7.2 matlab符号微积分（符号函数的极限、导数和积分）

1、符号函数的极限
求符号函数极限的命令为limit，其调用格式为:
limit(f,x,a)
即求函数f关于变量x在a点的极限。若x省略，则采用系统默认的自变量。a的默认值为0。
limit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为:
limit(f,x,a ,‘right’) 右极限
limitlf,x,a,‘left’) 左极限
例1：求下列极限。

syms a m x n;   %定义符号变量
f = (x^(m/1)-a^(m/1))/(x-a);
limit(f,x,a)        %(1)的极限
g = (1+1/n)^n;
limit(g,n,inf)     %(2)的极限%输出结果
ans = a^(m - 1)*mans = exp(1)    %自然底数e

2、符号函数的导数
MATLAB中的求导函数为:
diff(f,x,n)
即求函数f关于变量x的n阶导数。参数x的用法同求极限函数limit，可以缺省，默认值与limit相同，n的默认值是1。

例2：求下列函数的导数。

（1）
syms x y  ;   %定义符号变量
y = sqrt(1+exp(x));
yx = diff(y,x)        %y的一阶导数，n省略时默认为1%输出结果
yx = exp(x)/(2*(exp(x) + 1)^(1/2))

（2）
syms x y z ;   %定义符号变量
z = x*exp(y)/y^2;
zx = diff(z,x)     %z偏x的一阶导数
zy = diff(z,y)     %z偏y的一阶导数%输出结果
zx = exp(y)/y^2zy = (x*exp(y))/y^2 - (2*x*exp(y))/y^

3、符号函数的积分
(1）不定积分
在MATLAB中，求不定积分的函数是int，其常用的调用格式为:
int(f,x)
求函数f对变量x的不定积分。

例3：求下列不定积分

（1）
syms x  ;   %定义符号变量
f = (3-x^2)^3;
int(f,x)       %x可省略%输出结果
ans = - x^7/7 + (9*x^5)/5 - 9*x^3 + 27*x

（2）
syms x t;
g = 5*x*t/(1+x*x);
int(g,t)   %制定t为主变量，不指定变量时将以x为主变量求不定积分%输出结果
ans =(5*t^2*x)/(2*(x^2 + 1))

(2）定积分
在MATLAB中，定积分的计算也使用int命令，但调用格式有区别:
int(f,x,a,b)
其中，a、b分别表示定积分的下限和上限，它们可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷大。
①当函数f关于变量x在闭区间[a,b]可积时，函数返回一个定积分结果；
②当a、b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分；
③当a、b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。

例4：求下列定积分。

(1)
syms x;      %定义符号变量
f = abs(1-x);
int(f,1,2)%输出结果
ans = 1/2

(2)
syms x;
g = 1/(1+x*x);
int(g,-inf,+inf)%输出结果
ans = pi

(3)
syms x t;
z = 4*x/t;
int(z,t,2,sin(x))%输出结果
ans = 4*x*(log(sin(x)) - log(2))

极限、导数、微分的概念是紧密关联的。有极限是可导的前提，而导数是微分之商,因此导数也称为微商。

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