用正割对数计算积分的方法
用正割对数计算积分的方法
下面介绍一种利用正割对数，计算积分的方法。
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三角函数微积分
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第一部分用正割对数计算积分的方法
一个函数y=f(x)的导数等于函数图像某点切线的斜率
tga=y=f(x)=u(x)=y/x，
函数f(x)的导数u(x)等于切线的斜率，
tga=u(x)，tga=sina/cosa，
导数等于微分，微分积分后变成原函数，即
f`(x)= tga=f(x)
因为，a=arctgf(x)， 根据泰勒展开 3 5 2n+1 x x n x 2n+2 arc tg x=x- + -...+(-1) +o(x ) 3 5 2n+1 所以, 3 5 2n+1 f (x) f (x) n f (x) 2n+2
a=f(x)- + -...+(-1) +o(x ) 3 5 2n+1 方法1, 推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译 推导过程可参见《无穷小分析基础》,苏联，И.И普里瓦诺夫，C.A加里别伦著 因为, tga=y=f(x)=u(x)=y/x, a=arctgy,所以,
sina d(cosa)
f`(x)= tgada= da=- =-lncosa+C
cosa cosa
根据泰勒展开
2 5 6 2m
a a a m a 2m+1
cosa=1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
所以,
2 5 6 2m
a a a m a 2m+1
f(x)=-lncosa+C=-ln[1- + - -…+(-1) +o(a )]+C
2! 4! 6! (2m)!
可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册
6
9)写出函数ln cos x的展开式至x 的项。根据5)
1 2 1 3 3
ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o((cos x-1) )
2 2
1 2 1 3 6
ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x )
2 2
所以,
1 2 1 3 3
f(x)=-lncosa+C=(cos a-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o((cos x-1) )
2 3
1 2 1 3 6
f(x)=-lncosa+C=(cos a-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x )
2 3
2 4 6 a a a 6
f(x)=-lncosa+C= + - +o(a )
2 12 45
方法2,
推导过程参见《高等混合算学下册》，商务印书馆1925年出版，梧兹（Woods），巴雷（Bailey）著，长沙易俊元译,
tanudu=logsec u +Ccotudu=logsin u +C
lnsinθ=-lncscθ, lncosθ=-lnsecθ, lgtgθ=lgsecθ-lgcscθ, lgctgθ=lgcscθ-lgsecθ,
所以,
sina d(cosa) f`(x)= tanada= da=- =-lncosa+C=lnseca+C cosa cosa
所以,
cosa d(sina)
f(x)= cotada= da=- =lnsina+C sina csina 因为, tga=y=f`(x)=u(x)=y/x,
所以,
f(x)= tgada=logsec a +C
根据泰勒展开
2 3 5 n
x x x n-1 x n
ln(1+x)=x- + - -…+(-1) +o(x )
2 3 4 n
所以,
1 2 1 3 3
ln sec x=ln[1+(sec x-1)]=(sec x-1)- (sec x-1) + (sec x-1) + o((sec x-1) )
2 2
1 2 1 3 6
ln sec x=ln[1+(sec x-1)]=(sec x-1)- (sec x-1) + (sec x-1) + o(x )
2 2
所以,
1 2 1 3 6
f(x)=lnseca+C=(sec a-1)- (sec x-1) + (sec x-1) +o((sec a-1) )
2 2
1 2 1 3 6
f(x)=lnseca+C=(sec a-1)- (sec x-1) + (sec x-1) +o(a )
2 2
因为,
2 5 6 2m
a a a m a 2m+1
cosa=1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
lnsinθ=-lncscθ, lncosθ=-lnsecθ,
所以,
2 5 6 2ma a a m a 2m+1
f(x)=lnseca+C-lncosa+C=-ln[1- + - -…+(-1) +o(a )+C
2! 4! 6! (2m)!
因为, 推导过程可参见《古今算学丛书，割圆密率捷法》，清光绪戊戌六月算学书局印成，,
清咸丰壬子年，湖北人戴煦识，夏鸾翔编写，1898年刘铎整理
当45°≥θ>0°时,
2 4 6 8 θ θ 2 θ 2 16 θ 2 16 272
lnsecθ= + + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78
10 2n S θ 2 16 272 7936 θ n
+…+ 2 3*4 5*6 7*8 9*10 2 (n+1)(n+2)...*2n
上式中，
S *(2n-2)(2n-1) S (2n-2)(2n-1)
n-2 n-3
S 2n(2n+1) 2n(2n+1) 2n(2n+1)
n-1 12
S = - + …-2
n 12 34 56
例如：
2 S =2
1
245
-22=16 S =16
12 2
20
1667 33689
- +24=272 S =272
12 3*4 3
336 70
1667 33689 7089
- + -24=7936 S =7936
12 34 56 4
9792 2016 168
79361011 97921011 20161011 1681011
- + - +25=353792 S =7936
12 34 56 78 5
436480 89760 7392 330
当67.5°≥θ>45°时
lnsecθ=lnsec(2θ-90°)-lnsec(90°-θ)+ln2,
当78.75°>θ≥67.5°时
lnsecθ=lnsec[2(2θ-90°)-90°]-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+2ln2,
当84.375°>θ≥78.75°时
lnsecθ=lnsec[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+3ln2,
当85.375°>θ≥84.375°时
lnsecθ=lnsec[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+4ln2,
当86.375°>θ≥85.375°时,
lnsecθ=lnsec[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+5ln2,
当87.375°>θ≥86.375°时,
lnsecθ=lnsec[2[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec8(90°-θ)-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+6ln2,
当88.375°>θ≥87.375°时,
lnsecθ=lnsec[2[2[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec12(90°-θ)-lnsec10(90°-θ)-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+7ln2,
所以,
f(x)=ln sec a+C=
2 4 6 8
a a 2 a 2 16 a 2 16 272
+ + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78
所以,
f(x)=lnseca+C-lncosa+C=
2 4 6 2m
a a a m a 2m+1
-ln[1- + - -…+(-1) +o(a )]
2! 4! 6! (2m)!
因为, y=tga, 所以, a=arctgy,所以,
f(x)=ln sec a+C=
2 4 6 8
arctg y arctg y 2 arctg y 2 16 arctg y 2 16 272
+ + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 7*8
所以,
f(x)=lnseca+C=-lncosa+C=
2 4 6 2marctg y` arctg y` arctg y` arctg y` 2m+1
-ln[1- + - -…+(-1) +o(arctg y` )]+C
2! 4! 6! (2m)!
上式中
2 3 4 5 (1-N) (1-N) 2 (1-N) 2 3 (1-N) 2 3 4
lnN=[(1-N)+ + + +
2 2 3 2 3 4 2 3 4 5
n
(1-N) 2 3 4 n-1
+…+ … ]
2 3 4 5 n
上式中，N<1
当N>1时，
m
lgN=m-[(1-N/10 )+
m 2 m 3 m 4 m 5
(1-N/10 ) (1-N/10 ) 2 (1-N/10 ) 2 3 (1-N/10 ) 2 3 4
+ +2 2 3 2 3 4 2 3 4 5
m n(1-N/10 ) 2 3 4 n-1
+…+ … ]
2 3 4 5 nm
上式中，N/10 <1
例如：
推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译
3 3 3
例2. x 1+x dx,设1+x=t ,有x=t -1
3 3 3 6 3 x 1+x dx= (t -1)t*3t dt=3 (t -t )dt=7 4 3 7 3 4
=3t /7-3t /4+C=3 (1+x) /7-3 (1+x) /4+C
解法2，根据上面的公式，
3 x 1+x dx=ln sec a+C=2 4 6 8
arctg y arctg y 2 arctg y 2 16 arctg y 2 16 272
+ + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78
3 2 3 4 3 6
arc(x 1+x ) arc(x 1+x ) 2 arc(x 1+x ) 2 16
= + + +
2 2 34 2 34 5*6
3 2
arc(x 1+x ) 2 16 272
2 34 56 7*8
解法3，根据上面的公式，
3 x 1+x dx=-ln cos a+C=2 4 6 2marctg y` arctg y` arctg y` arctg y` 2m+1
-ln[1- + - -…+(-1) +o(arctg y` )]+C
2! 4! 6! (2m)!
3 2 3 4 3 6 3 2marc(x 1+x ) arc(x 1+x ) arc(x 1+x ) arc(x 1+x )
-ln[1- + - -…+(-1)
2! 4! 6! (2m)!
3 2m+1
+o(arc(x 1+x )) ]+C
在几何上，就是我们只限于取y=-π/2到π/2之间的一部分图形。因为函数y=arctgx与x=tgy互为反函数，所以，
y =1/x
x y
也就是说原函数的导数等于1除以反函数的导数, 上面等式左右两边同时积分，得
y dx= dy/x
x y
y =ln│x │+C
x y
也就是说原函数等于反函数绝对值的自然对数,
-1
设y =f(x),反函数为x =f (y)
x y
-1
f(x)=ln│f (y)│+C
因为,
f(x)=-lncosa+C=
2 4 6
a a a 6
= + + +o(a )
2 12 45
上式中tga=y=f(x)=y/x,
f(x)=-lncosa+C=
2 4 6
a a a 6 -1
= + + +o(a ) =ln│f (y)│+C
2 12 45
2 4 6 a a a
[ + + ]
-1 2 12 45
f (y)=e
同理可证
2 4 6
b b b
[ + + ]
-1 2 12 45
f (x)=e
上式中
-1
tgb=f (y)=x/y 第二部分通过导数斜率计算积分的方法 推导过程可参见1992年版《高等数学》，盛祥耀主编，高等教育出版社出版 一个函数y=f(x)的导数等于函数图像某点切线的斜率tga=y=f`(x)=u(x)=y/x，
函数f(x)的导数u(x)等于切线的斜率tga=u(x)，tga=sina/cosa，
根据泰勒展开
3 5 7 2m
a a a m-1 a 2m
sina=a- + - -…+(-1) +o(a ) (a→0)
3! 5! 7! (2m)!
2 4 6 2ma a a m a 2m+1
cosa=1- + - -…+(-1) +o(a ) (a→0)
2! 4! 6! (2m)!
3 5 7 2m+1a a a m a 2m+2
arc tg a=a- + - -…+(-1) +o(a ) (a→0)
3 5 7 (2m+1)!
可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册
3
a 4
tg a=a+ +o(a )
3
3 a 4
u(x)=a+ +o(a )
3
或者，
推导过程可参见三角函数计算页
u(x)=tgα=2√2kα/π，
上式中，k=1.3，或，
3 2
k=0.33α +0.5α +α+1
或者，
推导过程可参见《古今算学丛书，圆率考真》，光绪戊戌六月算学书局印，
推导过程参见三角函数的求法缀术页，
2 2 4α/π(2-8√2α/π+32α /π )
tgα=sinα/cosα= 当60°<α≤90°时，
2 2
1-4α/π(2-8√2α/π+32α /π )
2 2 α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )
tgα=sinα/cosα= 当30°<α≤60°时，
2 2
1-α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )
2 2 α3√2/π(2-12α/π+36α /π )
tgα=sinα/cosα= 当0°<α≤30°时，
2 2
1-α3√2/π(2-12α/π+36α /π )
或者，
可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册，
推导过程参见惠更斯公式页，
2 2 8+6α ±2 4-2(-3α +16)
tgα=sinα/cosα=
2
2± 4-2(-3α +16)
或者，
推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰，
收录于《白芙堂算学丛书》，推导过程参见数学拾遗页，
4 3 2
tgα≈7.5*(0.3α +0.2α +0.2α +0.2α+1)/2*1.01537228απ
或者
3 5 7
α α α
tgα=α+ + +
3 60 630
或者
tga=sina/cosa=
3 5 7 2m
a a a m-1 a 2m
a- + - -…+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m)!
