前言

分支定界算法是求解整数规划的最常用方法之一，它不仅适用于纯整数规划问题，也适用于混合整数规划问题。分支定界的基本思想是将可行区域分解为越来越小的区域，这一过程为分支过程，对于结果劣于当前界的分支，可以将其舍去，这一过程称之为剪枝，而当我们找到结果好于当前界的整数解，则需要更新当前界，这称之为定界。

整数规划

整数规划问题特指某些变量或全部变量为整数的规划问题，本文说的整数规划指整数线性规划。下面我们看一个简单整数规划的例子。

假如不考虑变量是整数，那么我们直接使用单纯形法求解即可，最终得出答案为：
x1*=4.8092 x2*=1.8168 z*=355.8779
很明显它不满足整数条件，因此我们需要对结果进行分支定界处理，假设我选择x1进行分支，那么我们能得到两个子模型。
模型B1=原模型+(x1<=4)
模型B2=原模型+(x1>=5)
由于此时尚未找到可行整数解，此时界bound设为负无穷，任何一个整数解都能更新此界。

求解两个子模型发现解任然是非整数解，这时候需要对子模型进一步分支，对模型B1分支可得到两个新模型。
模型B11=模型B1+(x2<=2)
模型B12=模型B1+(x2>=3)
求解B11与B12有：

此时找到第一个整数解，更新界bound=340，模型B12进行剪枝，不再分支，这是因为B12的非整数解差于当前界，则其整数解不可能好于当前界。

同时注意到B2的解为341.9，因此它有可能产生优于当前界的解，需对模型B2再次分支。
模型B21=模型B2+(x2<=1)
模型B22=模型B2+(x2>=2)
求解模型B21与B22有：

子模型B21的解差于当前界，进行剪枝操作。子模型B22无可行解，同样进行剪枝操作。至此，整个分支定界过程完美结束，我们得到了最终的解340。

Cplex自带整数规划求解

Cplex是一款强力的商业求解器，它自带有整数规划功能，只需在建立模型时将变量类型定义为整型即可，其求解非常简单，代码如下。

//==========================调用cplex的整数规划
void cplex_solve(IloEnv env, IloModel model)
{IloNumVarArray var(env);IloRangeArray con(env);var.add(IloNumVar(env, 0, IloInfinity, ILOINT));//整形var.add(IloNumVar(env, 0, IloInfinity, ILOINT));//整形IloObjective obj = IloMaximize(env, 40 * var[0] + 90 * var[1]);con.add(9 * var[0] + 7 * var[1] <= 56);con.add(7 * var[0] + 20 * var[1] <= 70);model.add(obj);model.add(con);IloNumArray val(env);IloCplex cplex(model);cplex.setOut(env.getNullStream());cplex.solve();cplex.getValues(var, val);env.out() << cplex.getObjValue() << endl;env.out() << val << endl;
}

调用函数，求解完成，最终结果与上面手算结果一致。求解结束之后，大家可能不解，既然Cplex中有自带的整数规划求解部分，那我们还有必要费劲去使用Cplex实现分支定界吗？答案是肯定的，非常有必要。我在上一篇博客基于Cplex的列生成技术中介绍了求解大型整数的列生成技术，我们最后得到的结果是需要20.2个原厂卷纸，很明显我们需要对最终的结果再进行分支定界处理，为什么在列生成时我们不定义变量为整型呢，这样多省事啊，不是我们不愿意这么做，而是这样做不可行，列生成只能求解松弛模型，因此我们只能在求解完之后再手动进行分支定界。列生成+分支定界就构成了鼎鼎大名的分支定价，也就是说，只有学会自己手写分支定界，才能掌握更高级的分支定价。

自定义分支定界求解

在上文中给出了分支定界的手算过程，整个过程比较完整，下面给出分支定界的算法实现流程，其中[x]表示x的值向下取整。

在实现分支定界的过程中，推荐使用优先队列，优先求解目标值更好的模型，这样能大大提高剪枝率，加快求解速度，以下是自定义分支定界的代码，流程与伪代码一致，cmp是自定义的结构体，定义了优先队列的优先顺序。

