01背包问题

递归方式模板：

void backtrack(int t){   if(t > n) output(x);   else{   for(int i = f(n,t); i <= g(n,t);i++){   x[t] = h(i);   if(constraint(t) && bound(t)) backtrack(t+1);   }   }
}

递归实现：分成３个部分，为了使用限界函数，需要把数据降序排序，限界函数，以及回溯函数。

def pack_01_back_prune(N,V,C,W):BestResult = [False]*NSelected = [False]*(N)BestValue = [0]CurCost = [0]CurValue = [0]order = [i for i in range(N)]perp = [0]*N# sorted by value per weightdef sort_group(C,W,O):perp = [0]*Nfor i in range(N):perp[i] = W[i]/C[i]for i in range(N-1):for j in range(i+1,N):if  perp[i] < perp[j]:temp = perp[i]perp[i] = perp[j]perp[j] = temptemp = O[i]O[i] = O[j]O[j] = temptemp = C[i]C[i] = C[j]C[j] = temptemp = W[i]W[i] = W[j]W[j] = temp                    return perp,C,W,O
#   计算上界函数，功能为剪枝
#  判断当前背包的总价值cp＋剩余容量可容纳的最大价值<=当前最优价值def bound(depth):left_weight = V - CurCost[0]b = CurValue[0] while depth < N and C[depth] <= left_weight:left_weight -=C[depth]b += W[depth]depth +=1if depth < N:b += perp[depth] * left_weightreturn bdef backtracking(depth):if depth > N-1:if CurValue[0] > BestValue[0]:BestValue[0] = CurValue[0]                BestResult[:] = Selected[:]else:
#    如若左子节点可行，则直接搜索左子树;
#    对于右子树，先计算上界函数，以判断是否将其减去if CurCost[0] + C[depth] <= V :# and bound(depth+1) > BestValue[0]:Selected[depth] = TrueCurCost[0] += C[depth]CurValue[0]  += W[depth]# nextbacktracking(depth+1)# undoCurCost[0] -= C[depth]CurValue[0]  -= W[depth]
#           如若符合条件则搜索右子树     if bound(depth+1) > BestValue[0]:Selected[depth] = Falsebacktracking(depth+1)perp,C,W,order = sort_group(C,W,order)backtracking(0)# 把结果恢复成原来顺序decode_BestResult =[False]*Nfor i in range(N):if BestResult[i]:decode_BestResult[order[i]] = Truereturn decode_BestResult,BestValue

迭代方式，顺序执行，注意一点，就是不满足限界函数时，需要提前进入回溯

#%%def pack_01_back_prune_iteration(N,V,C,W):BestResult = [False]*NSelected = [False]*(N)BestValue = [0]CurCost = [0]CurValue = [0]order = [i for i in range(N)]perp = [0]*N# sorted by value per weightdef sort_group(C,W,O):perp = [0]*Nfor i in range(N):perp[i] = W[i]/C[i]for i in range(N-1):for j in range(i+1,N):if  perp[i] < perp[j]:temp = perp[i]perp[i] = perp[j]perp[j] = temptemp = O[i]O[i] = O[j]O[j] = temptemp = C[i]C[i] = C[j]C[j] = temptemp = W[i]W[i] = W[j]W[j] = temp                    return perp,C,W,O
#   计算上界函数，功能为剪枝
#  判断当前背包的总价值cp＋剩余容量可容纳的最大价值<=当前最优价值def bound(depth):left_weight = V - CurCost[0]b = CurValue[0] while depth < N and C[depth] <= left_weight:left_weight -=C[depth]b += W[depth]depth +=1if depth < N:b += perp[depth] * left_weightreturn bdef backtracking_iteration(depth):while True:if depth < N:# 进入１的分支if CurCost[0] + C[depth] <= V and bound(depth+1) > BestValue[0]:Selected[depth] = TrueCurCost[0] += C[depth]CurValue[0]  += W[depth]# 进入０的分支elif bound(depth+1) > BestValue[0]:Selected[depth] = False# 不满足限界函数，回溯    else:while depth >= 0 and not Selected[depth]:depth -=1if depth < 0:breakelse:Selected[depth] =FalseCurCost[0] -= C[depth]CurValue[0]  -= W[depth]                     else:if CurValue[0] > BestValue[0]:BestValue[0] = CurValue[0]                BestResult[:] = Selected[:]# 到底部回溯，这时候，depth已经穿了depth -=1while depth >= 0 and not Selected[depth]:depth -=1if depth < 0:breakelse:Selected[depth] =FalseCurCost[0] -= C[depth]CurValue[0]  -= W[depth]        depth +=1perp,C,W,order = sort_group(C,W,order)backtracking_iteration(0)decode_BestResult =[False]*Nfor i in range(N):if BestResult[i]:decode_BestResult[order[i]] = Truereturn decode_BestResult,BestValue

输出结果

#%%
N = 8
V = 30
C = [11,2,3,9,13,6,15,7,19]
W = [5.0,2.0,5.0,7.0,5.0,11.0,6.0,14.0]#print pack_01_back(N,V,C,W)
#print pack_01_back_iteration(N,V,C,W)
#print pack_01_back_iteration2(N,V,C,W)
print pack_01_back_prune(N,V,C,W)
print pack_01_back_prune_iteration(N,V,C,W)runfile('/root/test/back_tracking.py', wdir='/root/test')
([False, True, True, True, False, True, False, True], [39.0])runfile('/root/test/back_tracking.py', wdir='/root/test')
([False, True, True, True, False, True, False, True], [39.0])

还有一种分支限界的思路，上界函数为：CurValue + rest <= BestValue：

# 这种解法注意回溯函数一致性，思路比较清晰：满足剪枝条件就回溯：CurValue + rest <= BestValue
def pack_01_back_iteration3(N,V,C,W):depth = 0BestResult = [False]*NSelected = [False]*(N)BestValue = 0CurCost = 0CurValue = 0   rest = 0for i in range(N):rest += W[i]while True:while depth < N and CurCost + C[depth] <= V:rest -=W[depth]Selected[depth] = TrueCurCost += C[depth]CurValue  += W[depth]depth +=1if depth >= N:BestValue = CurValue                BestResult[:] = Selected[:]else:rest -=W[depth]Selected[depth] =Falsedepth +=1while CurValue + rest <= BestValue:depth -=1while depth >=0 and not Selected[depth]:rest +=W[depth]depth -=1if depth < 0:return BestResult,BestValueelse:Selected[depth] =FalseCurCost -= C[depth]CurValue  -= W[depth]depth +=1N = 8
V = 30
C = [11,2,3,9,13,6,15,7,19]
W = [5.0,2.0,5.0,7.0,5.0,11.0,6.0,14.0]print pack_01_back_iteration3(N,V,C,W)([False, True, True, True, False, True, False, True], 39.0)

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递归方式模板：

递归实现：分成３个部分，为了使用限界函数，需要把数据降序排序，限界函数，以及回溯函数。

迭代方式，顺序执行，注意一点，就是不满足限界函数时，需要提前进入回溯

输出结果

还有一种分支限界的思路，上界函数为：CurValue + rest <= BestValue：

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