本篇文章我们从一般化的

4.1 二维空间中的曲线

二维空间中的曲线(plane curves)的Frenet运动方程：

这里

这里我们可以看到平面曲线曲率正负的意义： 首先最主要的一点是，因为在每一点曲率是一个数而已，这说明曲线二阶导的方向，与

（我写完之后几天又绕回了这个问题，发现这是相当本质的一个结论，

因为二阶导数的正负，决定了曲线的凹凸性，二阶导大于0，曲线下凸；二阶导小于0，曲线上凸；二阶导等于0，曲线没有凸性。 再结合由Frenet标架自身性质所决定的，

接下来，我们来算一算，如果不对曲线进行弧长参数化，用最原本的参数，曲率的表达式是怎样的：

Proposition 4.1.1

Proof: 对任意参数曲线，都可以写成

那么

注意这里

写成矩阵的形式：

由于曲率在参数变换下不变，上式两边取行列式便得到了结果。

事实上，曲线为平面圆周，当且仅当曲率恒为非零常数；当曲率恒为零时，对应的曲线退化为一条直线。

4.2 三维空间中的曲线

类似的，我们可以计算一般非弧长参数曲线的曲率。在三维空间中，“曲率”含有两部分，曲率

Proposition 4.2.1

Proof: 与二维情况类似，将曲线写为

先计算曲率

由曲率的参数变换不变性，

再在上面矩阵两边取行列式，就得到：

空间曲线由曲率和挠率唯一决定，假若二者均为常数（注意在空间中，曲率

1.当

2.当

证明也很简单，一方面螺旋线的曲率挠率恒为常数；另一方面，任意恒为常数的曲率挠率，总可以写成螺旋线所对应的形式。

接下来我们再来看一看Frenet标架，是如何唯一决定曲线的. 我们试图对一条弧长参数化曲线进行泰勒展开来做，这就涉及到用Frenet标架来表示曲线的导数，这个也好办，上方矩阵形式的最后两个矩阵就是我们要的：

我们现在可以用泰勒公式了：

因为

这里刚好说到第三个曲线，被称为Neil抛物线，其特点是在尖点(cusp)处连续可导，当然在这里他就不满足函数的定义了。

将他们画在三维坐标系中：

（图来自 UTM Calculus and Analysis in Euclidean Space p402）

这里T是Tangent vector的简写，对应

4.3 环绕数定理

这个是平面曲线的全局性质(Global Theory)，之前讲的标架，曲率都是对曲线的局部而言，那么对全局我们可以先考虑，比方说，曲线转了多少圈。 这一章在Klingenberg的书中语言叙述还是挺繁琐的，直观理解就好。

先说下什么是闭曲线： 用好理解的说法，这条曲线具有周期性，且处处都是光滑的(特别是在相同两部分连接的地方)。在傅里叶分析里我们还会见到他，圆上的曲线。 简单就是一一映射的意思。 所以简单闭曲线就是一条光滑周期参数曲线，且在每个周期上，都是一一映射的。

接下来是环绕数的概念： 在平面上一个光滑参数曲线的切向量是会随着曲线的方向转的，取定一个固定的坐标系，把切向量和 x-坐标轴的夹角定义为

拿圆举例子，在起始位置，它的切向量和x轴夹角为

环绕数，对光滑参数曲线，定义为在曲线的两个端点

比方说对单位圆周

单位圆周

单位圆周

更进一步，对于分段光滑的参数曲线，定义一个外角(exterior angle)，记为

这里的

接下来是看起来很显然，但很有用的环绕数定理(Umlaufsatz)，这是他的德语名字。

Theorem 4.3.1 假设

这里的简单闭曲线其实可以很复杂： 比如简单光滑曲线可以不简单：

再比如简单分段光滑曲线可以相当复杂：

但他们的环绕数不是 1 就是 -1，即绕着走到起点，其实都只绕了一圈。

参考：

[1]W. Klingenberg. A course in differential geometry. Translated from the German by David Hoffman. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 51. Springer-Verlag, 1978.

[2]J. Shurman. Calculus and Analysis in Euclidean Space Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 2016.

[3]厦门大学杨波老师的讲义：http://math.xmu.edu.cn/group/ga/dg_files/surface_notes.pdf