SG函数和SG定理的运用

SG函数和SG定理常用于解决博弈论的相关问题。其中SG函数的求解主要根据MEX运算。什么是MEX运算？MEX（ minimal excludant ）字面上意思是最小除外的那个数。 MEX是对一个集合的运算。指得是对于一个集合 s={a1,a2,an) 集合中未出现的最小非负整数。
举个例子：比如 s={1,2,3} 则MEX(s)=0, 如果s={0,1,2,4},则MEX(s)=3.
SG定理：博弈论中游戏和的SG值等于各个游戏的SG值的Nim和。Nim和也就是我们所说的按位异或运算下面上例题。

1.Fibonacci again and again

题目传送门：HDU1848
详细解释见下面代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+5;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof s)
int f[16],sg[N],s[N],m,n,p; //f[i]储存改变状态的所有方式  sg[i]储存每个状态的sg值  ,s[i]保存后继状态所有sg值
void solve(){for(int i=1;i<=N;i++) //遍历 {mst(s);//每次都要对保存后继状态的集合s清空 for(int j=1;j<=16&&f[j]<=i;j++)//对所有满足条件的后继状态的sg值放入到集合s中 s[sg[i-f[j]]]=1;for(int k=0;;k++)if(!s[k])  //进行mex运算找到最小未出现的非负整数 即为sg值 {sg[i]=k;break;}    }
}
int main(){f[1]=1,f[2]=2;for(int i=3;i<=16;i++)//fibnacci递推 f[i]=f[i-1]+f[i-2];solve();while(cin>>m>>n>>p){if(!m&&!n&&!p) break;puts((sg[m]^sg[n]^sg[p])?"Fibo":"Nacci");//Nim和运算 若非0先手胜，反之后手胜。 }return 0;
}

2.巴什博弈的SG解法

如果对于不知道巴什博弈结论的人可以用SG函数直接求解
不过时间复杂度变成了O（nm）数据太大就只能记结论了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+5;
int sg[N],s[N];
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
void solve(int n,int m){  //时间复杂度O（nm) for(int i=1;i<=n;i++){mst(s);for(int j=1;j<=i&&j<=m;j++)s[sg[i-j]]=1;for(int k=0;;k++)if(!s[k]){sg[i]=k;break;}}
}
int main(){int t,n,m;cin>>t;while(t--){cin>>n>>m;solve(n,m);puts(sg[n]?"first":"second");}return 0;
}

3.尼姆博弈的SG解法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+5;
int sg[N],s[N],n,a[N];
void sovle(){for(int i=1;i<N;i++){memset(s,0,sizeof s);for(int j=1;j<=i;j++)s[sg[i-j]]=1;for(int k=0;;k++)if(!s[k]){sg[i]=k;break;}}
}
int main(){int t;cin>>t;while(t--){cin>>n;int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i],ans^=a[i];puts(ans?"Yes":"No");}return 0;
}

4.Roy&October之取石子II

题目传送门：P4860
由题目数据我们可知数据很大，显然用SG是不可能的。但是如果我们没找到规律，就可以用SG函数进行打表，通过打表发现的规律的可能性更大。下面给个打表代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e4+5,M=1e5+5;
int p[M],cnt=1,a[N];
void ss(int n){  //欧拉筛 for(int i=2;i<=n;i++)a[i]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(a[i]) p[cnt++]=i;for(int j=1;j<cnt&&p[j]*i<=n;j++){a[i*p[j]]=0;//最小质因数筛合数。 if(i%p[j]==0) break;}}
}
int sg[N],s[N];
void solve(){ //求sg函数 p[0]=1;for(int i=1;i<N;i++){memset(s,0,sizeof s);for(int j=0;p[j]<=i&&j<cnt;j++)s[sg[i-p[j]]]=1;for(int k=0;;k++)if(!s[k]){sg[i]=k;break;}}
}
int main(){ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0);ss(N);solve();for(int i=1;i<=100;i++)if(sg[i]) printf("%d:1\n",i);else printf("%d:0\n",i);return 0;
}

从表中我们知道凡是4的倍数都是后手胜。因此我们可以猜想只要n是4的倍数后手胜，否则先手胜。下面上正解代码

事实上，我们自己找规律也能找出来，比如n=1，2，3显然都是先手胜，n=4时，显然先手只能拿1或2或3个，所以n=4为必败态，n=5,6,7时先手都可以通过拿若干个棋子使对手面临n=4这个必败态，所以n=5,6,7为必胜态。
n=8时，先手只能拿1，2，3，5，7 显然后手胜，所以n=8为必败态，依次类推，规律显然。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){int t,n;cin>>t;while(t--){cin>>n;puts(n%4?"October wins!":"Roy wins!");}return 0;
}

SG函数和SG定理的运用相关推荐

SG函数和SG定理(Sprague_Grundy)
一.必胜点和必败点的概念 P点:必败点,换而言之,就是谁处于此位置,则在双方操作正确的情况下必败. N点:必胜点,处于此情况下,双方操作均正确的情况下必胜. 必胜点和必败点的性质: ...
（转载）--SG函数和SG定理【详解】
在介绍SG函数和SG定理之前我们先介绍介绍必胜点与必败点吧. 必胜点和必败点的概念: P点:必败点,换而言之,就是谁处于此位置,则在双方操作正确的情况下必败. N点:必胜点,处于此情况下,双方操作均正 ...
（组合游戏）SG函数与SG定理详解
文章目录前言什么是组合游戏必胜点和必败点的概念 Sprague-Grundy(SG)定理 SG函数前言好久没写博客了,上一篇博客还是去年实训写的,一是因为寒假,二是因为随着难度的加深,学 ...
组合博弈游戏 - SG函数和SG定理
转载来自:http://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45555495 在介绍SG函数和SG定理之前我们先介绍介绍必胜点与必败点吧. 必胜 ...
组合游戏 - SG函数和SG定理
在介绍SG函数和SG定理之前我们先介绍介绍必胜点与必败点吧. 必胜点和必败点的概念: P点:必败点,换而言之,就是谁处于此位置,则在双方操作正确的情况下必败. N点:必胜点,处于此情况下,双方操作均正 ...
SG函数和SG定理【详解】
在介绍SG函数和SG定理之前我们先介绍介绍必胜点与必败点吧. 必胜点和必败点的概念: P点:必败点,换而言之,就是谁处于此位置,则在双方操作正确的情况下必败. N点:必胜点,处于此情况下,双方操作均正 ...
三个常见博弈游戏以及 SG 函数和 SG 定理
前言原文章通过数论或者自然数性质完美解决的三个常见博弈游戏: 博弈解决方法 Bash Game 同余理论 Nim Game 异或理论 Wythoff Game 黄金分割 Bash Game 描述 ...
再谈SG函数和SG定理
今天考了一道博弈论的题,让我重新复习一下SG定理吧. 首先通常的Nim游戏的定义是这样的:有若干堆石子,每堆石子的数量都是有限的,合法的移动是"选择一堆石子并拿走若干颗(不能不拿)" ...
博弈论-SG函数和SG定理
1.SG函数和SG定理是一个十分神奇的东西,有了它,绝大部分的博弈都可以被统一到这个上面,都可以使用SG函数解决.是一种解决博弈问题的十分方便的手段. 2.首先给出一些基本的定义:mex运算,这个是作 ...

SG函数和SG定理的运用

SG函数和SG定理的运用

1.Fibonacci again and again

2.巴什博弈的SG解法

3.尼姆博弈的SG解法

4.Roy&October之取石子II

SG函数和SG定理的运用相关推荐

最新文章

热门文章