博弈 - SG函数和SG定理

转自：http://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45555495

在介绍SG函数和SG定理之前我们先介绍介绍必胜点与必败点吧.

必胜点和必败点的概念：

P点：必败点，换而言之，就是谁处于此位置，则在双方操作正确的情况下必败。

N点：必胜点，处于此情况下，双方操作均正确的情况下必胜。

必胜点和必败点的性质：

1、所有终结点是必败点 P 。（我们以此为基本前提进行推理，换句话说，我们以此为假设）

2、从任何必胜点N 操作，至少有一种方式可以进入必败点 P。

3、无论如何操作，必败点P 都只能进入必胜点 N。

我们研究必胜点和必败点的目的时间为题进行简化，有助于我们的分析。通常我们分析必胜点和必败点都是以终结点进行逆序分析。我们以hdu 1847 Good Luck in CET-4 Everybody!为例：

当 n = 0 时，显然为必败点，因为此时你已经无法进行操作了

当 n = 1 时，因为你一次就可以拿完所有牌，故此时为必胜点

当 n = 2 时，也是一次就可以拿完，故此时为必胜点

当 n = 3 时，要么就是剩一张要么剩两张，无论怎么取对方都将面对必胜点，故这一点为必败点。

以此类推，最后你就可以得到；

n ： 0 1 2 3 4 5 6 ...

position： P N N P N N P ...

你发现了什么没有，对，他们就是成有规律，使用了 P/N来分析，有没有觉得问题变简单了。

现在给你一个稍微复杂一点点的： hdu 2147 kiki's game

现在我们就来介绍今天的主角吧。组合游戏的和通常是很复杂的，但是有一种新工具，可以使组合问题变得简单————SG函数和SG定理。

Sprague-Grundy定理（SG定理）：

游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。这样就可以将每一个子游戏分而治之，从而简化了问题。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用，因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。不知道Nim游戏的请移步：这里

SG函数：

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于任意状态 x ，定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c)，那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。这样集合S 的终态必然是空集，所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。

【实例】取石子问题

有1堆n个的石子，每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

SG[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1 时，可以取走1 - f{1}个石子，剩余{0}个，所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;

x=2 时，可以取走2 - f{1}个石子，剩余{1}个，所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;

x=3 时，可以取走3 - f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;

x=4 时，可以取走4- f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;

x=5 时，可以取走5 - f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;

以此类推.....

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....

SG[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....

由上述实例我们就可以得到SG函数值求解步骤，那么计算1~n的SG函数值步骤如下：

1、使用数组f 将可改变当前状态的方式记录下来。

2、然后我们使用另一个数组将当前状态x 的后继状态标记。

3、最后模拟mex运算，也就是我们在标记值中搜索未被标记值的最小值，将其赋值给SG(x)。

4、我们不断的重复 2 - 3 的步骤，就完成了计算1~n 的函数值。

代码实现如下：

//f[N]:可改变当前状态的方式，N为方式的种类，f[N]要在getSG之前先预处理
//SG[]:0~n的SG函数值
//S[]:为x后继状态的集合
int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
void  getSG(int n){  int i,j;  memset(SG,0,sizeof(SG));  //因为SG[0]始终等于0，所以i从1开始  for(i = 1; i <= n; i++){  //每一次都要将上一状态 的 后继集合 重置  memset(S,0,sizeof(S));  for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)  S[SG[i-f[j]]] = 1;  //将后继状态的SG函数值进行标记  for(j = 0;; j++) if(!S[j]){   //查询当前后继状态SG值中最小的非零值  SG[i] = j;  break;  }  }
}

实现上述取石子游戏：

#include <bits/stdc++.h>
#define endl "\n"
using namespace std;
const int MAXN = 10000 + 7;
int sg[MAXN];     // Station i must lose iff sg[i] = 0, or i win
int subseq[MAXN]; // Recording subsequence of station i
int pick[MAXN];   // Ways to change station
int n, m;
void getSg(int n) { // Get all sg between 1 to nmemset(sg, 0, sizeof(sg));for(int i = 1; i <= n; ++i) {memset(subseq, 0, sizeof(subseq));for(int j = 0; pick[j] <= i && j <= m; ++j) {subseq[sg[i-pick[j]]] = 1;  // Change pick[i] from u so that u-pick[i] is a subsequence to u}for(int j = 0; ; ++j) {if(!subseq[j]) {        // i is the first non-negetive number of u's subsequencesg[i] = j;break;}}}
} int main()
{ios::sync_with_stdio(false);while(cin >> n >> m) {for(int i = 0; i < m; ++i) cin >> pick[i];getSg(n);if(sg[n]) cout << "Win" << endl;else cout << "Lose" << endl;}return 0;
}

dfs递归求sg值：

int sg[MAXN];
vector<int> gra[MAXN]; // 邻接表建立拓扑图int dfs(int a) {if(sg[a] >= 0) return sg[a];int subSeq[MAXN] = {0};for(int j = 0; j < gra[a].size(); ++j) {sg[gra[a][j]] = dfs(gra[a][j]); // 递归求后继sg值subSeq[sg[gra[a][j]]] = 1;      // 标记后继状态}for(int i = 0; ; ++i) {if(!subSeq[i]) {return sg[a] = i;               // mex函数定义}}};

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