导数、微分、积分的几何理解

一、导数

导数的定义
设函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_0x0的某领域内有定义，若极限lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0(1)\lim_{x \rightarrow x _0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \quad\quad\quad(1)x→x0limx−x0f(x)−f(x0)(1) 存在，则称函数fff在点x0x_0x0处可导，并称该极限为函数fff在点x0x_0x0处的导数，记做f′(x0)f'(x_0)f′(x0)。
令x=x0+Δx,Δy=f(x0+Δx)−f(x0)x=x_0+\Delta x,\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)x=x0+Δx,Δy=f(x0+Δx)−f(x0),则(1)(1)(1)式可改写为lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f′(x0)(2)\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'(x_0) \quad\quad\quad(2)Δx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)=f′(x0)(2)所以，导数式函数增量Δy\Delta yΔy与自变量增量Δx\Delta xΔx之比ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}ΔxΔy的极限。这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称商差），而导数f′(x0)f'(x_0)f′(x0)则为fff在x0x_0x0处关于xxx的变化率。
导数的几何意义
在导数的定义中已经说过,导数f′(x0)f'(x_0)f′(x0)为fff在x0x_0x0处关于xxx的变化率；所以导数的几何意义就是切线(斜率)。
对应下图，直线PQ′PQ'PQ′就是函数fff在x0x_0x0处的导数(切线)，即f′(x0)=PQ′f'(x_0)=PQ'f′(x0)=PQ′

二、微分

微分的定义
设函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)定义在点x0x_0x0的某邻域U(x0)U(x_0)U(x0)内。当给x0x_0x0一个增量Δx,x0+Δx∈U(x0)\Delta x,x_0+\Delta x \in U(x_0)Δx,x0+Δx∈U(x0)时,相应的得到函数的增量为Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)Δy=f(x0+Δx)−f(x0)如果存在常数AAA,使得Δy\Delta yΔy能表示成Δy=AΔx+o(Δx)(3)\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\quad\quad\quad(3)Δy=AΔx+o(Δx)(3)则称函数fff在点x0x_0x0可微，并称（3）式中的第一项AΔxA\Delta xAΔx为fff在点x0x_0x0处的微分，记做dy∣x=x0=AΔx或df(x)∣x=x0=AΔx\left. dy \right| _{x=x_0}=A\Delta x\quad或\quad\left. df(x) \right| _{x=x_0}=A\Delta xdy∣x=x0=AΔx或df(x)∣x=x0=AΔx由定义可见函数的微分与增量仅差一个关于Δx\Delta xΔx的高阶无穷小量，由于dydydy是Δx\Delta xΔx的线性函数，所以当A≠0A\neq 0A̸=0时，也说微分dydydy是增量Δy\Delta yΔy的线性主部。
微分的几何意义
微分的几何意义如下图所示，当自变量由x0x_0x0增加到x0+Δxx_0+\Delta xx0+Δx时，函数增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=RQ\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=RQΔy=f(x0+Δx)−f(x0)=RQ；
而微分则是在点PPP处的切线上与Δx\Delta xΔx所对应的增量dy=f′(x0)Δx=RQ′dy=f'(x_0)\Delta x=RQ'dy=f′(x0)Δx=RQ′
其中，QQ′QQ'QQ′对应的是o(Δx)o(\Delta x)o(Δx)（高阶无穷小量），即lim⁡x→x0Q′QRQ′=0\lim_{ x \rightarrow x_0} \frac{Q'Q}{RQ'}=0limx→x0RQ′Q′Q=0

三、积分

积分的定义
设fff是定义在[a,b][a,b][a,b]上的一个函数，对于[a,b][a,b][a,b]的一个分割T={Δ1,Δ2,…,Δn}T=\{\Delta {_1},\Delta {_2},\dots,\Delta {_n}\}T={Δ1,Δ2,…,Δn}，任取点ξi∈Δi,i=1,2,…,n\xi_i \in \Delta {_i},i=1,2,\dots,nξi∈Δi,i=1,2,…,n,并做和式J=∑i=1nf(ξi)ΔxiJ=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_iJ=i=1∑nf(ξi)Δxi
称此和式为函数fff在[a,b][a,b][a,b]上的一个积分和，也称黎曼和。
定积分：
J=∑i=abf(ξi)Δxi=∫abf(x)dxJ=\sum_{i=a}^{b}f(\xi_i)\Delta x_i=\int ^b_a f(x) {\rm d}xJ=∑i=abf(ξi)Δxi=∫abf(x)dx
其中，fff称为被积函数，xxx称为积分变量，[a,b][a,b][a,b]称为积分区间。
积分的几何意义
由上文积分的定义可知，积分的几何意义就是求面积。
对应下图，J=∫x0+Δxx0f(x)dxJ=\int ^{x_0}_{x_0+\Delta x} f(x) {\rm d}xJ=∫x0+Δxx0f(x)dx的几何意义就是曲线PQPQPQ和xxx轴围成的面积。

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