2 4 6 2ma a a m a 2m+1
1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
3 5 7 2ma a a m-1 a 2m
a- + - -…+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m)!
u(x)=
2 4 6 2m
a a a m a 2m+1
1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
设u(x)=t,得
3
a 4
t=a+ +o(a )
3
或者,
3 5 7 2ma a a m-1 a 2m
a- + - -…+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
t=
2 4 6 2m
a a a m a 2m+1
1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
解上面的方程，得到t关于a的函数a=φ[t],
a=φ[u(x)], a=φ[t],
3
a +3a-3t=0
根据一元三次立方根的卡尔丹公式,
3
方程x +px+q=0的解有三个分别是
3 3 2 3 2 3 -q q p q q p
x = + + + - - +
1 2 4 27 2 4 27
3 3 2 3 2 3 -q q p 2 q q p
x =ε + + +ε - - +
2 2 4 27 2 4 27
3 3 2 3 2 3 2 -q q p q q p
x =ε + + +ε - - +
3 2 4 27 2 4 27
其中,
3
ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,
0 1 2
推导过程可参见7.复数的方根,
根据上面的卡但公式，得
3
方程a +3a-3t=0的解有三个分别是, 其中p=3,q=-3t,
3 3 2 2 3t 9t 27 3t 9t 27
a =φ[t]= + + + - +
0 2 4 27 2 4 27
3 3 2 2 3t 9t 27 2 3t 9t 27
a =φ[t]=ε + + +ε - +
1 2 4 27 2 4 27
3 3 2 2 2 3t 9t 27 3t 9t 27
a =φ[t]=ε + + +ε - +
2 2 4 27 2 4 27
因为函数y=f(x)的导数是斜率tga，即
tga=y/x,
因为, a=φ(t), u(x)=t,
所以, a=φ[u(x)],
tga=tg{φ[u(x)]}=y/x,
y=xtga=xtg{φ[u(x)]}=xtg[φ(t)]
y=xtga=
3 3
2 3 2 3 3t q p 3t q p
x*tg{ + + + - +
2 4 27 2 4 27
或,
y=x*tga=
3 3 2 2 3t 9t 27 2 3t 9t 27
xtg{ε + + +ε - + }
2 4 27 2 4 27
或,
y=xtga=
3 3 2 2 2 3t 9t 27 3t 9t 27
x*tg{ε + + +ε - - + }
2 4 27 2 4 27
上式中，
3
a 4
t=a+ +o(a )
3
这样就得到由导数的斜率tga构成的原函数y，也就是通过上面的办法通过导数u(x)计算得到原函数f(x)，这样就得到由原函数f(x)构成的导数u(x)，也就是通过上面的办法通过原函数f(x)计算得到导数u(x)，
导数计算公式：
因为，
tga=tgφ[u(x)]=y/x，
arctg(y/x)=φ[u(x)]=a，
因为u(x)=t,
3
a 4
u(x)=t=a+ +o(a )
3
或，u(x)=tgα=2√2kα/π，
上式中，k=1.3，
或，
3 2
k=0.33α +0.5α +α+1
或
推导过程可参见《古今算学丛书，圆率考真》，光绪戊戌六月算学书局印，
详细推导过程可参见《古今算学丛书，切线求弧》和缀术页，
推导过程参见三角函数的求法缀术页，
2 2
4α/π(2-8√2α/π+32α /π )
tgα=sinα/cosα= 当60°<α≤90°时，
2 2
1-4α/π(2-8√2α/π+32α /π )
2 2 α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )
tgα=sinα/cosα= 当30°<α≤60°时，
2 2
1-α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )
2 2 α3√2/π(2-12α/π+36α /π )
tgα=sinα/cosα= 当0°<α≤30°时，
2 2
1-α3√2/π(2-12α/π+36α /π )
或，
3 5 7 2m-1a a a m-1 a 2m
a- + - -…+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m)!
u(x)=t=
2 4 6 2m
a a a m a 2m+1
1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
因为, tga=y=f(x)=u(x)
3
arctg (y/x)
y`=u(x)=t=arctg(y/x)+
3
3 5 7 2m-1arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m
arctg(y/x)- + - -…+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
y=u(x)=t= 3 4 6 2m arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1 1- + - -...+(-1) +o(a ) 2! 4! 6! (2m-1)! 这样就得到由原函数y构成的导数y,也就是通过上面的办法通过原函数y计算得到导数y`,所以,
3 a 4
a+ +o(a )=
3
3 5 7 2m-1arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m
arctg(y/x)- + - -…+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
3 4 6 2marctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1
1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m-1)!
3 a 4
a+ +o(a )=t,
3
3 a
a+ -t=0,
3
3
a +3a-3t=0,
解这个一元三次方程式得,
3 3 2 2 3t 9t 27 3t 9t 27
a =φ[t]= + + + - +
0 2 4 27 2 4 27
3 3 2 2 3t 9t 27 2 3t 9t 27
a =φ[t]=ε + + +ε - +
1 2 4 27 2 4 27
3 3 2 2 2 3t 9t 27 3t 9t 27
a =φ[t]=ε + + +ε - +
2 2 4 27 2 4 27
其中,
3
ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,
0 1 2
推导过程可参见7.复数的方根,
上式中,
3 5 7 2m-1arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m
arctg(y/x)- + - -…+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
t=
3 4 6 2m
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1
1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m-1)!
或者，
3
a 4
t=a+ +o(a )
3
3
arctg (y/x)
t= arctg(y/x) +
3
因为, tga=y=f(x), 所以,
tga=y=f(x)=
3 3
2 2 3t 9t 27 3t 9t 27
tg[ + + + - +
2 4 27 2 4 27
tga=y=f(x)=
3 3 2 2 3t 9t 27 2 3t 9t 27
tg[ε + + +ε - +
2 4 27 2 4 27
tga=y=f(x)=
3 3
2 2 2 3t 9t 27 3t 9t 27
tg[ε + + +ε - +
2 4 27 2 4 27
上式中,
3 5 7 2m-1arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m
arctg(y/x)- + - -…+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
t=
3 4 6 2m
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1
1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m-1)!
或者，
3
a 4
t=a+ +o(a )
3
3 arctg (y/x)
t= arctg(y/x) +
3
这样就得到由原函数y构成的导数y，也就是通过上面的办法通过原函数y计算得到导数y，
例如：
推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译，
例1.
√x
e
dx
√x
2
设x=t ,则有
√x te e t t √x dx= 2tdt=2 e dt=2e +C=2e +C√x t
解法2，用上面的公式求解
y=x*tga=
3 3 2 2 3t 9t 27 3t 9t 27
x*tg{ + + + - + }
2 4 27 2 4 27
上式中
3
a 4
t=a+ +o(a )
3
3 arctg (y/x)
t= arctg(y/x) +
3
因为, y=tga, a=arctgy,
所以,
3 √x x√x
arctg y e e t=arctgy+ = +
3 √x 3x√x
y=x*tga=
3√x x√x e e 2√x x√x 9( + ) 3e e √x 3x√x 27
x*tg{ + + +
2√x 2x√x 4 27
3√x x√x e e 2√x x√x 9( + ) 3e e √x 3x√x 27
+ - + 2√x 2x√x 4 27
所以,
3 5 7 2m-1arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m
arctg(y/x)- + - -…+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
y`=u(x)=t=
3 4 6 2m
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1
1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m-1)!
3 √x 5 √x 7 √x 2m-1 √x√x arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x)
arctg (2e /x)- + - -…+(-1)
3! 5! 7! (2m-1)!
2 √x 4 √x 6 √x 2m √xarctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x)
1- + - -…+(-1)
3! 5! 7! (2m)!
所以,
tga=y=f(x)=
3 3 2 2 3t 9t 27 3t 9t 27
tg[ + + + - + ]
2 4 27 2 4 27
上式中,
3 5 7 2m-1
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m
arctg(y/x)- + - -…+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
t=
3 4 6 2m
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1
1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m-1)!
3 √x 5 √x 7 √x 2m-1 √x√x arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x)
arctg (2e /x)- + - -…+(-1)
3! 5! 7! (2m-1)!
2 √x 4 √x 6 √x 2m √xarctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x)
1- + - -…+(-1)
3! 5! 7! (2m)!
或者
3
arctg (y/x)
t=arctg(y/x)+
3
3 √x √x arctg (2e /x)
t=arctg(2e /x)+
3
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版，
41.三次与四次方程，
说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下：
3 2
y +ay +by+c=0 (1)
设y=x+h,得
3 2
(x+h) +a(x+h) +b(x+h)+c=0
3 2 2 3
x +(3h+a)x +(3h +2ah+b)x+h +bh+c=0
上面方程可转化为,
3
x +px+q=0 (3)
其中, y=x-a/3, (2)
h=-a/3,
2 2
p=3h +b+2ah=b-a /3,
3 3
q=h +bh+c=-a /27-ab/3+c,
只要求得方程(3)的根，那么我们根据(2)就可以得到方程(1)的根, 根据基本定理方程(3)有三个复数根，设x0是其中一个, 我们引入辅组未知量u来讨论多项式,
2
f(u)=u -x0u-p/3,
它的系数为复数，故有两个复数根α和β。而且由韦达公式，得,
α+β=x0 (4)
αβ=-p/3 (5)
以根x0的表达式(4)代(3)中，我们得出：
3
(α+β) +p(α+β)+q=0,
或,
3 3
α +β +(3αβ+p)(α+β)+q=0,
但由(5)得3αβ+p，故有,
3 3
α +β =-q (6)
另一方面，由(5)推得,
3 3 3
α β =-p /27 (7)
3 3
等式(6)与(7)证明了，数α 和β 是系数为复数的二次方程,
3
2 p
z +qz- =0 (8)
27
的根,
解方程(8)，我们得到：
2 3 q q p
z =- ± +
2 4 27
3 2 3 q q p
α= - ± +
2 4 27
3 2 3 q q p
β= - ± + (9)
2 4 27
注意：因α和β在等式(6)和(7)中，同时在x0的表达式(4)中，都是对称的,
3 3
故对方程的根(S)的根，以何者为α 何者为β 是没有什么分别的。这就是说α，β可以相互交换位置，得到的计算结果不变.
即,
3
2 3 q q p
β= - ± +
2 4 27
3 2 3 q q p
α= - ± + (9)
2 4 27
或,
3 2 3 q q p
α= - ± +
2 4 27
3 2 3 q q p
β= - ± + (9)
2 4 27
两者的计算结果是相同的, 我们得到次之卡尔丹公式，把方程(3)的根经其系数用平方根与立方根来表出：
3 3
2 3 2 3 q q p q q p
x0=α+β= + + + - + +
2 4 27 2 4 27
因立方根在复数域中有三个值，所以(9)式给予α三个值与β三个值。
注意：ε是1的立方根，即
3
ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,
0 1 2
下面内容为插叙
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,
7.复数的方根,
在几何上，就是我们只限于取y=-π/2到π/2之间的一部分图形。因为函数y=arctgx与x=tgy互为反函数，所以，
y =1/x
x y
也就是说原函数的导数等于1除以反函数的导数, 也可以认为，反函数的导数等于1除以原函数的导数,
x =1/y
y x
因为,
3 arctg (y/x)
y`=u(x)=t=arctg(y/x)+
3
所以,
1
x =1/y =
y x 3
arctg (y/x)
arctg(y/x)+
3
推导过程参见《微积概要》国立中山大学学院院长何衍睿，李铭槃，苗文绥，合编，1935年版，商务印书馆出版,
因为,
m m(m-1) 2 m(m-1)…(m-n+1) n 2n+2
(1+x) =1+mx+ x +…+ x +o(x )
12 12…n
2
所以,当x =-x ,m=-1/2时，有
1 1 2 1*3 4 1*3*….(2n-1) 2n 2n+2
=1+ x + x +…+ x +o(x )
2 2 24 24*…2n
1-x
两边积分得
3 5 2n+1
1 x 13 x 13*….(2n-1) x 2n+2
arc sin x=x+ + +…+ +o(x )
2 3 24 5 24*…2n 2n+1
在区间(-π/2,+π/2),
3 5 7 2n+1
x x x n x 2n+2
arc tg x=x- + - -…+(-1) +o(a )
3 5 7 2n+1
当x=1时，由上式可得,
π 1 1 1 n 1
=1 - + - -…+(-1) +…
4 3 5 7 2n+1
1 2 3 n
x x x x x n+1
e =1 + + + +…+ +o(x )
1 12 12*3 n!
loga x xloga
因为a=e , a =e
所以,
2 2 n n
x xloga x (loga) x (loga) n+1
a =1 + + +…+ +o(x )
1 2! n!
