] + self.graph[path[depth+1]][path[0]]# 如果下界小于当前最优的结果，就可以考虑输出结果了if lbound < self.bestNode.curCost:# 把当前值和当前路径输出self.bestNode.curCost = lboundself.bestNode.path = path# 以下只是方便退出，当depth == self.num-1时退出node = Node(lbound,depth+1,lbound,path,lbound)heapq.heappush(pqueue,node)else:# 一般情况下首先更新下一层，也就是未走过结点最小出边和，# 需要减去当前结点的最小出边，temp_rcost = rcost - self.minOut[path[depth]]for i  in range(depth+1,self.num):# 当前走过的距离，需要更新为加上当前结点到下一个结点的距离temp_cur = curCost + self.graph[path[depth]][path[i]]# 当前结点的下界为，当前走过的距离+未走过结点最小出边和lbound =  temp_cur + temp_rcost# 只有当下界小于self.bestNode.curCost才有放入优先级队列的必要if lbound < self.bestNode.curCost:#  # 放入前需要更新path里面这一层depth加入的结点号# 只要把path[depth]记录为当前选择的结点就行了，同时path[depth]位置# 之前放置的那个结点放到刚刚空的那个地方就行了# 这一层还有其他的分支，所有不能直接在path上操作，因为这样下一个分支也# 用这个path就乱了。也可以可以先换了，压入之后再换回来temp_path = path[:]temp_path[depth+1],temp_path[i] = temp_path[i],temp_path[depth+1]# 把这个分支压入优先级队列node = Node(temp_cur,depth+1,temp_rcost,temp_path,lbound)heapq.heappush(pqueue,node)def print_Result(self):self.traveling_Saleman()print(self.bestNode.curCost)print(self.bestNode.path)

测试结果

g =[[0,5,9,4],[5,0,13,2],[9,13,0,7],[4,2,7,0]]backtracking_Traveling_saleman(g,0).print_Result()
prune_Traveling_saleman(g,0).print_Result()23
[0, 1, 3, 2]
23
[0, 1, 3, 2]

实际上也可以考虑self.num-1层，那就只需要加上当前结点到起点的距离

    def traveling_Saleman(self):pqueue =[]# 第1层，就是起点，也可以认为是第一层，这里为了处理数据方便成为第1层curNode = Node(0,0,self.minSum,[i for i in range(self.num)],self.minSum)pqueue = [curNode,]curNode = heapq.heappop(pqueue)curCost = curNode.curCostdepth = curNode.depthrcost = curNode.rcostpath = curNode.pathwhile depth <= self.num-1:# 处于解的最后一层，lbound就为当前的距离+当前点到起点的距离# 在这种情况下需要注意，需要把结点弹出放在循环体的最后，到达self.num就# 退出循环了，不会再进入判断体，否者进入判断，else就会报越界if depth == self.num-1:lbound = curCost + self.graph[path[depth]][path[0]]if lbound < self.bestNode.curCost:self.bestNode.curCost = lboundself.bestNode.path = pathnode = Node(lbound,depth+1,lbound,path,lbound)heapq.heappush(pqueue,node)else:   temp_rcost = rcost - self.minOut[path[depth]]for i  in range(depth+1,self.num):temp_cur = curCost + self.graph[path[depth]][path[i]]lbound =  temp_cur + temp_rcostif lbound < self.bestNode.curCost:#  should fixtemp_path = path[:]temp_path[depth+1],temp_path[i] = temp_path[i],temp_path[depth+1]node = Node(temp_cur,depth+1,temp_rcost,temp_path,lbound)heapq.heappush(pqueue,node)curNode = heapq.heappop(pqueue)curCost = curNode.curCostdepth = curNode.depthrcost = curNode.rcostpath = curNode.pathdef print_Result(self):self.traveling_Saleman()print(self.bestNode.curCost)print(self.bestNode.path)

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