本篇文章我们从一般化的 Rn\mathbb{R}^nRn 空间回到我们生活的 R2,R3\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^3R2,R3空间，看看低维空间中的曲线有哪些性质，主要计算下在非弧长参数下的曲线，曲率挠率的一般表达式。
最后引入环绕数的概念，讲讲怎么数曲线转了多少圈。

4.1 二维空间中的曲线

二维空间中的曲线(plane curves)的Frenet运动方程：
ddt(e1(t)e2(t))=(0ω(t)−ω(t)0)⋅(e1(t)e2(t))\frac{d}{dt}\begin{pmatrix} e_1(t)\\ e_2(t) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0&\omega (t)\\ -\omega (t)& 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} e_1(t)\\e_2(t) \end{pmatrix}dtd(e1(t)e2(t))=(0−ω(t)ω(t)0)⋅(e1(t)e2(t))
这里 ω(t)=ω1,2(t)=e1′(t)⋅e2(t)\omega (t)=\omega_{1,2}(t) =e_1'(t)\cdot e_2(t)ω(t)=ω1,2(t)=e1′(t)⋅e2(t) ，曲率κ(t)≜ω(t)∣c′(t)∣\kappa(t)\triangleq \frac{\omega (t)}{|c'(t)|}κ(t)≜∣c′(t)∣ω(t)，详细的定义写在之前一篇笔记中。
进一步，在弧长参数下有c′′(s)=e1′(s)=ω(s)e2(s)=κ(s)e2(s)c''(s)=e'_1(s)=\omega(s)e_2(s)=\kappa(s)e_2(s)c′′(s)=e1′(s)=ω(s)e2(s)=κ(s)e2(s) 所以有 ∣c′′(s)∣=∣κ(s)∣|c''(s)|=|\kappa(s)|∣c′′(s)∣=∣κ(s)∣

这里我们可以看到平面曲线曲率正负的意义：
首先最主要的一点是，因为在每一点曲率是一个数而已，这说明曲线二阶导的方向，与 e2(s)e_2(s)e2(s)的方向相同或者相反，总之他们在一条直线上！
（我写完之后几天又绕回了这个问题，发现这是相当本质的一个结论，nnn维欧式空间中，非退化的曲线，自身前 nnn 阶导数就是正交的！）

因为二阶导数的正负，决定了曲线的凹凸性，二阶导大于0，曲线下凸；二阶导小于0，曲线上凸；二阶导等于0，曲线没有凸性。
再结合由Frenet标架自身性质所决定的，e1(s)e_1(s)e1(s)为曲线的切线方向，e2(s)e_2(s)e2(s)由e1(s)e_1(s)e1(s)逆时针旋转 90∘90^{\circ}90∘ 得到（为了和R2\mathbb{R}^2R2空间中的基底保持相同定向。）所以我们知道，κ(s)>0\kappa (s)>0κ(s)>0 表示e2(s)e_2(s)e2(s)与曲线弯曲方向相同，反之，则相反；若κ(s)=0\kappa(s)=0κ(s)=0自然表示曲线在这一点处不弯曲。（不同的参数 sss 或者 ttt 并不改变上述向量的方向，只是在大小上相差个常数倍。）

接下来，我们来算一算，如果不对曲线进行弧长参数化，用最原本的参数，曲率的表达式是怎样的：

Proposition 4.1.1 c:I→R2c:I\rightarrow \mathbb{R}^2c:I→R2 为一条满足Frenet条件的参数化平面曲线，则其曲率 κ(t)=det(c′(t),c′′(t))∣c′(t)∣3\kappa(t)=\frac{\text{det}(c'(t),c''(t))}{|c'(t)|^3}κ(t)=∣c′(t)∣3det(c′(t),c′′(t))