2 3 5 2n+1
1-x π x x n-1 x 2n+2
arctan = -x+ - +…+ (-1) +o(x )
1+x 4 3 5 2n+1
在区间(-π/2,+π/2)
1
1-x 1 1 1`
dx=1+ + +…+ 其中m为正整数│x│<1
0 1+x 2 3 m
2 4 6
sinx x x x
log =(- + - +…)
x 3! 5! 7!
2 4 6 1 x x x 2
(- + - +…)
2 3! 5! 7!
2 4 6 1 x x x 3
(- + - +…)
3 3! 5! 7!
2 4 6 n+1 1 x x x n
-…+(-1) (- + - +…)
n 3! 5! 7!
n+1 2n+2 (n+1) x+θx 2
1 2 n 2n (n) (-1) x f [ ]
x x (-1) x f (x) 1+n
( )dx=f(x)- f``(x)+…+ +
0 1+x 1+x n n+1
(1+x) (1+x) (n+1)!
求
1
log(1+x)
0 1+x
推导过程可参见1934年商务印书馆出版《大学丛书高等算学分析》，熊庆来著
推导过程可参见1937年版《大学丛书微积分学》，孙光元，孙权平著
3 5 2n+1
1 x 13 x 13*….(2n-1) x 2n+2
arc sin x=x+ + +…+ +o(x )
2 3 24 5 24*…2n 2n+1
3 5 7 2n+1x x x n x 2n+2
arc tg x=x- + - -…+(-1) +o(a )
3 5 7 2n+1
1 2 2
=1-x+x +o(x ）
1+x
1 3 2 n+1 1*3*….(2n-1) n 2n+2
1+x =1+ x - x +…+(-1) x +o(x )
2 8 24…*2n
1 1 3 2 n 1*3*….(2n-1) n 2n+2
=1- x + x +…+(-1) x +o(x )
2 8 24…*2n
1+x
可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册
4)今考察幂函数x , 此处m非自然数也非零。在这情形，当x→0时，或则函数本身（若m<0），或则它的导数（从某一个n>m阶开始）无限地增大。因此，在此处已不能取x =0.
m 0
取x =1，即依(x-1)的幂而展开x .
0
如前所述，我们可以把x-1当做新的变量，但若我们仍旧用x来记这新的变量，则问题就成
m
为依x的幂而展开函数（1+x） 了。我们知道任意阶导数的普遍公式116,2）, 详细内容见任意阶导数的普遍公式.
(k) m-k
f (x)=m(m-1)…(m-k+1)(1+x)
(k)
因此f(0)=1,f (0)=m(m-1)…(m-k+1)
展开式的形式就是
m m(m-1) 2 m(m-1)…(m-n+1) n n
(1+x) =1+mx+ x +…+ x +o(x )
12 12…n
特别情形，例如在n=2及m=-1,1/2,-1/2时，就有
1 2 2
=1-x+x +o(x )
1+x
1 1 2 2
1+x=1+ x- x +o(x )
2 8
1 1 3 2 2
=1+ x- x +o(x )
1+x 2 8
3
x
在这些展开式中，第一式很容易由初等方法得出；此处的余项实即
1+x
至于第二式及第三式就需要更长的计算。比较63无穷小和无穷大的分级中的主部的分出
5)若转而讨论对数函数ln x，它在x→+0时趋向于-∞，所以仿照前例，我们只能考察函数.
f(x)=ln(1+x)
并且依x的幂展开它。那时任意导数的普遍公式116,3)
k-1
(k) (-1) (k-1)!
f (x)=
k
(1+x)
(k) k-1
f(0)=0, f (0)=(-1) (k-1)!
注;记号0！我们永远理解为1
由此
2 3 n
x x n-1 x n
ln(1+x) =x- + -…+ (-1) +o(x )
2 3 n
6)今设f(x)=arc tg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m) (2m-1) m-1
f(x) (0)=0, f(x) (0)=(-1) (2m-2)!
根据戴劳公式（11），可得
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc tg x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
1-1 (2*1-2)! 0 2 2-1 (2*2-2)! 3 n-1 (2*n-1)! n n
arc tg x= arc tg 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+(-1) x + o(x )
1! 2! 3! n!
于是它的展开式可表示为
3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
arc tg x=x- + -…+ (-1) +o(x )
3 5 2m-1
6a)今设f(x)=arc ctg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4a)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m) (2m-1) m-1
f(x) (0)=0, （当2m为偶数时）f(x) (0)=(-1) (2m-2)!, （当2m-1为奇数时）
根据戴劳公式（11），可得
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc ctg x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
1 (2*1-2)! 0 2 2 (2*2-2)! 3 m-1 (2*m-1)! n n
arc ctg x= arcctg 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+(-1) x + o(x )
1! 2! 3! n!
于是它的展开式可表示为
3 5 2m-1
x x m x 2m
arcc tg x=-x+ - -…+ (-1) +o(x )
3 5 2m-1
6b)今设f(x)=arc sin x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m) (2m-1) m-1 2 2 2 m-1 2
f (0)=0, f (0)=(-1) 1 3 …(2m-1) =(-1) [(2m-1)!!]
于是它的展开式可表示为
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc sin x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
2 2 2
1-1 (21-1)!! 0 2 2-1 (22-1)!! 3 (2n-1)!! n n
arc sin x= arc sin 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+ x + o(x )
1! 2! 3! n!
2(2*1-1)!! 0 2 2!!* 2!! 3 (2*n-1)! n n
arc sin x= arc sin 0 - x+ x - x +…+ x + o(x )
1! 2! 2!! 3!! n!
于是它的展开式可表示为
3 5 2m-1
2!! x 4!!x m-1 (2m-2)!! x 2m
arc sin x=x- + -…+（-1） +o(x )
3!! 5!! (2m-1)!!
注note;5!!=135,6!!=246
6c)今设f(x)=arc cos x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5b)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m-1) (2m) m 2 2 2 m 2
f (0)=0, f (0)= (-1) 3 *5 …(2m-3) =(-1) [(2m-3)!!]
于是它的展开式可表示为
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc cos x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
2 2 0 (2*1-1)!! 2 0 3 (2*n-1)!! n n
arc cos x= arc cos 0 + x+ x + x +…+ x + o(x )
1! 2! 3! n!
2 20 (2*1-1)!! 2 0 3 3!!3!! 4 (2*n-1)! n n
arc cos x= arc cos 0 + x- x + x - x +…+ x + o(x )
1! 2! 3!! 3!!4!! n!
于是它的展开式可表示为
2 3 5 2mx 3!! x 5!!x m (2m-1)!! x
arc cos x=1- + - -…+（-1） +o(x )
2!! 4!! 6!! (2m)!!
注note;5!!=135,6!!=246
7)对于函数f(x)=tg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为
2 2
1 2sin x 1+2sin x Ⅳ 2+2sin x
f`(x)= , f(x)= , f(x)=2* , f (x)=8sin x
2 2 4 5
cos x cos x cos x cos x
Ⅳ
故f(0)=0,f`(0)=1,f``(0)=0,f```(0)=2,f (0)=0,
根据戴劳公式（120a）
3
x 4
tg x=x+ +o(x )或
3
3 5 7 2m-12x 4x 6x m-1 (2m) x n
tg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (-π/2<x<π/2)
3 5 7 2m-1
例如
tg π/4=1
3
0.785339
tg 0.785339=0.785339+ =1.0928
3
例如
tg π/4=1
3 5 7
20.785339 40.785339 60.785339
tg 0.785339=0.785339+ - + =1.0928
3 5 7
利用已知的展开式，就已经可以不用求导数而直接写出较繁复的函数的展开式。例如，前一公式就可以从sin x及cos x的展开式而求得。举几个新的例子，在这时一切x的幂值到指定的幂包括在内为止，我们都要精确计算出来，而更高级的幂（没有写出来的）自然是包括在余项内。
7a)对于函数f(x)=ctg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为
2 2
1 2cos x 1+2cos x Ⅳ 2+2cos x
f`(x)=- , f(x)=- , f(x)=-2 , f (x)=-8cos x
2 2 4 5
sin x sin x sin x sin x
Ⅳ
故f(π/2)=1,f`(π/2)=-1,f``(π/2)=0,f```(π/2)=-2,f (π/2)=0,
根据戴劳公式(120a)
3x 4
ctg x=x- +o(x )或
3
3 5 7 2m-12x 4x 6x m-1 (2m) x n
ctg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (0<x<π)
3 5 7 2m-1
例如
ctg π/4=1
3
0.785339 3
ctg 0.785339=0.785339- (0.78533-1.75) =0.93027
3
例如
ctg π/4=1
3 5 7
20.785339 40.785339 6*0.785339
ctg 0.785339=0.785339+ - + =1.0928
3 5 7
sin x 3
8)写出函数e 的展开式至x 。根据1)
sinx 1 2 1 3 3
e =1+sin x+ sin x + sin x + o(sin x )
2 6
sinx 1 2 1 3 3
e =1+sin x+ sin x + sin x + o(x )
2 6
3 3
注:原来应写成o(sin x)，但由于x与sin x是等价无穷小，所以写成o(x )是完全一样的。
但依2)
1 3 4
sin x=x- x + o(x )
6
于是
sin x 1 3 1 2 1 3 3
e =1+(x- x )+ x + x + o(x )
6 2 6
3
含x 的项互相消去，故最后得
sin x 1 2 3
e =1+x+ x + o(x )
2
类似地
tg x 1 2 1 3 3
e =1+x+ x + x + o(x )
2 2
6
9)写出函数ln cos x的展开式至x 的项。根据5)
1 2 1 3 3
ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o((cos x-1) )
2 2
1 2 1 3 6
ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x )
2 2
2
注：因为1-cos x与x 同阶，见无穷小及无穷大的分级中的无穷小的尺度，
3 6
故o((cos x-1) )同时就是o(x )
在这时，由于3),
1 2 1 4 1 6 7
cos x-1=- x + x - x + o(x )
2 24 720
由此
1 2 1 4 1 6 1 1 4 1 6 1 1 6 6
ln cos x-1=(- x + x - x )- ( x - x )+ (- x )=o(x )
2 24 720 2 4 24 3 8
或在化简后
1 2 1 4 1 6 6
ln cos x-1=- x - x - x + o(x )
2 12 45
类似地
2 1 3 3 5 5
ln (x+ 1+x =x- x - x + o(x )
6 40
而
sin x 1 2 1 4 1 6 6
ln =- x - x - x + o(x )
x 6 180 2835
一切这些不直接利用戴劳公式而得出的展开式，当然也可以由戴劳公式求得，并且由于函数的这种展开式的唯一性，也就恰好有着同样的系数。
附注, 因为在这里所考察的函数在点x=0的邻域内都有着任何阶的导数，所以我们在公式
可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册
125.例题
若x =0，戴劳公式看来是最简单的：
0
注;这个公式也被冠以马克劳林公式的名字。
(n)f`(x ) f``(x ) f```(x ) f (x ) 0 0 2 0 3 0 n n
f(x)=f(x )+ x+ x + x +…+ (x-x ) +o(x ) (11)
0 1! 2! 3! n!
在取x-x 作为新的自变量之后，一般的戴劳公式总归可以化为这个特别情形的。
0
兹以例题的形式来考察某些初等函数依这公式的具体展开式。
1)设
x
f(x)=e ;
(k) x
则f (x)=e (k=1,2,3,…)
(k)
因为在这时f(0)=1,f （0）=1，故依公式（11）
0 0 2 0 (n)x 0 e x e x e x n
e =e + + +…+ + o(x )
1! 2! n!
2 (n)x x x x n
e =1+ + +…+ + o(x )
1! 2! n!
2)若f(x)=sin x，则
(k) π
f (x)=sin(x+k* )
2
(2m) (2m-1) π m-1
,于是f(0)=0,f (0)=sin mπ=0, f (0)=sin (mπ- )=(-1) (m=1,2,3…)
2
因此，在公式（11）内令n=2m，就有
21-1 22-1 23-1 2m-1
1-1 x 2-1 x 3-1 x m-1 x 2m
sin x= (-1) + (-1) + (-1) +…+(-1) +o(x )
(21-1)! (22-1)! (23-1)! (2m-1)!
