数分下第4讲 （8.2节）： 平面和直线
第2.2讲 空间解析几何中的平面和直线
本节中将利用向量运算的方法，给出几何中基础的平面和直线表达。用代数的方法给出几何关系，这是空间解析几何的特点。向量的方法给出几何变量之间的关系，和纯几何方法不同，更加简单直接。
文章目录
- 第2.2讲 空间解析几何中的平面和直线
- 学习要点
- 一、平面方程
- 1、平面方程
- （1）点法式方程（向量积+数量积）和一般方程（法向量提取）
- （2）三点式方程形式（混合积）
- （3）截距方程形式
- 2、平面夹角（法向量夹角用数量积求取）
- 3、点到平面距离
- 二、直线方程
- 1、直线方程
- （1）直线的一般形式（两平面）
- （2）直线的对称式方程/参数式方程:（一点一线）
- （3）两点式方程
- （4）巩固练习
- 2、直线夹角：夹角公式、垂直、平行
- （1） 夹角公式
- （2）直线垂直和平行
- 3、直线与平面夹角
学习要点
1、利用数量积和向量积的代数方法表示平面和直线方程，快速解决几何问题
2、用数量积为0表示直线（向量）垂直，用于平面内直线和法向量的关系，可用来表示平面点法式方程
3、通过平面内两个直线向量的向量积来表示法向量
4、求直线方程的秘诀就是：两定（定点、定向）
一、平面方程
我们知道，三点确定一个平面，一个点和法向量也能确定一个平面。采用向量计算的方法，可以很恰当地描述这些几何关系。向量积给出了法向量的计算方法，数量积给出向量垂直的关系。灵活地应用数量积、向量积，可以快速地给出平面方程。
1、平面方程
（1）点法式方程（向量积+数量积）和一般方程（法向量提取）
用平面内点写出平面内直线向量，用其中两个平面向量的向量积给出法向量表示，然后利用平面直线向量与法向量垂直的数量积形式，给出点法式方程。简单明了，这就是解析几何的魅力。
（2）三点式方程形式（混合积）
（3）截距方程形式
2、平面夹角（法向量夹角用数量积求取）
3、点到平面距离
二、直线方程
1、直线方程
（1）直线的一般形式（两平面）
（2）直线的对称式方程/参数式方程:（一点一线）
直线经过（x0,y0,z0）并且方向向量为 s =（m,n,p）。利用了平行向量之间只相差常数倍数的性质。
（3）两点式方程
（4）巩固练习
求直线方程的诀窍就是两定，定点+定向。
2、直线夹角：夹角公式、垂直、平行
（1） 夹角公式
（2）直线垂直和平行
3、直线与平面夹角
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