PA=LU（带行交换的矩阵分解）

Do all the exchanges before elimination !!

矩阵A中主元位置出现0，我们使用置换矩阵对其进行行交换
P21A=[010100001][011121279]=[121011279]P_{21}A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1\\ 2 & 7 & 9 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 2 & 7 & 9 \end{bmatrix} P21A=⎣⎡010100001⎦⎤⎣⎡012127119⎦⎤=⎣⎡102217119⎦⎤
消元 a31a_{31}a31
Multiplierl31=a31a11=2Multiplier\ l_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=2 Multiplier l31=a11a31=2
newrow3=row3−l31row1new\ row3 = row3-l_{31}row1new row3=row3−l31row1

E31P21A=[100010−201][121011279]=[121011037]E_{31}P_{21}A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -2 & 0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 2 & 7 & 9 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 3 & 7 \end{bmatrix} E31P21A=⎣⎡10−2010001⎦⎤⎣⎡102217119⎦⎤=⎣⎡100213117⎦⎤

消元 a32a_{32}a32
Multiplierl32=a32a22=3Multiplier\ l_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=3 Multiplier l32=a22a32=3
newrow3=row3−l32row2new\ row3 = row3-l_{32}row2new row3=row3−l32row2

E32E31P21A=[1000100−31][121011037]=[121011004]=UE_{32}E_{31}P_{21}A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & -3 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 3 & 7 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}=U E32E31P21A=⎣⎡10001−3001⎦⎤⎣⎡100213117⎦⎤=⎣⎡100210114⎦⎤=U

PA=E31−1E32−1U=LUPA=E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}U=LU PA=E31−1E32−1U=LU

其中 E31−1E_{31}^{-1}E31−1 是 E31E_{31}E31 的逆过程，E32−1E_{32}^{-1}E32−1 是 E32E_{32}E32 的逆过程
E31−1=[100010201]E32−1=[100010031]L=E31−1E32−1=[100010201][100010031]=[100010231]E_{31}^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 &1 \end{bmatrix}\\ ~\\ E_{32}^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 &1 \end{bmatrix}\\ ~\\ L=E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 &1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 2 & 3 &1 \end{bmatrix} E31−1=⎣⎡102010001⎦⎤ E32−1=⎣⎡100013001⎦⎤ L=E31−1E32−1=⎣⎡102010001⎦⎤⎣⎡100013001⎦⎤=⎣⎡102013001⎦⎤

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