3 2 2m-1
x x m-1 x 2m
sin x =x- + -…+ (-1) +o(x )
3! 5! (2m-1)!
3)类似的，在f(x)=cos x时：
(k) π
f (x)=cos(x+k* )
2
(2m) m (2m-1)
, f(0)=1,f (0)=（-1） , f (0)=0 (m=1,2,3…)
这样（若取n=2m+1),
21-1 22 23 2m
1 x 2 x 3 x m x 2m+1
cosx=1+ (-1) + (-1) + (-1) +…+(-1) +o(x )
(21)! (22)! (23)! (2m)!
2 4 2mx x m x 2m+1
cos x =1- + -…+ (-1) +o(x ) (13)
2! 4! (2m)!
m
4)今考察幂函数x , 此处m非自然数也非零。在这情形，当x→0时，或则函数本身（若m<0），或则它的导数（从某一个n>m阶开始）无限地增大。因此，在此处已不能取x =0.
m 0
取x =1，即依(x-1)的幂而展开x .
0
如前所述，我们可以把x-1当做新的变量，但若我们仍旧用x来记这新的变量，则问题就成
m
为依x的幂而展开函数（1+x） 了。我们知道任意阶导数的普遍公式116,2）, 详细内容见任意阶导数的普遍公式.
(k) m-k
f (x)=m(m-1)…(m-k+1)(1+x)
(k)
因此f(0)=1,f (0)=m(m-1)…(m-k+1)
展开式的形式就是
m m(m-1) 2 m(m-1)…(m-n+1) n n
(1+x) =1+mx+ x +…+ x +o(x )
12 12…n
特别情形，例如在n=2及m=-1,1/2,-1/2时，就有
1 2 2
=1-x+x +o(x )
1+x
1 1 2 2
1+x=1+ x- x +o(x )
2 8
1 1 3 2 2
=1+ x- x +o(x )
1+x 2 8
3
x
在这些展开式中，第一式很容易由初等方法得出；此处的余项实即
1+x
至于第二式及第三式就需要更长的计算。比较63无穷小和无穷大的分级中的主部的分出
5)若转而讨论对数函数ln x，它在x→+0时趋向于-∞，所以仿照前例，我们只能考察函数.
f(x)=ln(1+x)
并且依x的幂展开它。那时任意导数的普遍公式116,3)
k-1
(k) (-1) (k-1)!
f (x)=
k
(1+x)
(k) k-1
f(0)=0, f (0)=(-1) (k-1)!
注;记号0！我们永远理解为1
由此
2 3 n
x x n-1 x n
ln(1+x) =x- + -…+ (-1) +o(x )
2 3 n
6)今设f(x)=arc tg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m) (2m-1) m-1
f(x) (0)=0, f(x) (0)=(-1) (2m-2)!
根据戴劳公式（11），可得
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc tg x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
1-1 (2*1-2)! 0 2 2-1 (2*2-2)! 3 n-1 (2*n-1)! n n
arc tg x= arc tg 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+(-1) x + o(x )
1! 2! 3! n!
于是它的展开式可表示为
3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
arc tg x=x- + -…+ (-1) +o(x )
3 5 2m-1
6a)今设f(x)=arc ctg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4a)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m) (2m-1) m-1
f(x) (0)=0, （当2m为偶数时）f(x) (0)=(-1) (2m-2)!, （当2m-1为奇数时）
根据戴劳公式（11），可得
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc ctg x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
1 (2*1-2)! 0 2 2 (2*2-2)! 3 m-1 (2*m-1)! n n
arc ctg x= arcctg 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+(-1) x + o(x )
1! 2! 3! n!
于是它的展开式可表示为
3 5 2m-1
x x m x 2m
arcc tg x=-x+ - -…+ (-1) +o(x )
3 5 2m-1
6b)今设f(x)=arc sin x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m) (2m-1) m-1 2 2 2 m-1 2
f (0)=0, f (0)=(-1) 1 3 …(2m-1) =(-1) [(2m-1)!!]
于是它的展开式可表示为
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc sin x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
2 2 2
1-1 (21-1)!! 0 2 2-1 (22-1)!! 3 (2n-1)!! n n
arc sin x= arc sin 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+ x + o(x )
1! 2! 3! n!
2(2*1-1)!! 0 2 2!!* 2!! 3 (2*n-1)! n n
arc sin x= arc sin 0 - x+ x - x +…+ x + o(x )
1! 2! 2!! 3!! n!
于是它的展开式可表示为
3 5 2m-1
2!! x 4!!x m-1 (2m-2)!! x 2m
arc sin x=x- + -…+（-1） +o(x )
3!! 5!! (2m-1)!!
注note;5!!=135,6!!=246
6c)今设f(x)=arc cos x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5b)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m-1) (2m) m 2 2 2 m 2
f (0)=0, f (0)= (-1) 3 *5 …(2m-3) =(-1) [(2m-3)!!]
于是它的展开式可表示为
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc cos x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
2 2 0 (2*1-1)!! 2 0 3 (2*n-1)!! n n
arc cos x= arc cos 0 + x+ x + x +…+ x + o(x )
1! 2! 3! n!
2 20 (2*1-1)!! 2 0 3 3!!3!! 4 (2*n-1)! n n
arc cos x= arc cos 0 + x- x + x - x +…+ x + o(x )
1! 2! 3!! 3!!4!! n!
于是它的展开式可表示为
2 3 5 2mx 3!! x 5!!x m (2m-1)!! x
arc cos x=1- + - -…+（-1） +o(x )
2!! 4!! 6!! (2m)!!
注note;5!!=135,6!!=246
7)对于函数f(x)=tg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为
2 2
1 2sin x 1+2sin x Ⅳ 2+2sin x
f`(x)= , f(x)= , f(x)=2* , f (x)=8sin x
2 2 4 5
cos x cos x cos x cos x
Ⅳ
故f(0)=0,f`(0)=1,f``(0)=0,f```(0)=2,f (0)=0,
根据戴劳公式（120a）
3
x 4
tg x=x+ +o(x )或
3
3 5 7 2m-12x 4x 6x m-1 (2m) x n
tg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (-π/2<x<π/2)
3 5 7 2m-1
例如
tg π/4=1
3
0.785339
tg 0.785339=0.785339+ =1.0928
3
例如
tg π/4=1
3 5 7
20.785339 40.785339 60.785339
tg 0.785339=0.785339+ - + =1.0928
3 5 7
利用已知的展开式，就已经可以不用求导数而直接写出较繁复的函数的展开式。例如，前一公式就可以从sin x及cos x的展开式而求得。举几个新的例子，在这时一切x的幂值到指定的幂包括在内为止，我们都要精确计算出来，而更高级的幂（没有写出来的）自然是包括在余项内。
7a)对于函数f(x)=ctg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为
2 2
1 2cos x 1+2cos x Ⅳ 2+2cos x
f`(x)=- , f(x)=- , f(x)=-2 , f (x)=-8cos x
2 2 4 5
sin x sin x sin x sin x
Ⅳ
故f(π/2)=1,f`(π/2)=-1,f``(π/2)=0,f```(π/2)=-2,f (π/2)=0,
根据戴劳公式(120a)
3x 4
ctg x=x- +o(x )或
3
3 5 7 2m-12x 4x 6x m-1 (2m) x n
ctg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (0<x<π)
3 5 7 2m-1
例如
ctg π/4=1
3
0.785339 3
ctg 0.785339=0.785339- (0.78533-1.75) =0.93027
3
例如
ctg π/4=1
3 5 7
20.785339 40.785339 6*0.785339
ctg 0.785339=0.785339+ - + =1.0928
3 5 7
sin x 3
8)写出函数e 的展开式至x 。根据1)
sinx 1 2 1 3 3
e =1+sin x+ sin x + sin x + o(sin x )
2 6
sinx 1 2 1 3 3
e =1+sin x+ sin x + sin x + o(x )
2 6
3 3
注:原来应写成o(sin x)，但由于x与sin x是等价无穷小，所以写成o(x )是完全一样的。
但依2)
1 3 4
sin x=x- x + o(x )
6
于是
sin x 1 3 1 2 1 3 3
e =1+(x- x )+ x + x + o(x )
6 2 6
3
含x 的项互相消去，故最后得
sin x 1 2 3
e =1+x+ x + o(x )
2
类似地
tg x 1 2 1 3 3
e =1+x+ x + x + o(x )
2 2
6
9)写出函数ln cos x的展开式至x 的项。根据5)
1 2 1 3 3
ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o((cos x-1) )
2 2
1 2 1 3 6
ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x )
2 2
2
注：因为1-cos x与x 同阶，见无穷小及无穷大的分级中的无穷小的尺度，
3 6
故o((cos x-1) )同时就是o(x )
在这时，由于3),
1 2 1 4 1 6 7
cos x-1=- x + x - x + o(x )
2 24 720
由此
1 2 1 4 1 6 1 1 4 1 6 1 1 6 6
ln cos x-1=(- x + x - x )- ( x - x )+ (- x )=o(x )
2 24 720 2 4 24 3 8
或在化简后
1 2 1 4 1 6 6
ln cos x-1=- x - x - x + o(x )
2 12 45
类似地
2 1 3 3 5 5
ln (x+ 1+x =x- x - x + o(x )
6 40
而
sin x 1 2 1 4 1 6 6
ln =- x - x - x + o(x )
x 6 180 2835
一切这些不直接利用戴劳公式而得出的展开式，当然也可以由戴劳公式求得，并且由于函数的这种展开式的唯一性，也就恰好有着同样的系数。
附注, 因为在这里所考察的函数在点x=0的邻域内都有着任何阶的导数，所以我们在公式（11）内对于n的选取不受拘束，就是可以继续展开这些函数直至x的任意次幂。
推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译
3-21.反三角函数的导数
2
1.设y=arcsinx,则y`=1/ 1-x
2
(arcsinx)`=1/ 1-x 3.30
证明：函数y=arcsinx是多值函数， 但如果我们只限于在-π/2到π/2之间取其值，即
-π/2 ≤arcsinx≤ π/2
则在此条件下，y=arcsinx将变为单值函数了。且这种函数叫做arcsinx的主值，并写作y=arcsinx, 其几何意义则为在函数y=arcsinx的图形上（图3-21）只限于取点M1与M2间的一部分曲线。因为函数y=arcsinx与x=siny互为反函数，所以有y =1/x
x y
故 y` =1/cosy
x
但,
2 2
cosy= 1-sin y = 1-x
于是得
2
y` =1/ 1-x
或者
2
d(arc sinx)=1/ 1-x
这就是所要证明的, 上式中根号前的符号，我们所以选取正号，是因为按条件y满足不等式：
-π/2 ≤y≤ π/2
而这就是说，cosy是正的量
例1.设y=xarcsinx,试求y`
我们有
2
y`=arcsinx+x/ 1-x
例2.设y=arcsin√x,试求y`
设把√x看作u，则有
1 1 1
y= (√x)= =
2 2
1-(√x) 2 1-x√x 2 x-x
2.设y=arccos,则
-1
y`=
2
1-x
即
-1
(arccosx)`= 3.31
2
1-x
证明，函数y=arccosx为多值函数。如果我们只限于取arccosx在0与π之间的值，即
0≤arccosx≤π
则在此条件下，我们便获得单值函数，
而这个单值函数就叫做函数y=arccosx的主值，并记为
y=arccosx (图3-22)
在几何上来看，就是我们只限于取点M1与M2之间的一部分曲线，
因为函数y=arccosx与x=cosy互为反函数，所以
y =1/x x y 然而又因为 x =-siny
y
