对于一个含有m个变量的模型，如果每个变量是连续变量，每个变量的范围无论是[-5,100]、[5,500]、[0,1]......，都可以作为LP问题在多项式时间内求解。

现在增加一个条件，模型中有n个变量是{0,1}变量。如果将变量松弛为[0,1]之间的连续变量，作为LP问题求解，这n个变量的取值可能是介于[0,1]区间的任何数，而无法保证是{0,1}。

分支定界是在这个背景下运用的。

我们以0-1整数规划举例：

首先，我们将0-1整数规划模型松弛为LP模型求最优解，对于最小化问题，该LRP的最优解是原问题最优解的下界，i.e. 原问题的最优解一定不小于LRP的最优解。

其次，我们令这n个变量在满足{0,1}约束的前提下求出一个可行解，该解可能不是最优解，一定是最优解的上界，i.e. 原问题的最优解一定不大于该可行解。

建树：

如果模型中有n个{0,1}变量，我们就画一个有

个叶子节点的二叉树，如下。

n=4：

我们把LRP解得的x1的值（假如x1=0.7）作为根节点：

分支：

因为x1的取值是0或1，因此分支：

定界：

计算x1=0，其他变量松弛情况下，模型的最优解y1。

计算x1=1，其他变量松弛情况下，模型的最优解y2。

情形1：如果y1或y2大于当前的上界，则该支及其以下的分支没必要search下去，称为cut。

情形2：如果y1或y2小于当前的上界，则该支的下界被更新为y1或y2，称为定界。

情形3：如果求得y1或y2时，这n个变量正好满足{0,1}约束，则终止运算，因为满足约束的松弛模型最优解一定是原模型的最优解。

对于情形1和2，我们还需要把运算进行下去。

分支：

因为x2的值也是在[0,1]区间上，我们将x2分支：

Note：x1=0或x1=1那个分支可能在上述情形1中被cut了。

定界：

分别计算x2=0、x2=1情况下，除x1、x2之外的其他变量松弛的最优解。

情形1：当前松弛最优解大于当前的上界（当前最优可行解），则该支及其以下的分支没必要search下去，称为cut。

情形2：当前松弛最优解小于当前的上界（当前最优可行解），则下界被更新为当前松弛最优解，称为定界。

情形3：对于当前松弛最优解，这n个变量正好满足{0,1}约束，则终止运算，因为满足约束的松弛模型最优解一定是原模型的最优解。

对于情形1和2，我们还需要把运算进行下去。

分支：

因为x3的值也是在[0,1]区间上，我们将x3分支：

Note：x2=0或x2=1的分支可能在上述情形1中被cut了。

定界：

与上同理。

分支：

因为x4的值也是在[0,1]区间上，我们将x4分支：

Note：x3=0或x3=1的某些分支可能在上述情形1中被cut了。

定界：

与上同理。

算法复杂度：

完整二叉树的节点是指数增长的，to be exact，每增加1个{0,1}变量，最小分支（叶子节点）的个数需要乘以2。例如n=10，最小分支的个数为1024；n=15，最小分支的个数为32768；n=20，最小分支的个数为1048576。这就是指数爆炸！

如此复杂度的运算，那什么时候中止呢：

（1）获得最优解，如上情形3。

（2）上下界之间的gap小于预设的MIPGap参数值。

（3）完成了预设的运算时间。

（4）强制中止（Ctrl+C，输入m.optimize()会从中止处继续运行）

Note：“建树”是根据定界逐步完成的，不是事先将完整的二叉树建好，只会建满足定界要求的“支”，显然，最终建好的树不是一个完整的二叉树。