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1、数学学习与研究2009.7数学学习与研究2009.7 【摘要】 介绍了如何用C语言实现线性方程组的高斯 消去法的解法，其有效性已在Turbo C中得到了验证. 【关键词】 高斯消去法；C语言；线性方程组 在科学和工程计算中，应用最广泛的是求解线性方程 组的解，而高斯消去法是求解线性方程组的最常用的方法 之一1，但其矩阵的计算量非常大，对于维数较少的矩阵可 以用手工计算而得，但对于多维的矩阵，用手工计算已经显 得不可能.下面给出用C语言求解线性方程组的一种方法. 1.高斯消去法(Gauss Elimination)的解题思路 高斯消去法实质上分成两部分：一是利用列运算将矩 阵A代成上三角矩阵；二。

2、是反代(Backward Substitution)来 求得所要的答案.矩阵的基本列运算规则为：(1)任一列均 可乘以一非零的常数；(2) 将任一列乘以一常数后加到其 他列；(3)可任意对调任两列2. n维线性方程组常记为： a11x1+ a12x2+ a1nxn= d1 a21x1+ a22x2+ a2nxn= d2 an1x1+ an2x2+ annxn= dn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1) 用矩阵表示为： A X aijnnxin1din1(2) 例如： 2x1- 3x2+ 5x3= 10 圯 Row1 4x1+ 5x2+ 7x3= 20 圯 Row2 3x1- 6。

3、x2+ 9x3= 30 圯 Row 圯 3 (3) 经两次列运算后： 4 2 (R1)(R2)R2 3 2 (R1)(R3)R3 得到： 2x1- 3x2+ 5x3= 10 圯 Row1 11x2-3x3= 0 圯 Row2 3 2 x2+ 3 2 x3= 15 圯 Row ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 (4) 再进行以下的列运算： 3 2 3 3 1 11 3 3(2)(R3) 可以得到： 2x1- 3x2+ 5x3= 10 圯 Row1 11x2-3x3= 0 圯 Row2 + 24 22 x3= 15 圯 Row ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 (5) 。

4、反代得到解答： Row 3：x3 15 24 22 2 3 (6) Row 2：x2 3 x3 11 (7) Row 1：x1 (5x3 3x2) 2 (8) 2.以三维矩阵为例找出计算机解题的思路 消去法的过程 a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 33 d1 d2 d3 33 (9) 第一步计算： - a21 a11 R1 + R2圯R2(10) - a31 a11 R1 + R3圯R3(11) 得到新的矩阵为： a11a12a13 0a22a23 0a32a33 33 d1 d2 d3 3 3 (12) 接着进行第二步的列运算： - a32 a22 R1 + R3圯。

5、R3(13) 得到新矩阵： a11a12a13 0a22a23 00a33 33 d1 d2 d3 3 3 (14) 反代： x3= d3 a33 (15) x2= d2 - a23x3 a22 (16) x1= d1- a13x3-a12x2 a11 (17) 3. n维线性方程式解的演算法 高斯消去法： (1) 由第一行开始至第n1行，j1，to n1； (2) 由第j1列至第n列，ij1 to n； (3) 由第一行至第n行，k1，n . aik= aik- aij ajj (18) di= di- bjaij ajj (19) 反代法： xn= bn ann (20) 由jn1至1 x。

6、j= bj(21) For kn to j1 xj= xj- ajkbk(22) xj= xj ajj (23) 4. n维线性方程式解的C程序范例 include stdioh 用 C 语言实现解线性方程组的高斯消去法 黄良斌 (南通纺织职业技术学院信息系，江苏 南通226007) R1 R2 R3 R1 R2 R3 R1 R2 R3 ZHUANTI YANJIU 专 题 研 究 104 数学学习与研究2009.7数学学习与研究2009.7 定存在，但lim (xx0) (x) f(x) g(x) 不存在时，lim (xx0) (x) f(x) g(x) 也可能存在.此 时，只能说明洛必达法。

7、则失效，此种题型不能使用洛必达法则. 正解lim x x + sin x x = lim x 1+ sin x x xx=1+ lim x sin x x = 1. 3.连续使用洛必达法则时忽视逐步检验 例7求lim x1 x3- 3x + 2 x3- x2- x + 1 . 错解lim x1 x3- 3x + 2 x3- x2- x + 1 = lim x1 3x2- 3 3x3- 2x - 1 = lim x1 6x 6x -2 = lim x1 6 6 = 1. 分析此题在连续使用两次洛必达法则后， 得到的式 子lim x1 6x 6x -2 已经不再是未定式，因而不能再连续使用洛必 达。

8、法则.应用洛必达法则求极限时必须每步都做检查，一 旦发现不是定理要求的两种未定式，就要停止使用，改用 其他方法求极限. 正解lim x1 x3- 3x + 2 x3- x2- x + 1 = lim x1 3x2- 3 3x3- 2x - 1 = lim x1 6x 6x -2 = 3 2 . 洛必达法则在极限理论中有着重要意义，应用洛必达 法则求极限，要想达到熟练准确，不仅要熟练掌握洛必达 法则的结论，还要特别注意法则的条件要求.总之，通过以 上例题的讨论使学生对法则有了更深入的理解， 从而提高 了学生应用洛必达法则解决问题的能力. 【参考文献】 1 雒志江应用洛必达法则中常见问题分析J山西。

9、 大同大学学报，2008，24(5)：1113 2 刘振忠，于晓秋高等数学M北京： 中国农业出 版社，2007(8) 3 同济大学数学教研室高等数学第4版M北京： 高等教育出版社，2005 include stdlibh include mathh define dim 10 定义最大的维数10， 为防止计算值 溢出 double adim1dim1，bdim1，xdim1； 定 义双精度数组 mprint(int，int，doubledim1，double)； main() int n，i，j，k； double temp； printf(“请输入方程的维数n”)； scanf(“d”，n)。

10、； if(ndim)printf(“错误：元数超过初设定的值 dn”，dim)； exit(0)； printf(“开始输入各元素的值：”)； for(i1；in；i)for(j1；jn；j)printf (“请输入元数ad，d”，i，j)； scanf(“lf”，aij)； printf(“请输入常数bd”，i)； scanf(“lf”，bi)； mprint(n，n，a，b)； 调用打印结果函数 *开始用高斯法计算* for(j1；j n1；j)for(ij1；in；i) tempaijajj； for(k1；kn；k) aik aik temp*ajk； bi bi tempbj； mp。

11、rint(n，n，a，b)； 调用打印结果函数 *开始反代* xnbnann； for(jn1；j1；j)xjbj； for(kn；kj1；k) xj xjxkajk； xj xjajj； for(j1；jn；j)printf(“xd105en”，j，x j)； *打印结果函数* mprint(int m，int n，double adim1dim1，double b dim1) int i，j； for(i1；im；i) for(j1；jn；j) printf(“105e”，aij)； 按科学记数法显示输出 printf(“n”)； 5.结束语 高斯消去法的计算量非常大，在实际使用中最好能借 助于计算机来运算，而对于10维以上的线性方程组来说， C语言中定义的双精度数值可能也不能计算， 在计算速度 方面也有所欠缺， 故而要考虑用其他方法如： 迭代法、高 斯塞德尔迭代法等来求解. 【参考文献】 1 杨先娣，滕冲，吴黎兵等用Matlab语言实现线性 方程组的全主元三角分解法 J数理医药学杂志，2001 (4)：302303. 2 陈祖明主编矩阵论引论M北京：北京航空航天 大学出版社，1998(7). (接103页) ZHUANTI YANJIU 专 题 研 究 105。