故y =-1/siny
x
但
2 2
siny= 1-cos y = 1-x
于是，得
-1
y` =
x 2
1-x
或者
于是，得
d -1
(arccosx)=
dx 2
1-x
这就是所要证明的。上式中根号前的符号所以选取为正号，是因为y满足不等式:0≤y≤π，
而这就是说,siny是正的能量。
3.设y=arctgx,则
2
y=(arctgx)=1/(1+x )
证明.函数y=arctgx是多值函数，为了使它变为单值函数，
我们只限于取arctgx在-π/2到π/2之间的值，即-π/2≤arctgx≤π/2
在此条件下，我们便获取单值函数，而这个函数就叫做arctgx的主值，并且记为
y=arctgx (图3-23)
在几何上，就是我们只限于取y=-π/2到π/2之间的一部分图形。
因为函数y=arctgx与x=tgy互为反函数， 所以
y =1/x
x y
2
然而又因为x =1/cos y y 故 2 y =cos y
x
但
2 2
cos y=1/(1+tg y)=1/(1+x )
于是，得
2
y`=1/(1+x )
或者
2
d(arc tgx)/dx=1/(1+x )
这就是所要证明的
例1.设y=arctg(3x+x)，试求y 2 2 y=3/[1+(3x+2) ]=3/9x +12x+5
例2.设y=ln(arctgx)，试求y 设把arctgx看作u，则得 2 y=(arctgx)/arctgx=1/(1+x )arctgx 例3.设f(x)=arctg4x，试求f(0)
我们有
2
f(x)=4/(1+16x ) 于是, f(0)=4/(1+16*0)=4
第三部分古今算学丛书假数测圆
推导过程可参见《古今算学丛书，割圆密率捷法》，清光绪戊戌六月算学书局印成，1898年刘铎整理，
圆周率π=3.141592653589793238462643186367472279514（小于71519），
推导过程参见《古今算学丛书，假数测圆》清光绪戊戌六月算学书局印成，清咸丰壬子年，湖北人戴煦识，夏鸾翔编写，1898年刘铎整理，
以本弧弧分径，求四十五度以内正割对数。
术曰：先求各率分子，为递次乘法，以二为数根，即为第一乘法，置前数根，加二得四，为数根，置前乘法，四五递乘之，一二递除之，得二十，为初减数，以数根减初减数，得十六，为第二乘法，置前数根，加二，得六，为数根，置前初减数，六七递乘之，三四递除之，得七十，为初减数，置前乘法六七，递乘之，一二递除之，得三百三十六，为次减数，以数根减初减数，得六十四，再减次减数，得二百七十二为第三乘法，置前数根加二，得八，为数根，置前初减八九递乘之，五六递除之，得一百六十八，为初减数，置前次减八九递乘之，三四递除之，得二千零十六，为次减数，置前乘法八九递乘之，一二递除之，得九千七百九十二，为三减数，以数根减初减，得一百六十，再减次减，得一千八百五十六，再减三，减得七千九百三十六，为第四乘法，凡数根均起各偶数，其求各减数，则用偶奇二数，乘而逐次，乘法递加，如第二乘法，用四五乘，第三乘法用六七乘，再用奇偶二数，除而，挨次减数递降，如第三乘法，初减用三四除，次减用一二除，乘法将一位，则多一减，如是递求得各率分子，即为递次乘法。
根据以上描述，推导出
第一乘法 二 2 S =2
1
2*4*5
第二乘法 一六 -22=16 S =16
12 2
20
16*6*7 20*6*7
第三乘法 二七二 - +23=272 S =272
12 3*4 3
336 70
272*8*9 336*8*9 70*8*9
第四乘法 七九三六 - + -24=7936 S =272
12 34 56 4
9792 2016 168
7936*10*11 9792*10*11 2016*10*11 168*10*11
第五乘法 三五三七九二 - + - +25= 353792
12 34 56 7*8
436480 89760 7392 330 10
S =353792 5
第六乘法 三五三七九二
3537921213 4364801213 897601213 73921213 3301213
- + - + -26=22368256
12 34 56 78 910
27595776 5674240 466752 20592 572 12
S = 223682566
第七乘法 一九零三七五七三零零
第八乘法 二零九八六五三零零零零零
第九乘法 二九零八八八九零零零零零零零
第十乘法 四九五一五零零零零零零零零零零零
第十一乘法 一零一五四二零零零零零零零零零零零零零
第十二乘法 一零一五四二零零零零零零零零零零零零零
第十三乘法 七零二五二零零零零零零零零零零零零零零零零零零
第十四乘法 二三一二零零零零零零零零零零零零零零零零零零零零零零
把上面的计算过程，用数学归纳法，得到下面的公式
S *(2n-2)(2n-1) S *(2n-4)(2n-3)n-2 n-3 S *2n(2n+1) *2n(2n+1) *2n(2n+1) n-1 1*2 1*2
S = - + …-2
n 12 34 5*6
对数的计算, lg0.98=(1-0.98)0.434294482,
a 对数根 0.434294482 a=0.434294482
b 第一数 (1-0.98)0.434294482=0.00868588964 b=(1-N)a
c 第二数 0.008685889640.02/2=0.00008685890 c=b(1-N)/2
d 第三数 0.000086858900.022/3=0.00000115812 d=c*(1-N)2/3
e 第四数 0.000001158120.023/4=0.00000001737 e=d.(1-N)3/4
f 九率 0.0000000173780.024/5=0.00000000028 f=e(1-N)*4/5
lg0.98=-0.00868588964-0.00008685890-0.00000115812-0.00000001737-0.00000000028=-0.00877392431,
lg98=2-lg0.98=2-0.00877392431=1.99122607569,
当N<1时
2 3 4 5
(1-N) (1-N) 2 (1-N) 2 3 (1-N) 2 3 4
lgN=0.434294482[(1-N)+ + + +
2 2 3 2 3 4 2 3 4 5
n (1-N) 2 5 4 n-1
+…+ … ]
2 3 4 5 n
m
当N>1时，且N/10 <1,
m 2 m 3 m n (1-N/10 ) (1-N/10 ) 2 (1-N/10 ) 2 3 4 n-1
lgN=0.434294482[m-[ + +…+ … ]]
2 2 3 2 3 4 5 n
因为, 可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第二卷第二分册,
398.对数的计算,
lgn
ln n=
lge
所以,
lgsecθ
lnsecθ=
lge
e=2.71828182846, lge=0.4342944819,
lgN
lnN=
0.4342944819
当N<1时
2 3 4 5
(1-N) (1-N) 2 (1-N) 2 3 (1-N) 2 3 4
lnN= (1-N)+ + + +
2 2 3 2 3 4 2 3 4 5
n (1-N) 2 5 4 n-1
+…+ … ]
2 3 4 5 n
m
当N>1时，且N/10 <1,
m 2 m 3 m n (1-N/10 ) (1-N/10 ) 2 (1-N/10 ) 2 3 4 n-1
lnN=m-[ + +…+ … ]
2 2 3 2 3 4 5 n
正割对数的计算公式
法检弧线表，得四十五度，弧分单位下，七八五三九八一六三四零为二率，自乘，得单位下六一六八五零二七五零七二，为三率，以对数根，单位下四三四二九四四八一九零三乘之，二除之，得零一三三九四七三三五三一，为第一数正，次置第一数，以三率乘之，得五率，三除之，四除之，得连单位三零下六八八五四五四二一九二六，为七率，用数第一乘法，二乘之，得一三七七零九零八四四，为第二数正，次置七率，用数以三率乘之，得七七六三八，为九率，用数第二乘法，一六乘之，得二二六五二二三六四，为第三数正，次置九率，用数以三率乘之，得九率，七除之，八除之，得连单位六零下一五五九四九零八七八二，为十一率，用数第三乘法二七二乘之，得四二四一八一五二，为第四数正，次置十一率，用数以三率乘之，得十一率，九除之，十除之，得连单位八零下一零六八八五八一九七，为十三率，用数第四乘法七九三六乘之，得八四八二四五九，为第五数正，次置十三率，用数以三率乘之，得十三率，十一除之，十二除之，得连单位十一零下四九九四八八九九五，为十五率，用数第五乘法三五三七九二乘之，得一七六七一五二，为第六数正，次置十五率，用数以三率乘之，得十五率十三除之，十四除之，得连单位十三零下一六九二九一一七，为十七率，用数第六乘法二二三六八二五六乘之，得三七八六七五，为第七数正。次置十七率，用数以三率乘之，得十七率，十五除之，十六除之，得连单位十六零下四三五一一三七七，为十九率，用数第七乘法一九零三七五七三下连单位二零乘之，得八二八三五，为第八数正，次置十九率用数以三率乘之，得十九率，十七除之，十八除之，得连单位十九零下八七七一二四三，为二十一率，用数第八乘法二零九八六五三下，连单位五零乘之，得一八四零八，为第九数正，次置二十一率，用数以三率乘之，得一八四零八，为第九数正，次置二十一率，用数以三率乘之，得二十一率，十九除之，二十除之，得连单位二十一零下一四二三八二七，为二十三率，用数第九乘法二九零八八八九下，连单位七零乘之，得四一四二，为第十数正，次置二十三率，用数以三率乘之，得二十三率，二十一除之，二十二除之，得连单位二十四零下一九零一零五，为二十五率，用数第十乘法四九五一五零下，连单位十零，乘之，得九四一，为第十一数正，次置二十五率，用数以三率乘之，得二十五率，二十三除之，二十四除之，得连单位二十七零下二一二四四，为二十七率，用数第十一乘法一零一五四二下，连单位十三零乘之，得二一六，为第十二数正，次置二十七率，用数以三率乘之，得二十七率，二十五除之二十六，除之，得连单位三十零下二零一六零，为二十九率，用数第十二乘法二四六九二下连单位十六零，乘之，得五零，为第十三数正，次置二十九率，用数以三率乘之，得二十九率，二十七除之，二十八除之，得连单位三十三零下一六四五，为三十一率，用数第十三乘法，七零二五二下连单位十八零乘之，得一十二，为十四数正，次置三十一率，用数以三率乘之，得三十一率，二十九除之，三十除之，得连单位三十六零下一一七第十四，乘法二三一二下连单位二十一零乘之，得三，为第十五数正，乃以诸正数相并，得零一五零五一四九九七八四，以半径一百亿系十一位乃于首位加一零，尾位未满五弃之，得一零一五零五一四九九七八，为四十五度正割对数也。
余切对数求法
lgsec44°+10=10.1430659099,
lgsec44°+20=20.1430659099,
lgcsc44°+10=10.1582287268,
lgtg44°=lgsec44°+20-lgcsc44°-10-10=20.1430659099-10.1582287268-10=9.9848371831-10=-0.015162817,
lgctg44°=lgcsc44°+20-lgsec44°-10-10=20.1582287268-10.1430659099-10=0.01516282,
lgctgθ=lgcscθ-lgsecθ,
lgctg44°=lgcsc44°-lgsec44°=-0.1431+0.1582=0.0151,
lgtgθ=lgsecθ-lgcscθ,
lgctgθ=lgcscθ-lgsecθ,
lntgθ=lnsecθ-lncscθ,
lnctgθ=lncscθ-lnsecθ,
正弦对数求法
lgcsc44°+10=10.1582287269,
lgsin44°=20-lgcsc44°-10-10=9.8417712731-10=-0.158287269,
lgsinθ=-lgcscθ,
lgcosθ=-lgsecθ,
lnsinθ=-lncscθ,
lncosθ=-lnsecθ,
正矢对数求法
44°/2=22°,
45°-22°=23°,
lg2+3=3.03010299956,
2*[(lgcsc22°)/10+1]=21.04264245830=2.08528491660,
lgversin44°=[lg2+3-2[(lgcsc22°)/10+1]-1]10=(3.03010299956-2.08528491660-1)10=(0.94481808296-1)10=-0.5518190172,
lgversin44°=lg(1-cos44°)=lg0.28066=-0.551819479,
lgversinθ=[lg2+3-2[lgcsc(θ/2)]/10+1]-1]10,
2[(lgcsc23°)/2+1]=1.040812198842=2.08162439768,
lgvercos44°=2[(lgcsc23°)/2+1]-[lg2+3-2*[(lgcsc22°)/10+1]]10-10=2.08162439768-9.4481808296-10=9.4847860188-10=-0.515213982,
lgvercosθ=2[(lgcsc(90°-θ))/2+1]-[lg2+3-2*[(lgcscθ/2)/10+1]]10-10,
正大矢对数求法
44°/2=22°,
45°-22°=23°,
lg2+3=3.03010299956,
2[(lgcsc22°)/10+1]=21.00328341395=2.00656682790,
lgvercos23°=10[lg2+3-2*[(lgcsc22°)/10+1]-10]-1=[3.03010299956-2.00656662790-10]10-1=1.0235361716610-1=0.2353617166
lgvercosθ=10*[lg2+3-2*[(lgcsc(45°-θ)/10)+1]-10]-1
2*[(lgsec23°)/10+1]=1.003597391732=2.00719478346,
lgvercos22°=lg2+3-2[(lgcsc23°)/10+1]-10=3.03010299956-2.00719478346-10=1.02290821610
正割对数计算公式
对数根0.434294481903，
a 二率 θ=0.78539816340 a=θ
2 2
b 三率 θ =0.785398163400.78539816340=0.616850275072 b=θ
c 第一数正 0.6168502750720.434294481903/2=0.13394733531 c=0.434294481903b/2
d 七率 0.133947335310.616850275072/34=0.00688545421926 d=cb/34
e第二数正 0.006885454219262=0.01377090844 e=2d
f 九率 0.006885454219260.616850275072/56=0.00014157648 f=bd/56
g第三数正0.0001415764816=0.00226522364 g=f16
h第十一率0.000141576480.616850275072/78=0.00000155949 h=bf/78