//==========================自定义分支定界
struct cmp
{bool operator()(IloModel& m1, IloModel& m2){double obj1;IloCplex cplex1(m1);cplex1.setOut(m1.getEnv().getNullStream());if (!cplex1.solve())obj1 = -1e8;else obj1 = cplex1.getObjValue();double obj2;IloCplex cplex2(m2);cplex2.setOut(m2.getEnv().getNullStream());if (!cplex2.solve())obj2 = -1e8;else obj2 = cplex2.getObjValue();return obj1 < obj2;}
};void custom_solve(IloEnv env, IloModel model)
{priority_queue<IloModel, vector<IloModel>, cmp>models;double bound = 0;//当前最优解IloNumArray value(env);//当前最优解对应变量值//建立初始模型IloNumVarArray var(env);IloRangeArray con(env);var.add(IloNumVar(env, 0, IloInfinity));//非整形var.add(IloNumVar(env, 0, IloInfinity));//非整形IloObjective obj = IloMaximize(env, 40 * var[0] + 90 * var[1]);con.add(9 * var[0] + 7 * var[1] <= 56);con.add(7 * var[0] + 20 * var[1] <= 70);model.add(obj);model.add(con);//开始分支定界models.push(model);while (!models.empty()){//求解队顶模型IloCplex cplex(models.top());cplex.setOut(env.getNullStream());if (!cplex.solve()) {models.pop();continue;}IloNumArray val(env);cplex.getValues(var, val);//寻找非整数变量int id = -1;for (int i = 0; i < var.getSize(); i++) {if (val[i] != (int)val[i]) {id = i;break;}}//若当前解为整数解则更新界if (id == -1) {if (cplex.getObjValue() > bound) {bound = cplex.getObjValue();value = val;models.pop();}else {models.pop();}}//若当前解为非整数解则分两支else {IloModel m1(env);m1.add(models.top());m1.add(var[id] <= (int)val[id]);models.push(m1);IloModel m2(env);m2.add(models.top());m2.add(var[id] >= (int)val[id] + 1);models.push(m2);models.pop();}}env.out() << value << endl;env.out() << bound << endl;
}

运行结果如上，与Cplex自带的整数规划求解器求解结果一致，整个求解过程是没有问题的。

完整代码

#include<ilcplex/ilocplex.h>
#include<queue>ILOSTLBEGIN/*
*           求解下列整数规划
*           Max 40x1+90x2
*           s.t.9x1+7x2<=56
*               7x1+20x2<=70
*               x1,x2>=0，且为整数
*
*///==========================调用cplex的整数规划
void cplex_solve(IloEnv env, IloModel model)
{IloNumVarArray var(env);IloRangeArray con(env);var.add(IloNumVar(env, 0, IloInfinity, ILOINT));//整形var.add(IloNumVar(env, 0, IloInfinity, ILOINT));//整形IloObjective obj = IloMaximize(env, 40 * var[0] + 90 * var[1]);con.add(9 * var[0] + 7 * var[1] <= 56);con.add(7 * var[0] + 20 * var[1] <= 70);model.add(obj);model.add(con);IloNumArray val(env);IloCplex cplex(model);cplex.setOut(env.getNullStream());cplex.solve();cplex.getValues(var, val);env.out() << val << endl;env.out() << cplex.getObjValue() << endl;
}//==========================自定义分支定界
struct cmp
{bool operator()(IloModel& m1, IloModel& m2){double obj1;IloCplex cplex1(m1);cplex1.setOut(m1.getEnv().getNullStream());if (!cplex1.solve())obj1 = -1e8;else obj1 = cplex1.getObjValue();double obj2;IloCplex cplex2(m2);cplex2.setOut(m2.getEnv().getNullStream());if (!cplex2.solve())obj2 = -1e8;else obj2 = cplex2.getObjValue();return obj1 < obj2;}
};void custom_solve(IloEnv env, IloModel model)
{priority_queue<IloModel, vector<IloModel>, cmp>models;double bound = 0;//当前最优解IloNumArray value(env);//当前最优解对应变量值//建立初始模型IloNumVarArray var(env);IloRangeArray con(env);var.add(IloNumVar(env, 0, IloInfinity));//非整形var.add(IloNumVar(env, 0, IloInfinity));//非整形IloObjective obj = IloMaximize(env, 40 * var[0] + 90 * var[1]);con.add(9 * var[0] + 7 * var[1] <= 56);con.add(7 * var[0] + 20 * var[1] <= 70);model.add(obj);model.add(con);//开始分支定界models.push(model);while (!models.empty()){//求解队顶模型IloCplex cplex(models.top());cplex.setOut(env.getNullStream());if (!cplex.solve()) {models.pop();continue;}IloNumArray val(env);cplex.getValues(var, val);//寻找非整数变量int id = -1;for (int i = 0; i < var.getSize(); i++) {if (val[i] != (int)val[i]) {id = i;break;}}//若当前解为整数解则更新界if (id == -1) {if (cplex.getObjValue() > bound) {bound = cplex.getObjValue();value = val;models.pop();}else {models.pop();}}//若当前解为非整数解则分两支else {IloModel m1(env);m1.add(models.top());m1.add(var[id] <= (int)val[id]);models.push(m1);IloModel m2(env);m2.add(models.top());m2.add(var[id] >= (int)val[id] + 1);models.push(m2);models.pop();}}env.out() << value << endl;env.out() << bound << endl;
}int main()
{//cplex自带的整数规划求解IloEnv cplex_env;IloModel cplex_model(cplex_env);cplex_solve(cplex_env, cplex_model);//自定义分支定界求解IloEnv custom_env;IloModel custom_model(custom_env);custom_solve(custom_env, custom_model);system("pause");
}

总结

本篇博客与上篇博客分别介绍并实现了分支定界与列生成，下一篇博客将介绍分支定界与列生成的结合，即分支定价算法，仍然以切割问题为例。

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基于Cplex的分支定界

前言

整数规划

Cplex自带整数规划求解

自定义分支定界求解

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