光滑曲线_微分几何笔记(2) —— 曲线的参数化
第二周讲完了Klingenberg的第一章Curves,做一点微小的笔记。 分成三个部分,本篇讲曲线的弧长参数;下一篇讲一般的Frenet标架及方程组;再下一篇讲二维三维空间曲线的curvature。
GTM51对入门者会难一些,因为直接从最一般的
Calculus and Analysis in Euclidean Space 这本UTM的Chapter 8 Parametrized Curves 算是相当新手友好的入门内容,由二三维曲线推广到一般情况。
借用宋老师的话,微分几何的本质是几何,主要通过微积分的手段,用数和函数来刻画几何图形的性质。可能在学习的时候会觉得明明很直观,几何画出来就是这样的,但是要用规范的严格语言说出来很困难。所以说也是一个打基础的课程,先学会怎样严格的表述,在这基础之上才能正确的使用微积分这个工具。
2.1 参数曲线(Parametrized Curves)
Definition 2.1.1 参数曲线 是指一个光滑映射(smooth mapping):
这里
也就是说我们平时说的“曲线”,其实是一个映射,平时说“点在曲线上”,是指这一点,如
我们一般都要求曲线是正则的,因为是光滑映射,所以导数不等于零
如果
,使得
上是一个光滑映射,并且
这里我们说的参数曲线都是“光滑”的,这个要求也太高了,不过现在考虑的都是很显然,一眼能够看明白的曲线,以后会逐步放宽。
Definition 2.1.2 i)切空间(Tangent Space): 对
ii)沿着曲线c的向量场(Vector field along
iii)切向量场(Tangent vector field of
这里主要是规定向量的起点位于什么地方。 切空间是相当于把
图1:生长在曲线上的向量场
接下来一节讲讲弧长参数曲线(parametrization by arc length),用曲线的弧长做参数,这样做可以简化计算过程。
2.2 弧长参数曲线(Parametrization by Arc Length)
Definition 2.2.1 如果一个映射
微分同胚(Diffeomorphism)
Definition 2.2.2(Equivalence of Curves) 两条曲线
参数变换(parameter transformation).并且如果
由参数变换所得的曲线构成一个所有
其实我们可以把
Definition 2.2.3 (Arc length of a curve) 光滑曲线
事实上,这个积分对于
比如
比如把
再比如可以构造出
https://www.zhihu.com/question/301263376
把有限弧长的连续曲线,称为可求长曲线(rectifiable curve)
Definition 2.2.4 (Parametrization by arc length) 曲线
试想,现在我们通过改变曲线的参数,使得之前需要通过复杂的含绝对值积分才能得到的弧长,现在只需要做差就能够得到。通过这种方式,让计算变得如此简单,如果对后面计算曲率的过程有了解,就能感觉到这是一件非常令人振奋的事情,而且要是能把任意曲线都弧长参数化,那这事已经好的不能再好了。
直觉上来说这事肯定是对的,因为弧长参数化的直观理解就是以单位速度沿着曲线运动,这只要曲线本身的光滑程度够就行。
那既然是以单位速度沿着曲线运动,我只要以弧长为参数不就好了吗?这样用原来给定参数曲线的弧长来做参数,经过一个单位时间,等于经过一个单位弧长,等于沿弧长以单位速度运动。太妙了。
接下来是本篇笔记铺垫到现在,为了阐述的主要命题:
Proposition 2.2.5 每一个正则曲线(Regular Curve)都等价于一个弧长参数化曲线。
Proof . 存在性:假设
因为
2.3 一般参数曲线化成弧长参数曲线的例子
怎么把一般参数曲线化成弧长参数曲线,其实在上面命题的证明中已经构造出来了。
数学证明很多时候是构造性的,怎么证明,就怎么使用;而有的证明只是用严格话的语言论述,说明条件满足某些定义,这种证明算是在教我们该怎么“说话”。二者都是需要的,但是对于推动数学进展来说,更重要的是前者,因为启发性更强,毕竟,好的证明使我们更加聪明。
这里求
Example 2.3.1
这个形式一看就跟圆脱不了关系,只是问题在于他不是以单位速度沿圆周运动的,那么将他弧长参数化之后,应该会变成标准圆的参数方程才对。
Solution: 先确定自变量的范围,这里
所以
最终的弧长参数化曲线为:
这也印证了我们的想法。
Example 2.3.2
这里的曲线称为摆线(cycloid),且
Solution:
因为在
我要知道结果会是这样,一开始我就不愿意求了。所以接下来的问题是有没有对一般非弧长参数适用的公式呢,这个问题将会在第四次笔记中讲到。
至此,曲线的参数化就讲完了,下一篇就初入微分几何的正题——Frenet标架。
参考:
[1] W. Klingenberg. A course in differential geometry. Translated from the German by David Hoffman. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 51. Springer-Verlag, 1978.
[2] J. Shurman. Calculus and Analysis in Euclidean Space Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 2016.
[3]厦门大学杨波老师的主页:http://math-faculty.xmu.edu.cn/display.aspx?tid=149
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