博弈论-SG函数和SG定理

1.SG函数和SG定理是一个十分神奇的东西，有了它，绝大部分的博弈都可以被统一到这个上面，都可以使用SG函数解决。是一种解决博弈问题的十分方便的手段。

2.首先给出一些基本的定义：mex运算，这个是作用在集合上的运算，具体的含义就是：找出不属于当前集合最小的非负整数，可能你有点晕，我们看几个例子。mex{1,2,3}=0;为什么？因为自然数从0开始，不属于这个集合最小的非负整数就是0了，再例如mex{0,1,3}=2;根据上面的观点这个应该也是很好理解的吧。

3.元素x的后继状态：这个可能比较难以理解，什么叫做元素x的后继状态呢？其实就是x可以转移过去的状态。我们在Bash博弈中，可以取1-m个石子，当前有x个石子，所以x可以转移到的状态是{x-1，x-2,....x-m}这个集合的每一个元素叫做x的后继状态。

4.SG函数：对于任意的状态x，我们定义函数SG(x)=mex(S）,其中S的X的后继状态的集合。

5.SG定理：游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。（NIm和就是每个SG函数值异或起来）。

6.SG函数值和博弈结果的关系：（1）在一个游戏中有n个物品，如果SG(n)=0,先手必败，否则先手必胜。（2）n个游戏组成的一个游戏（可以看做n堆物品），游戏和的SG函数等于0，先手必败，否则先手必胜。

7.实际的例子：SG函数的使用。这个例子不像传统的四大博弈一样直接有结论可用，其实这个有点像Nim博弈，但是拿去物品数量的限制使得这个题不能使用Nim博弈的结论，所以这个时候SG函数就十分有用了。我们先简单的分析一下SG函数的使用步骤

1、使用数组S将可改变当前状态的方式记录下来。（其实就是可以拿取多少物品的集合）

2、然后我们使用另一个数组将当前状态x 的后继状态标记。

3、最后模拟mex运算，也就是我们在标记值中搜索未被标记值的最小值，将其赋值给SG(x)。

4、我们不断的重复 2 - 3 的步骤，就完成了计算1~n 的函数值。

下面是AC的代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 1000 + 10
#define N 20
int f[N], SG[MAXN], S[MAXN];
void getSG(int n) {int i, j;memset(SG, 0, sizeof(SG));for (i = 1; i <= n; i++){memset(S, 0, sizeof(S));for (j = 0; f[j] <= i && j < N; j++)S[SG[i - f[j]]] = 1;for (j = 0;; j++) if (!S[j]) {SG[i] = j;break;}}
}
int main() {int n, m, k;f[0] = f[1] = 1;for (int i = 2; i <= 16; i++)f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];getSG(1000);while (scanf("%d%d%d", &m, &n, &k), m || n || k) {if (SG[n] ^ SG[m] ^ SG[k]) printf("Fibo\n");else printf("Nacci\n");}return 0;
}

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