Proof:
对任意参数曲线，都可以写成c=c~∘ϕc = \tilde{c} \circ \phic=c~∘ϕ的形式，这里 s=ϕ(t)=∫x0t∣c′(τ)∣dτ,∴ϕ′=∣c′(t)∣s=\phi (t)= \int^t_{x_0}|c'(\tau)|d\tau,\therefore \phi'=|c'(t)|s=ϕ(t)=∫x0t∣c′(τ)∣dτ,∴ϕ′=∣c′(t)∣（证明写在笔记(2)中的命题2.2.5）
那么
c′(t)=ϕ′(c~′∘ϕ),c′′(t)=ϕ′′(c~′∘ϕ)+(ϕ′)2(c~′′∘ϕ)c'(t)=\phi'(\tilde{c}' \circ \phi), c''(t)=\phi''(\tilde{c}' \circ \phi)+(\phi')^2(\tilde{c}'' \circ \phi)c′(t)=ϕ′(c~′∘ϕ),c′′(t)=ϕ′′(c~′∘ϕ)+(ϕ′)2(c~′′∘ϕ)
注意这里c~′∘ϕ=c~′(s)=e~1,c~′′∘ϕ=c~′′(s)=κ~(s)e~2(s)\tilde{c}' \circ \phi=\tilde{c}'(s)=\tilde{e}_1, \tilde{c}'' \circ \phi=\tilde{c}''(s)=\tilde{\kappa}(s)\tilde{e}_2(s)c~′∘ϕ=c~′(s)=e~1,c~′′∘ϕ=c~′′(s)=κ~(s)e~2(s)
写成矩阵的形式：
(c′(t)c′′(t))=(ϕ′0ϕ′′ϕ′2)(100κ~)(e~1(t)e~2(t))\begin{pmatrix} c'(t)\\ c''(t) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \phi'& 0\\ \phi''& \phi^{'2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&\tilde{\kappa} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tilde{e}_1(t)\\ \tilde{e}_2(t) \end{pmatrix}(c′(t)c′′(t))=(ϕ′ϕ′′0ϕ′2)(100κ~)(e~1(t)e~2(t))由于曲率在参数变换下不变，上式两边取行列式便得到了结果。

事实上，曲线为平面圆周，当且仅当曲率恒为非零常数；当曲率恒为零时，对应的曲线退化为一条直线。

4.2 三维空间中的曲线

类似的，我们可以计算一般非弧长参数曲线的曲率。在三维空间中，“曲率”含有两部分，曲率κ(t)\kappa (t)κ(t) 和挠率 τ(t)\tau(t)τ(t)，分别计算下：
Proposition 4.2.1 c:I→R3c:I\rightarrow \mathbb{R}^3c:I→R3 为一条满足Frenet条件的参数化空间曲线，则其曲率 κ(t)=∣c′(t)×c′′(t)∣∣c′(t)∣3\kappa(t)=\frac{|c'(t)\times c''(t)|}{|c'(t)|^3}κ(t)=∣c′(t)∣3∣c′(t)×c′′(t)∣, τ(t)=det(c′(t),c′′(t),c′′′(t))∣c′(t)×c′′(t)∣2\tau(t)=\frac{\text{det}(c'(t),c''(t),c'''(t))}{|c'(t)\times c''(t)|^2}τ(t)=∣c′(t)×c′′(t)∣2det(c′(t),c′′(t),c′′′(t)).

Proof:
与二维情况类似，将曲线写为 c=c~∘ϕc = \tilde{c} \circ \phic=c~∘ϕ，然后求导，写成矩阵形式：
(c′(t)c′′(t)c′′′(t))=(ϕ′ϕ′′ϕ′2ϕ′′′3ϕ′ϕ′′(ϕ′)3)(10κ~(s)−κ~2(s)κ~′(s)κ~(s)τ~(s))(e~1(t)e~2(t)e~3(t))\begin{pmatrix} c'(t)\\ c''(t)\\c'''(t) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \phi'&&\\ \phi''& \phi^{'2}&\\ \phi'''& 3\phi' \phi''& (\phi')^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1& &\\ 0&\tilde{\kappa}(s)&\\ -\tilde{\kappa}^2(s) & \tilde{\kappa}'(s) &\tilde{\kappa}(s) \tilde{\tau}(s) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tilde{e}_1(t)\\ \tilde{e}_2(t)\\ \tilde{e}_3(t) \end{pmatrix}⎝⎛c′(t)c′′(t)c′′′(t)⎠⎞=⎝⎛ϕ′ϕ′′ϕ′′′ϕ′23ϕ′ϕ′′(ϕ′)3⎠⎞⎝⎛10−κ~2(s)κ~(s)κ~′(s)κ~(s)τ~(s)⎠⎞⎝⎛e~1(t)e~2(t)e~3(t)⎠⎞

先计算曲率κ(t)\kappa(t)κ(t)：c′(t)×c′′(t)=ϕ′(t)e~1(s)×(ϕ′′e~1(s)+(ϕ′)2κ~(s)e~2(s))=∣c′(t)∣3k~(s)e~3(s)c'(t)\times c''(t)=\phi'(t)\tilde{e}_1(s)\times (\phi'' \tilde{e}_1(s)+(\phi')^2\tilde{\kappa}(s)\tilde{e}_2(s))=|c'(t)|^3\tilde{k}(s)\tilde{e}_3(s)c′(t)×c′′(t)=ϕ′(t)e~1(s)×(ϕ′′e~1(s)+(ϕ′)2κ~(s)e~2(s))=∣c′(t)∣3k~(s)e~3(s)

由曲率的参数变换不变性，κ(t)=∣c′(t)×c′′(t)∣∣c′(t)∣3\kappa(t)=\frac{|c'(t)\times c''(t)|}{|c'(t)|^3}κ(t)=∣c′(t)∣3∣c′(t)×c′′(t)∣.