i第四数正0.00000155949272=0.0004218153 i=272h
j第十三率0.000001559490.616850275072/910=0.00000001069 j=bh/910
k第五数正0.000000010697936=0.00008482454 k=7936j
m第十五率0.000000010690.616850275072/1112=0.0000000000499488995 m=bj/11812
n第六数正0.0000000000499488995353792=0.00001767152 n=353792m
o第十七率0.00000000004994889950.616850275072/1314=169291167E13 o=bm/1314
p第七数正169291167E1322368256=378674816E6 p=22368256o
q第十九率169291167E130.616850275072/1516=43511377E15 q=bo/1516
s第八数正43511377E151903757300=8283E5 s=1903757300q
t第二十一率43511377E150.616850275072/1718=877124343196E18 t=bq/1718
u第九数正877124343196E18209865300000=184077963212E6 u=209865300000t
当45°≥θ>0°时
2 2 2
0.434294481903θ 0.434294481903θ θ 2
lgsecθ= + +
2 2 1 34
2 2 2 2 S 0.434294481903θ θ 2 θ 16 0.434294481903θ n +...+2 1 3*4 1 5*6 2 (n+1)(n+2)...*2n 2 4 6 8 θ θ 2 θ 2 16 θ 2 16 272
lgsecθ=0.434294481903（ + + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78
10 2n S
θ 2 16 272 7936 θ n
+…+ ）2 34 56 78 910 2 (n+1)(n+2)…*2n
上式中，
S *(2n-2)(2n-1) S (2n-2)(2n-1)
n-2 n-3
S 2n(2n+1) 2n(2n+1) 2n(2n+1)
n-1 12
S = - + …-2
n 12 34 56
lgsec45°=lgsec0.78539816340=0.13394733531+0.01377090844+0.00226522364+0.0004218153+0.00008482454=0.15049010723，
当67.5°≥θ>45°时
lgsecθ=lgsec(2θ-90°)-lgsec(90°-θ)+lg2,
当78.75°>θ≥67.5°时
lgsecθ=lgsec[2(2θ-90°)-90°]-lgsec2(90°-θ)-lgsec(90°-θ)+2lg2,
当84.375°>θ≥78.75°时
lgsecθ=lgsec[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-lgsec4(90°-θ)-lgsec2(90°-θ)-lgsec(90°-θ)+3lg2,
当85.375°>θ≥84.375°时
lgsecθ=lgsec[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-lgsec6(90°-θ)-lgsec4(90°-θ)-lgsec2(90°-θ)-lgsec(90°-θ)+4lg2,
当86.375°>θ≥85.375°时,
lgsecθ=lgsec[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-lgsec8(90°-θ)-lgsec6(90°-θ)-lgsec4(90°-θ)-lgsec2(90°-θ)-lgsec(90°-θ)+5lg2,
当87.375°>θ≥86.375°时,
lgsecθ=lgsec[2[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-lgsec8(90°-θ)-lgsec8(90°-θ)-lgsec6(90°-θ)-lgsec4(90°-θ)-lgsec2(90°-θ)-lgsec(90°-θ)+6lg2,
当88.375°>θ≥87.375°时,
lgsecθ=lgsec[2[2[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-lgsec12(90°-θ)-lgsec10(90°-θ)-lgsec8(90°-θ)-lgsec6(90°-θ)-lgsec4(90°-θ)-lgsec2(90°-θ)-lgsec(90°-θ)+7lg2,
因为, 可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第二卷第二分册,
398.对数的计算,
lgn
ln n=
lge
所以,
lgsecθ
lnsecθ=
lge
e=2.71828182846, lge=0.4342944819,
lgsecθ
lnsecθ=
0.4342944819
所以，当45°≥θ>0°时
2 4 6 8 θ θ 2 θ 2 16 θ 2 16 272
lnsecθ= + + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78
10 2n S θ 2 16 272 7936 θ n
+…+ 2 3*4 5*6 7*8 9*10 2 (n+1)(n+2)...*2n
上式中，
S *(2n-2)(2n-1) S *(2n-2)(2n-1) n-2 n-3S *2n(2n+1) *2n(2n+1) *2n(2n+1) n-1 1*2
S = - + …-2
n 12 34 5*6
当67.5°≥θ>45°时
lnsecθ=lnsec(2θ-90°)-lnsec(90°-θ)+ln2,
当78.75°>θ≥67.5°时
lnsecθ=lnsec[2(2θ-90°)-90°]-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+2ln2,
当84.375°>θ≥78.75°时
lnsecθ=lnsec[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+3ln2,
当85.375°>θ≥84.375°时
lnsecθ=lnsec[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+4ln2,
当86.375°>θ≥85.375°时,
lnsecθ=lnsec[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+5ln2,
当87.375°>θ≥86.375°时,
lnsecθ=lnsec[2[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec8(90°-θ)-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+6ln2,
当88.375°>θ≥87.375°时,
lnsecθ=lnsec[2[2[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec12(90°-θ)-lnsec10(90°-θ)-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+7ln2,
例如：
lgsec2°+10=10.0002646411，
lgsec2°+20=20.0002646411，
lgsec44°+10=10.1430659099，
lg2=0.301029995，
lgsec44°+10-lg2=10.1430659099-0.301029995=9.842035904，
lgsec46°=lgsec2°+10+10-lgsec44°-10-lg2-10=20.0002646411-9.842035904-10=10.15822874-10=0.15822874，
lnsecθ=lnsec(2θ-90°)-lnsec(90°-θ)+lg2，
例如：
lgsec4°+10=10.00010592102，
lgsec4°+20=20.00010592102，
lgsec43°+10=10.1358725362，
lg2=0.301029995，
lgsec43°+10-lg2=10.1358725362-0.301029995=9.8348425406，
lgsec47°=lgsec4°+10+10-lgsec43°-10+lg2-10=20.00010592102-9.8348425406-10=10.1662166696-10=0.1662166696，
lnsecθ=lnsec(2θ-90°)-lnsec(90°-θ)+lg2
0.00011-0.1359+0.301029995
lnsecθ=lnsec(2θ-90°)-lnsec(90°-θ)+lg2，
例如：
lnsec67°=lnsec(267°-90°)-lnsec(90°-67°)-lg2
=lnsec44°-lnsec23°+lg2
因为，
lnsinθ=-lncscθ，
lncosθ=-lnsecθ，
lnsec67°=-lncos44°+lncos23°+lg2
=0.1431-0.036+0.301029995=-0.408129995
例如：
lgsec68°=lgsec(268°-90°)-lg(90°-68°)+lg2
=lgsec46°-lgsec22°+lg2
lgsec68°=lgsec(246°-90°)-lgsec(90°-46°)+lg2-lgsec22°+lg2
=lgsec2°-lgsec44°+lg2-lgsec22°+lg2
=0.30003-0.1431-0.0328+0.301029995
=0.42519995
例如：
lgsec79°=lgsec(279°-90°)-lg(90°-79°)+lg2
=lgsec68°-lgsec11°+lg2
lgsec68°=lgsec(246°-90°)-lgsec(90°-46°)+lg2-lgsec22°+lg2
=lgsec2°-lgsec44°+lg2-lgsec22°+lg2
=0.30003-0.1431-0.0328+0.301029995
=0.42519995
lgsec79°=lgsec(279°-90°)-lg(90°-79°)+lg2
=lgsec68°-lgsec11°+lg2
=0.42519995-0.00081+0.301029995
. =0.725419495
例如：
lgsec85°=lgsec(285°-90°)-lg(90°-85°)+lg2
=lgsec80°-lgsec5°+lg2
lgsec80°=lgsec(280°-90°)-lg(90°-80°)+lg2
=lgsec70°-lgsec10°+lg2
lgsec70°=lgsec(270°-90°)-lg(90°-70°)+lg2
=lgsec50°-lgsec20°+lg2
lgsec50°=lgsec(250°-90°)-lg(90°-50°)+lg2
=lgsec10°-lgsec40°+lg2
推导过程可参见《对数表新编》冯度编开明书店出版1935年版
logcosα计算公式，当88°<α<90°时，
如果88°≤α<90°，根据《对数表新编》中的S,T公式，判断余弦对数值，
log cosα=log (90°-α)+S， log cotα=log (90°-α)+T，
上式中，
90°-α=MN°WST``， (90°-α)``=3600*MN+60*WS+T， log (90°-α``)/1000=lgA.BC， 如果0≤(90°-α``)<7267， 那么，log cosα=log (90°-α``)/1000+3+4.68553， =lg A.BC+3+4.68553， 计算log cosα时，首先计算log(90°-α``)/1000,再加上3，最后加上4.68553，这样得到的数后面附加-10，给这个数减去10，就是log sinα的值， 例如: log cos88°2641.2=log5598.8+4.68553≈3.74809+4.68553 - 10 ≈8.43362 - 10 ≈-1.56639， log cos88°26`41.2=log5591.87+4.68553≈3.7462+4.68553 - 10 ≈8.43173 - 10 ≈-1.56827，
0.02714510000=271.4520.6=5591.87，
90°-88°2641.2``=1°3318.8``=0.027145，
第四部分导数的定义
推导过程可参见1992年版《高等数学》，盛祥耀主编，高等教育出版社出版
三 导数的几何意义
根据导数定义及曲线的切线的斜率的求法，我们可以知道，
函数y=f(x)在点x 处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点(x ,f(x ))处的切线的斜率，如图2-2，即
tga=f`(x )
0
由此可知曲线y=f(x)上点P 处的切线方程为
0
y-y =f`(x )(x-x )
0 0 0
法线方程为
-1
y-y = (x-x )(f(x )≠0） 0 f(x ) 0 0
0
积分表
kdx=kx+C
μ 1 μ-1
x dx= x +C (μ≠-1)
μ+1
dx/x=ln│x│+C
x x a dx=a /lna+C
当a=e时，
x x e dx=e +Ccosxdx=sinx +Csinxdx=-cosx +C2 sec xdx=tgx +C2 csc xdx=-ctgx +Csecxtgxdx=secx +Ccscxctgxdx=-cscx +Cdx =arcsinx+C=-arccosx +C 2
1-x
dx =arctgx+C=-arcctgx +C2
1-x
shxdx=chx +Cchxdx=shx +Cm m+1 x dx=x /(m+1)+Cdx/x= d(-x)/(-x)=log│x│+cx x a dx=a /log a +ccosxdx=sinx +Csinxdx=-cosx +C2 dx/cos x=tan x +c2 ±arc sinx+c dx/ 1-x ={±arc cosx+c2 dx/ (x +1) =arc tanx+cchxdx=shx+cshxdx=chx+c2 dx/ch x=thx+c2 dx/ x -1 =±argchx+c2 dx/(1-x )=±argthx+c
积分计算过程
根据下面的公式，tga=y=f(x)=u(x)=y/x，a=arctgy， 3 5 2n+1 f (x) f (x) n f (x) 2n+2
a=f`(x)- + -…+(-1) +o(x )
3 5 2n+1
2 5 6 2ma a a m a 2m+1
f(x)=-lncosa+C=-ln[1- + - -…+(-1) +o(a )]+C
2! 4! 6! (2m)!
