斐波那契数列之美

斐波那契是一位数学家，生于公元1170年，籍贯大概是比萨，卒于1240年后。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。斐波那契数列因他解决兔子繁殖的应用题而引入，故又称为“兔子数列”。除此之外，他对欧洲数学的另一大贡献就是引进阿拉伯数字，从而取代了复杂的罗马计数法。

有这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34……前两个元素为1，其他元素均为前两个元素和。在数学上以如下递归的方法定义：

这就是斐波那契数列的数学定义。

奇妙的属性

随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……

从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。(注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通)

如果你看到有这样一个题目：

某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64=65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。

斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。

斐波那契数列(f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……)的其他性质：

f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1

f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)

f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1

[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)

f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1

f(m+n-1)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)

利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O(log n)的程序。怎样实现呢？伪代码描述一下?

[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)

f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2

3f(n)=f(n+2)+f(n-2)

f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]

f(2n+1)=[f(n)]^2+[f(n+1)]^2

算法之矩阵计算斐波那契数列

从第三项开始，每一项都是前两项之和。 F(n)=F(n−1)+F(n−2), n⩾3 把斐波那契数列中 相邻的两项F(n)和F(n−1)写成一个2×1的矩阵。

求F(n)等于求二阶矩阵的n - 1次方，结果取矩阵第一行第一列的元素。

问题转换为二阶矩阵的n次幂。而计算二阶矩阵的N次幂运算，由于二阶矩阵乘法满足结合律，这样，可以快速计算二阶矩阵的n次幂运算。

假设A为一个二阶矩阵，则A的幂运算满足下面的条件：

A**6=A**3∗A**3

A**7=A**3∗A**3∗A**1=A**4*A**2*A**1

可以类似地把A看做是二进制中的2，2**7=2**4*2**2*2**1也就是说可以把矩阵的幂转换成二进制来表示。从而可以将n次幂拆解成长度为logn的二进制数来表示：7=111(二进制)。这就是快速求二阶矩阵的核心方法。

代码实现：

完整代码：

斐波那契数列的应用