5.1 基于分支定界算法的单机调度

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参考文献
Minimizing makespan on a single machine with release dates and inventory constraints

5 基于精确求解算法的作业调度
5.1 基于分支定界算法的单机调度
5.1.1 问题描述
给定一个集合J = {1，。。。，n}个作业，划分为集合J-和J+，处理时间p j∈R +，发布日期r j∈R +，库存修改δj∈R，其中j∈J +时δj≥0，j∈J-时δj<0。所有作业都将由一台机器执行，该机器一次只能处理一个作业。初始库存用I0表示，库存存储的容量为IC。目的是按顺序排列作业，以便最小化完工时间（序列中最后一个作业的完成时间），同时库存不会低于I0也不高于IC。给定一个顺序，就可以建立一个具有特定作业开始时间的时间表。令σ=（σ1，…，σn）为一个序列。时，该序列是可行的。
考虑一个n = 5，I 0 = 6和I C = 8的示例。下表包含此问题实例的其余数据。生成时间为27的最佳解决方案是（3,1,5,4,2），如下图所示。

5.1.2 数学模型
优化目标：最小化完工时间

（1）基于时间的数学模型
变量定义：
Xjt：工件j在时刻t开始则为1，否则为0
yt：时刻t的仓储水平
约束条件如下：

约束1表示每个工件当且仅当被执行一次；
约束2保证工件的加工没有重叠
约束3计算完工时间
约束4-6建立仓储约束
（2）基于顺序的数学模型
xjs：如果工件j是第s个被加工的工件则为1；否则为0；
ys：第s个工件完成后的仓储水平；
zs：第s个工件完成后的仓储水平；
约束条件如下：

约束7-8表示工件的排序
约束9-10计算完工时间
约束11-13为仓储水平约束

5.1.3 算法设计

5.1.4 实例验证

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