再在上面矩阵两边取行列式，就得到：τ(t)=det(c′(t),c′′(t),c′′′(t))∣c′(t)×c′′(t)∣2\tau(t)=\frac{\text{det}(c'(t),c''(t),c'''(t))}{|c'(t)\times c''(t)|^2}τ(t)=∣c′(t)×c′′(t)∣2det(c′(t),c′′(t),c′′′(t))

空间曲线由曲率和挠率唯一决定，假若二者均为常数（注意在空间中，曲率κ>0\kappa>0κ>0）：
1.当τ≠0\tau \neq 0τ=0时，曲线为螺旋线(Helix)；
2.当τ\tauτ恒为非零常数时，曲线退化为平面圆周。

证明也很简单，一方面螺旋线的曲率挠率恒为常数；另一方面，任意恒为常数的曲率挠率，总可以写成螺旋线所对应的形式。

接下来我们再来看一看Frenet标架，是如何唯一决定曲线的.
我们试图对一条弧长参数化曲线进行泰勒展开来做，这就涉及到用Frenet标架来表示曲线的导数，这个也好办，上方矩阵形式的最后两个矩阵就是我们要的：
(c′(s)c′′(s)c′′′(s))=(10κ(s)−κ2(s)κ′(s)κ(s)τ(s))(e1(s)e2(s)e3(s))\begin{pmatrix} c'(s)\\ c''(s)\\c'''(s) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1& &\\ 0&\kappa(s)&\\ -\kappa^2(s) & \kappa'(s) &\kappa(s) \tau(s) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_1(s)\\ e_2(s)\\ e_3(s) \end{pmatrix}⎝⎛c′(s)c′′(s)c′′′(s)⎠⎞=⎝⎛10−κ2(s)κ(s)κ′(s)κ(s)τ(s)⎠⎞⎝⎛e1(s)e2(s)e3(s)⎠⎞

我们现在可以用泰勒公式了：
c(s0+s)≈c(s0)+sc′(s0)+s22c′′(s0)+s36c′′′(s0)=c(s0)+(s−κ26s3)e1+(κ2s2+κ′6s3)e2+κτ6s3e3\begin{aligned} c(s_0+s)&\approx c(s_0)+sc'(s_0)+\frac{s^2}{2}c''(s_0)+\frac{s^3}{6}c'''(s_0)\\ &=c(s_0)+(s-\frac{\kappa^2}{6}s^3)e_1+(\frac{\kappa}{2}s^2+\frac{\kappa'}{6}s^3)e_2+\frac{\kappa \tau}{6}s^3e_3\\ \end{aligned}c(s0+s)≈c(s0)+sc′(s0)+2s2c′′(s0)+6s3c′′′(s0)=c(s0)+(s−6κ2s3)e1+(2κs2+6κ′s3)e2+6κτs3e3

因为 sss 是小量，其高阶可以扔掉，所以在 e1−e2e_1-e_2e1−e2 平面上，曲线的改变近似为(s,κ2s2)(s,\frac{\kappa}{2}s^2)(s,2κs2);
在 e1−e3e_1-e_3e1−e3 平面上，曲线的改变近似为(s,κτ6s3)(s,\frac{\kappa \tau}{6}s^3)(s,6κτs3);
在 e2−e3e_2-e_3e2−e3 平面上，曲线的改变近似为(κ2s2,κτ6s3)(\frac{\kappa}{2}s^2,\frac{\kappa \tau}{6}s^3)(2κs2,6κτs3).

这里刚好说到第三个曲线，被成为Neil抛物线，其特点是在尖点(cusp)处连续可导，当然在这里他就不满足函数的定义了。

将他们画在三维坐标系中：

（图来自 UTM Calculus and Analysis in Euclidean Space p402）
这里TTT是Tangent vector的简写，对应e1e_1e1;
NNN 是Normal vector，对应e2e_2e2;
BBB 是Binormal vector，对应e3e_3e3.

