向量的加减法与内外积

2024-05-08 13:05:23

假设有两个向量a=(x,y,z)、b=(i,j,k)，它们之间的夹角为 θ

1、加法

数学运算：a+b=(x+i, y+j,z+k)
例如 a=(1,2,4) b=(3,5,6)，那么a+b=(1+3, 2+5,4+6) = (4, 7,10)
向量加法符合“三角形法则”和“平行四边形法则”，其中“平行四边形法则”只适用于不共线的向量。
“三角形法则”：将a、b平移使b的头与a的尾相连，那么它们的和就是以a的头开始指向b的尾的向量

“平行四边形法则”：将a、b平移使a、b的头重合，以a、b为两条边做一个平行四边形，它们的和就是a、b两条边之间的四边形的对角线表示的向量

2、减法

数学公式：a-b=(x-i, y-j,z-k)
例如a=(6,2,1) b=(3,5,4)，那么a-b=(6-3, 2-5,1-4) = (3, -3,-3)
a-b相当于a+(-b)，与加法具有相同的性质，也符合“三角形法则”和“平行四边形法则”
“三角形法则”：a-b是由b的尾开始指向a的尾的向量
“平行四边形法则”：取b的反向向量-b那么a-b就等价于a+(-b)，a-b就是a、-b两条边之间的四边形的对角线表示的向量

3、内积（点乘）

数学公式：a·b =xi+ yj+zk = |a||b|cosθ
例如a = (1,2,3)，b=(4,5,8)，那么a·b = 1×4+2×5+3×8 = 38

意义：两个向量点乘得到一个矢量，可以用来判断a与b之间的夹角。
如果a和b分别是单位向量，那么它们做点乘运算之后得到的值就是夹角θ的余弦值，即cosθ，取值范围[-1,1]
等于1时，a与b平行且方向相同，即0度；
(0,1)时，a与b的夹角小于90度；
等于0时，a垂直于b；
(-1,0)时，a与b大于90度小于180度；
等于-1时，a与b平行且方向相反，即180度；

4、外积（叉乘）

数学公式：a×b = (yk-zj, zi-xk, xj-yi)
例如a = (1,2,3)，b=(4,5,8)，那么a×b =(2×8 - 3×5, 3×4 - 1×8, 1×5 - 2×4) = (1, 4, -3)

意义：两个向量叉乘得到一个新的向量。a×b = c 得到的新的向量c是垂直于a、b所在的平面的，c的模是a、b为边组成的四边形的面积。如果坐标系是满足右手定则的，c的方向也符合右手定则：四指弯曲由a以不超过180°指向b大拇指竖起指向的方向即为c的方向。

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