罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理和用他们证明不等式、

已知f(x), F(x)在闭区间[a,b]上连续，在(a,b)上可导

罗尔定理

如果f(a)=f(b), 则必定存在 a<ξ<b, 令 f’(ξ)=0

拉格朗日中值定理

必定存在 a<ξ<b, 令 f’(ξ) = ( f(b) - f(a) ) / (b - a)
即 Δy = f’( x + θ * Δx) * Δx ，0<θ<1

柯西中值定理

且F’(x)在区间上非0
必定存在 a<ξ<b, 令 f’(ξ) / F’(ξ) = ( f(b) - f(a) ) / ( F(b) - F(a) )

证明思路

观察不等式，构造 f(x) 让 f’(ξ) = ( f(b) - f(a) ) / (b - a)

或构造 f(b) = f(a) 根据罗尔定理证明 f’(ξ) = 0

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