4.3 环绕数定理

这个是平面曲线的全局性质(Global Theory)，之前讲的标架，曲率都是对曲线的局部而言，那么对全局我们可以先考虑，比方说，曲线转了多少圈。
这一章在Klingenberg的书中语言叙述还是挺繁琐的，直观理解就好。

先说下什么是闭曲线：
用好理解的说法，这条曲线具有周期性，且处处都是光滑的(特别是在相同两部分连接的地方)。在傅里叶分析里我们还会见到他，圆上的曲线。
简单就是一一映射的意思。
所以简单闭曲线就是一条光滑周期参数曲线，且在每个周期上，都是一一映射的。

接下来是环绕数的概念：
在平面上一个光滑参数曲线的切向量是会随着曲线的方向转的，取定一个固定的坐标系，把切向量和 xxx-坐标轴的夹角定义为θ(t)\theta(t)θ(t) ，其中 ttt 为曲线的参数，那么显然这个 θ(t)\theta(t)θ(t) 除了在 π\piπ 和 2π2\pi2π 这两个零界点附近都是光滑的。

拿圆举例子，在起始位置，它的切向量和x轴夹角为π2\frac{\pi}{2}2π，继续逆时针前进，到它的正上方时，夹角为π\piπ，快到正下方，却还没到时，夹角接近 2π2\pi2π ，当到了正下方后，与xxx-轴夹角从新从0算起。
所以我们总可以通过给夹角加一个2π2\pi2π的整数倍，使得这个夹角函数θ(t)\theta(t)θ(t)是连续且可导的，比方说刚说的例子，本来过了圆周的正下方，夹角重新回到0，我们只要对他加2π2\pi2π，使得夹角变成 2π+θ2\pi+\theta2π+θ，变成全局的连续可导函数即可。

环绕数，对光滑参数曲线，定义为在曲线的两个端点[a,b][a,b][a,b]的角度之差再除2π2\pi2π：nc=θ(b)−θ(a)2πn_c=\frac{\theta(b)-\theta(a)}{2\pi}nc=2πθ(b)−θ(a).
比方说对单位圆周c=(cos⁡θ,sin⁡θ),θ∈[0,2π]c=(\cos \theta,\sin \theta), \theta\in[0,2\pi]c=(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π]的环绕数，按定义为1；
单位圆周c=(cos⁡2θ,sin⁡2θ),θ∈[0,2π]c=(\cos2 \theta,\sin 2\theta), \theta\in[0,2\pi]c=(cos2θ,sin2θ),θ∈[0,2π]的环绕数，按定义为2；
单位圆周c=(cos⁡(−θ),sin⁡(−θ)),θ∈[0,2π]c=(\cos{(- \theta)},\sin{(- \theta)}), \theta\in[0,2\pi]c=(cos(−θ),sin(−θ)),θ∈[0,2π]的环绕数，按定义为-1.

更进一步，对于分段光滑的参数曲线，定义一个外角(exterior angle)，记为αi\alpha_iαi，表示对于一个分段光滑节点 aia_iai 左右两端点角度的差值：即从c′(ai−)c'(a_i^-)c′(ai−)到c′(ai+)c'(a_i^+)c′(ai+)的角度差值，规定逆时针为正，顺时针为负，−π<αi<π-\pi<\alpha_i<\pi−π<αi<π.
所以对分段光滑参数曲线的环绕数就定义为：nc=12π∑i(θi(bi)−θi(ai))+12π∑iαi.n_c=\frac{1}{2\pi}\sum_i(\theta_i(b_i)-\theta_i(a_i))+\frac{1}{2\pi}\sum_i\alpha_i.nc=2π1i∑(θi(bi)−θi(ai))+2π1i∑αi.
这里的ai,bia_i,b_iai,bi表示分段光滑区间的端点。

接下来是看起来很显然，但很有用的环绕数定理(Umlaufsatz)，这是他的德语名字。
Theorem 4.3.1 假设c:I→Rnc:I\rightarrow \mathbb{R}^nc:I→Rn是一条分段光滑的，正则的简单闭曲线，则它的环绕数nc=±1.n_c=\pm1.nc=±1.

这里的简单闭曲线其实可以很复杂：
比如简单光滑曲线可以不简单：

再比如简单分断光滑曲线可以相当复杂：

但他们的环绕数其实都是111或者−1-1−1，即绕着走到起点，其实都只绕了一圈。

参考：
[1]W. Klingenberg. A course in differential geometry. Translated from the German by David Hoffman. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 51. Springer-Verlag, 1978.
[2]J. Shurman. Calculus and Analysis in Euclidean Space Undergraduate Texts in Mathematics,Springer-Verlag, 2016.
[3]厦门大学杨波老师的讲义：http://math.xmu.edu.cn/group/ga/dg_files/surface_notes.pdf

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