数据分析、信号处理和机器学习中的矩阵方法

第02讲 矩阵乘法与矩阵分解

新MIT 线性代数|机器学习（中英机翻字幕）18.065 by Gilbert Strang_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili​www.bilibili.com

18.065是线性代数和数学问题的混合。在这第一至两个星期中会回顾线性代数的亮点。

前面讨论了使用列乘行的矩阵相乘的方法。现在通过矩阵的五个关键分解来说明这一点。其中一些分解法（例如LU或QR）是线性代数中使用最广泛的MATLAB命令。

矩阵的LU分解与消元有关，是求解线性方程组的基本方法。LU代表下三角阵乘以上三角阵。

QR分解得到矩阵Q是正交矩阵，列向量是标准正交的，其产生过程与Gram-Schmidt正交化有关。

S代表对称，这是对称矩阵的特殊分解，Λ是对角特征值矩阵，这里的Q矩阵具有特征向量。记住两个事实-一个关于特征值的事实，另一个关于特征向量的事实。特征向量是正交的。对称矩阵有n个实数的特征值，矩阵可以对角线化。

S=QΛQT=

用矩阵QΛQT分解来讨论一下矩阵乘法。将矩阵分解视为两个矩阵相乘(QΛ)QT。两个矩阵相乘的一种规则是，QΛ的一个列向量乘以Q转置的一个行向量得出一个矩阵，然后将这些矩阵相加。这是一个特殊的秩一矩阵，矩阵所有的列都是该列向量的倍数，所有行都是那个行向量的倍数。例：

这是一种不错的矩阵分解，称为谱定理。我们将对称矩阵S分为一些秩一矩阵的和。

验证一下：

注意第五个分解，其中矩阵U是正交矩阵，V也是。所以是正交矩阵乘以对角阵乘以正交矩阵，它叫做SVD-奇异值分解，适用于长方形矩阵。前面的有些分解取决于是否有足够的特征向量，并非每个矩阵都有足够的特征向量来完成这项工作，而SVD可以为每个矩阵工作。它有两个矩阵，而不是一组向量，它有两个不同的奇异向量集。

关于LU分解插几句，LU分解与消元有关，是求解线性方程组Ax=b的基本方法。高斯消元所做的所有行操作都用L乘以U来完美表示，这是18.06中的关键点，如果矩阵可逆的，则消元的过程一切顺利，并且主元不为零。

可参考18.06第二课

三少爷的贱男春：MIT—线性代数笔记02 矩阵消元​zhuanlan.zhihu.com

例：

将矩阵分解为秩一矩阵之和，则有

。

第一行和第一列保持原矩阵的行与列向量，然后将它扩展成为第一个秩一矩阵

，这样就剥离后得到第二个简单的矩阵

。

对于高阶矩阵，就是先通过第一行第一列构造第一个秩一矩阵矩阵，注意除以主元，剥离后剩下

，然后用同样的方法再处理剩下的部分……

本课程中我们会有很多关于QR、对称矩阵和SVD分解的讨论。

下面讨论线性代数的基本定理，本主题的基本思想。我发明了名称“四个基本子空间”。任意的m x n矩阵A（秩为r）定义了四个子空间。

可以参考课程：

三少爷的贱男春：MIT—线性代数笔记10 四个基本子空间​zhuanlan.zhihu.com

列空间 Column space C(A)

矩阵A的列空间是A的列向量的线性组合在Rm空间中构成的子空间，空间维度为r。

行空间Row space C(AT)

矩阵A的行空间是A的行向量的线性组合在Rn空间中构成的子空间，也就是矩阵AT的列空间，空间维度为r。

零空间Nullspace N(A)

矩阵A的零空间是Ax=0的所有解x在Rn空间中构成的子空间。向量x和y都在矩阵的零空间中，则有A(x+y)=0，A(cx)=0。在矩阵A的方程中，只有r个是真正线性无关的方程，它们能约束解向量里的r个元素，而未加约束的元素为n-r个，因此零空间维度为n-r。

左零空间Left nullspace N(AT)

我们称矩阵AT的零空间为矩阵A的左零空间，它是Rm空间中的子空间，左零空间维度为m-r。

例：

可知m=2，n=3，r=1。因此n-r=2，零空间中可找到两个满足Ax=0的线性无关的解，例如

。注意到它们和矩阵的行向量正交。

这就是线性代数基本定理的图像，除了空间维度，还有子空间之间的相互关联。