1 2 1 3 6
f(x)=lnseca+C=(sec a-1)- (sec x-1) + (sec x-1) +o(a )
2 3
2 4 6 a a a 6
f(x)=-lncosa+C= + + +o(a )
2 12 45
kdx=kx+C
2 4 6 a a a 6
f(x)=-lncosa+C= + + +o(a )
2 12 45
3 5 2n+1x x n x 2n+2
arc tg x=x- + -…+(-1) +o(x )
3 5 2n+1
a=arctgy`,上式中,
3 5 2n+1
k k n k 2n+2
a=k- + -…+(-1) +o(x )
3 5 2n+1
3 5 2n+1 1 k k n k 2n+2
f(x)=-lncosa+C= [k- + -…+(-1) +o(a ) ]
2 3 5 2n+1
3 5 2n+1 1 k k n k 2n+2
[k- + -…+(-1) +o(a ) ]12 3 5 2n+1 3 5 2n+1 1 k k n k 2n+2[k- + -…+(-1) +o(a ) ]45 3 5 2n+1 =kx2
csc xdx=-ctgx+C=f(x)
2 4 6 a a a 6
f(x)=-lncosa+C= + + +o(a )
2 12 45
3 5 2n+1x x n x 2n+2
arc tg x=x- + -…+(-1) +o(x )
3 5 2n+1
a=arctgy`,上式中,
2 3 2 5 2 2n+12 (csx x) (csx x) n (csx x) 2n+2
a=(csx x)- + -…+(-1) +o(x )
3 5 2n+1
2 3 2 5 2 2n+1 1 2 (csx x) (csx x) n (csx x) 2n+2
f(x)=-lncosa+C= [(csx x)- + -…+(-1) +o(a ) ]
2 3 5 2n+1
2 3 2 5 2 2n+1 1 2 (csx x) (csx x) n (csx x) 2n+2
[(csx x)- + -…+(-1) +o(a ) ]12 3 5 2n+1 2 3 2 5 2 2n+1 1 2 (csx x) (csx x) n (csx x) 2n+2[(csx x)- + -…+(-1) +o(a ) ]45 3 5 2n+1 =-ctgx
shxdx=chx +C
2 4 6 a a a 6
f(x)=-lncosa+C= + + +o(a )
2 12 45
上式中
3 5 2 2n+1
sh x sh x n sh x 2n+2
a=sh x- + -…+(-1) +o(x )
3 5 2n+1
3 5 2n+1 1 sh x sh x n sh x 2n+2
f(x)=-lncosa+C= [shx- + -…+(-1) +o(a ) ]
2 3 5 2n+1
3 5 2n+1 1 sh x sh x n sh x 2n+2
[shx- + -…+(-1) +o(a ) ]12 3 5 2n+1 3 5 2n+1 1 sh x sh x n sh x 2n+2[shx- + -…+(-1) +o(a ) ]45 3 5 2n+1 =chx
例1.
3 2
(4x -2x -5x-3)dx
3 2
=4 x dx- 2x dx+ 5xdx- 3dx
4 3 2x x x
=4 -2 +5 -3x+C
4 3 2
3 2 2x 5x
=x- + -3x+C
3 3
3 2
(4x -2x -5x-3)dx
2 4 6 a a a 6
f(x)=-lncosa+C= + + +o(a )
2 12 45
上式中
3 2 3 3 2 5 3 2 2n+1
3 2 (4x -2x -5x-3) (4x -2x -5x-3) n (4x -2x -5x-3) 2n+2
a=(4x -2x -5x-3)- + -…+(-1) +o(a ) ]
3 5 2n+1
导数公式表
©`=0,
a a-1
(x )`=ax
x x
(a )`=a lna
x x
(e )`=e
(log x)`=1/xlna
a
(lnx)=1/x (sinx)=cosx
(cos)=-sinx 2 (tgx)=sec x
2
(ctgx)=-csc x (secx)=secxtgx,
(cscx)`=-cscxctgx,
1
(arcsinx)`= 2
1-x
-1
(arccosx)= 2 1-x 1 (arctgx)= 2
1+x
-1
(arcctgx)`= 2
1+x
x x x
(a )`=a lga =a /log e
a
(log x)`=log e/x=1/(xlog a)
a a
(lg x)=1/x 2 (arc cosx)=-ε/ 1-x ε=±1,其号与siny之号同
2
(arc sinx)`=ε/ 1-x ε=±1,其号与cosy之号同
2
(arc tanx)`=1/ (1+x )
(u+v+w)=u+v+w (u,v,w,表x之函数而有引数u,v,w者 (uvw)=u/u+v/v+w/w 2 (u/v)=[(vu-uv)/v ]
v v v-1
u =u vlog u+vu u
x=φ(y) [x=φ(y)表y=f(x)之反函数，而y有引数f(x)=0] x=φ(y) =1/f(x)
[备考]——三角函数cotx=cosx/sinx,secx=1/cosx,cscx=1/sinx,versx=1-cosx,covsx=1-sinx等或为两函数之商，或为两函数之和，
导数计算过程
因为，tga=y=f(x)=u(x)，
3
arctg (y/x)
y=u(x)=t=arctg(y/x)+ 3 a (x )=ax,
3 a
a arctg (x /x) a-1
y=u(x)=t=arctg(x /x)+ =ax 3 (log x)=1/xlna
a
3 arctg (log x/x) a
y`=arctg(log x/x)+ =1/xlna
a 3
4 x
例3.设f(x)=3x -e +5cosx-1,求f(x)及f(0)
4 4
解:根据理论1可得(3x )=3(x ),(5cosx)=5(cosx),
又,
4 3 x x
(x )=4x ,(cosx)=-sinx,(e )=e (1)=0,
故,
4 x
f(x)=(3x -e +5cosx-1)
4 x
=(3x )-(e )+(5cosx)-(1)`
3 x
=12x -e -5sinx
3 x
f`(0)=(12x -e -5sinx) =-1
x=0
4 x 4 x arctg[(3x -e +5cosx-1)/x] 3 x
y`=arctg[(3x -e +5cosx-1)/x]+ =12x -e -5sinx
3
第五部分数学拾遗
推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰，收录于《白芙堂算学丛书》
半径甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，甲己，己甲丙角，己丙弧，正弦己庚，辛甲，正矢丙庚，正切壬丙，正割壬甲，余弦己辛，庚甲，余矢乙辛，余切葵乙，余割葵甲，己甲乙角，己乙弧，正弦己辛，庚甲，正矢乙辛，正切葵乙，正割葵甲，余弦己庚，辛甲，余矢丙庚，余切壬丙，余割壬甲，圆中心之直线为径，如乙丁，如丙戊，皆全径也，径为直线，圆周为弧线，弧线与直线之比例不通径一周，三以大数言也，尚有零数不盖径一，则周三有余，周三则径一不足周，径二者不能皆为有盖之数，引用割圆之法，内弦外切，屡求勾股为无数多边形，使弧线直线渐合为一，而圆周始得径一。周为三一四五九二六五三有余周一。则径为三一八三九八八六有余，此周径定率也，而弧线，直线不可比例，则用八线驭之，仍以直线与直线为比，而周度可得命圆周为三百六十度，如丙乙，戊丁，每度六十分，每分六十秒，微织忽盲尘，皆以六十过析命，全径为二千万，如丙戊，如乙丁，半径为一千万，如甲丙，如甲乙如甲戊，如甲丁，圆周四分之一皆九十度，如丙乙弧，乙戊弧，戊丁弧，丁丙弧，皆为一象限，于一象限中任取一处，如己，截一弧为两弧，如己丙弧为六十度，己乙弧为三十度，则每弧皆有八线，己甲仍为半径，与甲乙，甲丙等也，己丙弧为己甲丙角之度，己乙弧为己甲乙角之度，其八线在弧内与半径平行者为弦，如乙庚，如己辛，切弧外与弦平行者为切，如壬丙，如葵乙，弦切半径之余为矢，如丙庚，如乙辛，自圆心割圆周而与切线遇者为割，如壬甲，如葵甲，在己甲丙角，则其弧己丙，其正弦己庚，正矢丙庚，正切壬丙，正割壬甲，而以己甲乙角己乙弧为余角，余弧，余弦己辛，余矢乙辛，余切葵乙，余割葵甲，若在己甲乙角则其弧己乙，其正弦己辛，正矢乙辛，正切葵乙，正割葵甲，而以己甲丙角己丙弧为余角，余弧，余弦己庚，余矢丙庚，余切壬丙，余割壬甲，此为正则，彼为余，比为正，则此为余也，正矢即余弦之余，余矢即正弦之余，如甲丙，半径内庚甲，即同余弦，其余丙庚为正矢也，甲乙半径内辛甲即同正弦，其余乙辛为余矢也，余矢加半径为大矢，如庚戊为戊己一百二十度弧之大矢，辛丁为丁己一百五十度弧之大矢，正弦之倍为通弦，如己子为己丙子一百二十度弧之通弦，己丑为己乙丑六十度弧之通弦也，钝角之弧过象限即以外角八线，为其八线，如戊甲己，钝角其弧戊乙己一百二十度以减半周戊乙丙余丙己弧六十度，即为外角己甲丙角之弧，己甲丙角八线与戊甲己钝角，同用惟矢，则以戊庚为大矢，直角九十度，如丙甲乙角，其弧丙乙，适足一象限，则半径乙甲，即其正弦，余割，半径丙甲即其正矢，而其余诸线俱无矣。八线皆成同式勾股形，正弦己庚为股，余弦庚甲为勾，半径己甲为弦，正切壬丙为股，半径丙甲为勾，正割壬甲为弦，半径乙甲为股，余切葵乙为勾，余割葵甲为弦，皆为同时，故正余弦可以勾股法相求，弦切割可以比例相求，以余弦庚甲为一率，正弦己庚为二率，半径丙甲为三率，则得四率正切壬丙，以正弦辛甲为一率，余弦己辛为二率，半径乙甲为三率，则得四率余切葵乙，以余弦庚甲为一率，半径丙甲为二率，半径己甲为三率，则得四率正割壬甲，正弦辛甲为一率，半径乙甲为二率，半径己甲为三率，则得四率余割葵甲，此二三率，
《割圆密率捷法》是清代蒙古族科学家明安图讨论无穷幂级数的一部著作。明安图30余年心血写成此书草稿，临终前嘱其门人陈际新定稿。陈际新会同明安图之子明新以及同学张弘同整理校。康熙年间，法国传教士杜德美(Petrus Jartoux)曾将英国数学家格列高里(JamesGregory)和牛顿(IssacNewton)所创的三个无穷级数公式传入中国。但是没有说明其理论根据。在西方的微积分知识还没有被介绍到中国来的情况下，明安图依靠纯粹的几何手段，不但证明了上述3个公式，而且还独立的导出了其他6个相关公式。《割圆密率捷法》共4卷。首卷叙述了9个无穷幂级数的内容，分别以r,a,c,b,a表示半径、弧、弦、矢和圆心角，则有：前3式为杜德美所介绍，清代有人称上述9个公式为“杜氏九术”是不对的。《割圆密率捷法》和后三卷主要阐述以上公式的来源，明安图设计的割圆连比例法，系在图中构造一系列成比例的三角形，将它们加以整理就得到了所需的无穷幂级数公式。同时，他也开创了由已知函数的展开式求其反函数展开式的新的研究方向，后来被人称为：级数回求
《割圆八线缀术》，清徐有壬，吴嘉善编辑，明安图以后，函数的幂级数展开式都用文字而不用算式。徐有壬创造了一种表达幂级数的算式，称为缀术，但未见著录。同治元年（1862）春，吴嘉善在长沙编写是书，阐明徐氏缀术在三角函数幂级数展开式中的应用，十二年，左潜为作细草，合为四卷，收入《白芙堂算学丛书》
《数学拾遗》，书名，清丁取忠撰，一卷，初刊于咸丰元年（1851），再刻于同治三十年（1874）。系丁氏早年研习数学心得，分两个方面，一是弦，矢三角函数与弧的互求及级数表示。二是传统差分术的讨论。成就以后者为高。如将三色差分径设一物为零简化为二色差分，较好地阐释了《张建丘算经》百鸡问题解法之理。还纠正了焦循《里堂学算》，骆腾风《艺游录》的几处错误，收入《白芙堂算学丛书》
周为三一四五九二六五三有余周一。当一个圆的周长为3.141592653…时
则径为三一八三九八八六有余，此周径定率也，
则一个多边形的边长是3.189886…，这就是周和径的比例，也就是圆弧和其内接弦的比例。
一个圆是360度，1度的弧长是3.141592653/360=0.008726646，一个圆有一个360边内接多边形，这个内接多边形长边长是3.189886…，这个内接多边形的一个边的边长是3.189886/360=0.0088607944，所以，1度弧长的切线长是0.0088607944/0.008726646=1.01537228，
