叉乘线性代数_线性代数4——向量3（叉积、外积、向量积）

什么是叉积

向量的叉积也叫外积、向量积、叉乘或矢量积。两个向量的叉积是这样表示的：

$\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}$ ，这种乘法的计算结果是另一个矢量

$\vec{c}$ ，这个矢量

$\vec{c}$ 的大小等于原来两个矢量的大小的乘积再乘以两个矢量夹角

$\theta$ (小于180度)的「正弦」：

$|\vec{c}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ ，

在二维空间内，向量

$A = <a_1, a_2>，B = <b_1, b_2>$

其几何意义就是以两个向量为边的平行四边形的面积，这在上篇文章中给出了详细说明。

此外，叉积也适用于两个在三维空间内的向量。在三维空间内，向量

$A = <a_1, a_2, a_3>，B = <b_1, b_2, b_3>，C = <c_1, c_2, c_3>$

i, j, k是三个维度中每个维度的单位向量，有点像三阶行列式，但并不是常理上的行列式，因为行列式不会出现向量，这里仅仅是为了便于表达和记忆。

　　从上面的描述中可以看出，叉积得到的是一个向量，而不是一个数字，也因此，A×B和B×A并不等同，实际上，

叉积的几何意义

向量的两个要素是模长和方向，让我们从这两个角度考虑叉积的几何意义。

　　在模长上，叉积的几何意义是以两个向量为边的平行四边形的面积：

两个相同向量的叉积是0，

如果用几何意义解释，二者构成一条线段，线段的面积是0。

　　在方向上，叉积垂直于平行四边形所在的平面：

由于叉积存在负值，所以垂直的方向可能向上或向下，具体方向根据右手法则判断。

右手法则很有意思，首先要保持拇指朝上，然后其他四指指向叉积的第一个向量

$\vec{a}$ ，向内弯曲(以小于180度的角度)四指指向另一个向量

$\vec{b}$ 。如果两个向量的方向能符合这个手势，此时拇指的方向就是叉积

$\vec{c}$ 的方向；如果必须向外弯曲四指，拇指的反方向是叉积的方向。总之，最终能够以一个舒服的方向竖起拇指就对了。

叉积的作用

计算平行六面体的体积

所谓平行六面体，就是六面体的每个面都是平行四边形，如下图所示：

向量H是垂直于底面的向量，|H|是六面体的高，可看作向量A在H方向上的分量，分量可以用点积表示，这在上一篇中叙述过。如果令u是H方向的单位向量：

判断点是否在同一平面

空间内的三点可以确定一个平面，

$P_1，P_2，P_3$ 是空间中的三个点，另有一点P，如何判断P是否在平面内？P是否在P1，P2，P3组成的平面内？

可以借助向量通过上一节中平行六面体体积的知识判断，如下图所示：

这样形成了三个向量，

$|P_1P_3×P_1P_2|$ 是这两个向量围成的平行四边形的面积，

$P_1P·|P_1P_3×P_1P_2|$ 表示平行六面体的体积，如果体积是0，那么P就在平面内。

计算法向量

也可以用另一种方法求解上面的问题，这需要法向量的帮助。一个与平面垂直的向量称为该平面的法向量，一个平面有无数条法向量，法向量与一个常数的乘积还是法向量。

N是平面的法向量，如果

$N⊥P_1P$ ，则P在平面内。根据点积的知识，

$N·P_1P = 0$ ，则

$N⊥P_1P$ 。如何计算N呢？实际上，N就是

$P_1P_3与P_1P_2$ 的叉积。

如果P在平面内，则体积 =

$P_1P·（P_1P_3×P_1P_2）= 0$ ；由于

$N⊥P_1P$ ，

$N·P_1P = 0$ ，结合二者：

$P_1P·（P_1P_3×P_1P_2）= P_1P· N = 0\\ \Rightarrow N = P_1P_3×P_1P_2\\$

示例

示例1

平行六面体是三条边是三个向量<2, 2, 0>，<1, 0, 1>，<0, 1, 1>，求该六面体的体积。

　　很明显是相交于<0, 0, 0>的三个向量，设三个向量分别是A，B，C

体积是4

示例2

计算三个点围成的三角形的面积，

$P_1(-1, 0 , 1)，P_2(0, 2, 2)，P_3(0, -1, 2)$

　　使用叉积很容易计算，需要注意的是，点积和叉乘仅对向量有意义，对点来说则毫无用处，所以首先需要将点转换为向量。

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