牛顿-莱布尼兹公式的几何意义-微分和积分的几何关系
公司办公室上班,工作累了可以跟同事聊聊天,下楼抽根烟,或者仅仅就是出去溜达一圈。然而soho办公却不可能。屋内抽烟是被禁止的,下楼抽烟显得古怪又麻烦…
买了本书,《什么是数学》,就是这本:
https://book.douban.com/subject/1320282/
说实话,写得一般,但soho办公期间没事翻翻,也不错。
写这篇文章是因为读书期间正好看到了知乎上的一个问题:
https://www.zhihu.com/question/38798146
问的是,微分和积分,在几何上是如何互逆的,其实也就是问,微分和积分在其几何意义上有什么关系。这个问题非常好。
我没能给出直接的证明,但是它们之间的几何关系确实也不难理解。
教科书上总是第一时间把微分,导数这种概念在几何上表示成切线的斜率,而把积分表示成面积。但正是这样的先入为主的灌输,让学生们很难理解这背后到底有什么关系。
要想理解微分和积分的几何关系,还要看牛顿是怎么想的。其实,微分和积分按照下面的 物理意义 理解更加容易见其本质:
- 微分:这是一个瞬时的“点量”,即“x率”,表现一种趋势。
- 积分:这是一个时间延展的“积累量”,表示点量积累的效果。
牛顿希望得到速度和距离之间的数学关系,很显然,他得到了, 速度在时间上积累成了距离。
∫v(t)dt=S(t)\displaystyle \int v(t)dt=S(t)∫v(t)dt=S(t)
按照教科书的理解,v(t)v(t)v(t)是一个斜率,dtdtdt是一个小量,而S(t)S(t)S(t)是一个面积,用一个斜率乘以一个小量,怎么得到的面积?这似乎难以理解…
但是,按照物理意义去思考,就很显然了:
- 速度在时间上的“效果”就是距离。
- 距离因为物体在某时间点拥有速度而产生。
按照这种 作用 和 效果 的物理解释,牛顿-莱布尼兹公式是显而易见的:
- 导数的积累效应导致了原函数的差值:
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\displaystyle \int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)∫abf(x)dx=F(b)−F(a)
现在我们把这个物理意义套在面积上,问, “面积是如何产生的?”
这是一个升维的过程, “面积是线段平移产生的!” 短线段平移产生的面积小,长线段平移产生的面积大, 具体的面积到底有多大,取决于在平移过程中线段的长短。
- 积分:线段平移成面积。
- 导数/微分:平移成面积过程中的线段长度。
积分是一个 时间段内升维 的过程,微分则是一个 特定时间点降维 的结果。高维本来就比低维多一个维度,这就是为什么积分考虑的是时间段而微分考虑的是时间点了。
至于为什么导数总是被看作是斜率,那纯粹是因为导数是作用于一条曲线的,而 “求任意曲线在任意一点的切线” 这种问题纯粹是一个数学问题,而不存在物理意义,所以很难对它进行逆操作。斜率仅仅是一个数值,斜率的积累效应是什么?是经理吗?不,是皮鞋。
高数,数分等教科书不可能去大讲特讲一个式子的物理意义,没有物理意义的式子或者图形就是纯数学的,而纯数学表现的是公理体系,逻辑以及技巧,数学问题作为其它学科的工具只要是可解的,那么对其它学科就是帮助,至于解的过程,它并非一定是物理的,但必须是数学的。
我的观点,数学的首要地位是其它学科的工具,否则它就是一场游戏。没有什么数学问题是凭空产生的,它一定拥有某种产生它的物理的,或者逻辑的背景。
我们经常在教科书中看到以下论述:
- 中国古代的xx著作里描述的yy方法,比欧洲的zz早了n年。
其中,这些yy几乎都是偏 算法 的。读了《什么是数学》之后,答案是令人信服的:
…
由于较早地发现了与“不可公度”的量有关的这些困难,使希腊人没能发展早已为东方所掌握的数字计算的技术。相反,他们却迫使自己钻进了纯粹公理几何的丛林之中。于是科学史上出现了一个奇怪的曲折,…几乎两千年来,希腊几何的 传统力量 推迟了必然会产生的数的概念和代数运算的进步,而它们后来构成了近代科学的基础。
看来, 所谓的 传统力量 的僵化造成严重的后果,也并非我国独有:
- 希腊在这方面比中国的明清民国共和国,早了2000多年!
…
在另一本书《数学思想要义》(这本书不好,不建议阅读)的第三章开头,另一位中国的作者印证了上面的引用:
“方程和算法”是中国古代数学存在的一个悠久的价值观和传统。…
…
中国数学的“算法”传统在今天的信息时代以及未来的人工智能时代会发扬光大。相比较而言,对于方程的研究,欧洲数学中的价值观和传统是更注重解的一般准确的“表达式”以及表达式中的“结构”。…
浙江温州皮鞋湿,下雨进水不会胖。
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