弧AB是单位圆O上面的弧，AB是该弧的切线，∠AOB=α，
将弧度化为角度，为
k/360=α/212π，
k=180α/24π，
m=1.01537228k，
m=1.015372287.5α/π，
所以,
4 3 2
AB=k(α +α +α +α+1)
4 3 2
AB≈7.5*(0.3α +0.2α +0.2α +0.2α+1)/21.01537228απ
所以, tgα=AB，
4 3 2
tgα≈7.5(0.3α +0.2α +0.2α +0.2α+1)/21.01537228απ
例如：
tg40°=tg0.698132=0.8391，
4 3 2
tg0.8391=7.5(0.8391 0.3+0.8391 0.2+0.8391 0.2+0.83910.2)/21.015372280.8391π
=1.401(0.148722+0.11816+0.14081+0.16782)
=1.4010.575512
=0.8062
tg70°=tg1.221730=2.747
4 3
tg1.221730=7.5(1.221730 *0.3+1.221730 *0.2
2
+1.221730 0.2+1.2217300.2)/21.015372281.221730π
=0.96573(0.66837+0.36471+1.492624+0.244346)
=2.675126
推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰，收录于《白芙堂算学丛书》，
又丙己通弦为勾，己戊通弦为股，丙戊全径为弦，己庚正弦为其中垂线，，与戊庚大矢，丙庚正矢为连比例三率，己庚为中率，戊庚及丙庚为首末率，中率己庚正弦自乘,戊庚大矢除之，则得丙庚正矢，若丙庚正矢除之则得戊庚大矢，首末率相乘开平方则得中率己庚，
2
(1+cosa)/sin a=1-cosa
(1-cosa)/sina=1+cosa
2
(1-cosa)(1+cosa)=sin a
正弦，故弦矢，可相求也，又八线可以代相为用，如命半径为一千万，用半径乘除者，其数不变，乘则升八位，除则降八位而已，而除难，于乘则可易，除为乘而用相代法，正弦与余割相代如一率，正弦辛甲股二率，半径乙甲大股，三率余弦己辛，勾四率余切葵乙，大勾可以半径，己甲弦为一率，余割葵甲大弦为二率，以比己辛勾，葵乙大勾比易一二率之同式股，为同式弦也，
1/cos(90°-a)sin(90°-a)=tg(90°-a)/sin(90°-a)sin(90°-a)
如一率余割葵甲弦，二率半径己甲小弦，三率余切葵乙，勾四率余弦己辛，小勾可以半径，乙甲股为一率，正弦辛甲小股为二率，以比葵乙勾己辛小勾，此易一二率之同式弦，为同式股也，余弦与正割相代如一率，余弦庚甲勾，二率半径丙甲大勾，三率正弦己庚股，四率正切壬丙，大股可以半径，己甲弦为一率正割壬甲大弦为二率，以比己庚股，壬丙大股此易一二率之同式勾，为同式弦也，一率正割壬甲弦，二率半径己甲小弦，三率正切壬丙股，四率正弦己庚小股，可以半径，丙甲勾为一率，余弦庚甲小勾为二率，以比壬丙股己庚小股，此易一二率之同式弦为同式勾也，正切与余切相代如一率，正切壬丙股，二率半径丙甲勾，三率正弦辛甲小股，四率余弦己辛，小勾可以半径，乙甲股为一率，余切葵乙勾为二率，以比己庚小股，己辛小勾，又如一率余切葵乙勾，二率半径乙甲股，三率余弦己辛小勾，四率正弦辛甲，小股可以半径，丙甲勾为一率，正切壬丙股为二率，以比己辛小勾，辛甲小股，此一二率皆以同式勾股，易同式勾股也，一象限中逐度分秒皆有八线术之，之法同六宗三要二简诸法，屡次过求得每度每分每十秒之正弦，以求各余弦，正切，余切，正割，余割之数，以列表为八线表，一象限九十度，取其半四十五度列之，四十五度以后，即将四十五度以前逆数而得凡六页，一度每页织分六格，一正弦，二正切，三正割，四余弦，五余切，六余割，正余弦切割之名标于上，四十五度后，逆数者，正为余，余为正，标其名于下，每个皆横分十层，每层为一分，每一层中又分六栏，每栏为十秒，其度分秒标于左右，自初度至四十四度列于右方之上，其分秒顺列右行，由上而下自四十五度至八十度列于左方之下，其分秒逆列左行由下而上，其每线之数则于每格，每栏中，由左而右横列之，检表之法有度分秒查线者，视对度分秒某栏之线，有线查度分秒者，视对线某栏之度分秒，其所列者越十秒而一线，如查十秒中之零秒，则用中比例，如检一度三分一十三秒之正弦，则以一度三分一十秒与一度三分二十秒相减余十秒为一率，一度三分一十秒之正弦与一度三分二十秒之正弦相减余为二率，三秒为三率，得四率以加一度三分一十秒之正弦，即为一度三分一度三分一十三秒之正弦，表中不列正余矢者，正矢余矢可以正余弦减半径而得，半径减余弦得正矢，减正弦得余矢，则数已寓也。全表四十五度之正余弦切割各一万六千二百线，计凡九万七千二百线。
下面介绍用无穷级数展开正弦的方法：
求弦矢弧背圆周捷法
割圆以六宗三要二简诸法，欲求勾股以推八线为数甚繁，且不能随度以求，今即差数用连比例以立乘除之法度，不必符乎，六宗法不必依乎三要而有弧度，即可求弦矢，有弦矢即可以求弧度，只须乘除比例，无用屡次开方，而真数顷刻可得，故称捷焉。设二千亿之径，其全周弧数为六二八三一八五三点七一七以六除之，为六十度弧本数一点四七一九七五五一一九，又六除之为十度之弧本数一七四五三二九二五一九，又十除之为一度弧本数一七四五三二九二五一，又六除之为十分弧本数二九点八八八二点八，，又十除之为一分弧本数二九点八八八点二，又六除之为十秒弧本数四八四八一三六，此十秒弧本数截尾四位为四八四，而表中十秒正弦反为四八五者，表中因尾下之小余八而进一，于尾数为五者也，试观表中自十秒至十一分一十秒，正弦皆与正切同数，则内弦外切已合为一，而与弧本数同矣，是即可过因而求正弦，试以十秒正弦四八五，用二因之为二十秒之正弦九七，用三因之为三十秒之正弦一四五五，用四因之为四十秒之正弦一九四，是皆过于表中正弦一四五四一九三九之数，若以四十秒正弦一九三九折半，则二十秒正弦当是九六九，又折半则一十秒正弦当是四八四，是正与弧本数合，可知表中一十秒二十秒之正弦，皆于尾数进一者也。又十除之为一秒本数四八四八一三所设弧，若干度分秒合取其数，相因相加为设弧本数，
梅氏取度分秒弧本数列表检用甚便，附录于后。
弧求正弦，以弧本数为第一条，以半径为连比例第一率，弧本数为第二率，二率自乘，一率除之得第三率，以第一条，三率乘之, 一率除之得第四率，二除之三，除之为第二条，以第二条三率乘之，一率除之，得第六率，四除之五，除之为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之得第八率，六除之七，除之为第四条，以后例推除至单位下，而止第一条，第三条相并，第二条，第四条，相数相减余即正弦。
法取五度二十分二十秒弧本数，并之得九十三万一千八百一十一，注：小余八，半径八位，则五度二十分二十秒弧本数，六位至单于单位下多取小余一位者，齐尾数也后放此，为第一条，半径一千万为第一率，弧本数为第二率，二率自乘，一率除之，得八万六千八百二十七，（小于三）为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得八千零九十（小于六）为第四率，二除之，三除之，得一千三百四十八（小于四）为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得一十一（小于七）为第六率，四除之，五除之，得（小于五）为第三条，以第一条第三条相并，与第二条相减，余九十三万零四百六十四，（并减后仍截去小于，不用凡小于在六以上者皆进一于末位后放此），即五度二十分二十秒之正弦也。
sinθ的计算方法，八线割圆，
5°20`20``=0.0931811
a 一率 r=1 a=r
b 二率 θ=0.0931811 b=θ
2 2
c 三率 θ =0.0086827 c=θ ,
3 3
d 四率 θ =0.0008090886 d=θ ,
0.0008090886/0.0931811=0.0086829689
e 第二条 0.00086829689/6=0.0001348481 e=d/6
f 六率 0.00013484810.0086827/1=0.000001170845598 f=ec
g 第三条 0.000001170845598/20=0.000000058542279 g=f/20,
sinθ=θ+g-e 0.0931811+0.000000058542279-0.0001348481=0.09304631
3 2 3 5 3
sinθ=θ+g-e=θ+f/20-d/6=θ+ec/20-θ /6=θ+dθ /6-θ /6=θ+θ /6-θ /6
5 3 7
sinθ=θ+θ /120-θ /6-θ /5040
3 5 7 θ θ 1 θ 1 1
sinθ=θ- + -
2 6 20 6 20 42
例如:
θ=20°=0.349066,
sinθ=sin20°=sin0.349066
5 3
=0.34066+0.34066 /6-0.34066 /6=0.34066+0.004587813029/6-0.039533332/6
=0.34066+0.0007646355048-0.006588888767=0.275535747
20°=0.349066
a 一率 r=1 a=r
b 二率 θ=0.349066 b=θ
2 2
c 三率 θ =0.121847072 c=θ ,
3 3
d 四率 θ =0.04253267 d=θ ,
0.04253267/0.349066=0.121847071
e 第二条 0.04253267/6=0.007088778333 e=d/6
f 六率 0.0070887783330.121874072/1=0.0008639382809 f=ec
g 第三条 0.0008639382809/20=0.00004319691405 g=f/20,
sinθ=θ+g-e 0.349066+0.00004319691405-0.007088778333=0.342020418
设如二十六度，半径一千万求正弦，法取二十六度弧本数，并之得四百五十三万七千八百五十六零（小于）为第一条，半径一千万为第一率，弧本数为第二率，二率自乘，一率除之得二百零五万九千二百一十三（小于七）为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得九十三万四千四百四十一（小于五）为第四率，二除之，三除之，得一十五万五千七百四十零（小于二）为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得三万二千零七十零（小于二）为第六率，四除之，五除之，得一千六百零三（小于五）为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得三百三十零（小于一）为第八率，六除之，七除之，得七（小于八）为第四条，第一条第三条相并，第二条第四条相并，两数相减余四百三十八万三千七百一十一，即二十六度正弦也。
26°=0.4537856
a 一率 r=1 a=r
b 二率 θ=0.4537856 b=θ
2 2
c 三率 θ =0.20592137 c=θ ,
3 3
d 四率 θ =0.093444152 d=θ ,
e 第二条 0.093444152/6=0.015574025 e=d/6
f 六率 0.0155740250.20592137/1=0.00320702466 f=ec
g 第三条 0.00320702466/20=0.000160351233 g=f/20,
h 八率 0.0001603512330.20592137/1=0.00003301974558 h=gc
I 第四条 0.00003301974558/42=0.0000007861844186 i=h/42
sinθ=b+h-e-i=0.4537856+0.00003301974558-0.015574025-0.0000007861844186=0.438243808
sinθ=b+h-e-i=θ+g*c-d/6-h/42
2 3 2 3 2
=θ+fθ /20-θ /6-gc/42=θ+fθ /20-θ /6-fθ /840
2 3 2 5 3 7
=θ+ecθ /20-θ /6-ecθ /840=θ+θ /120-θ /6-θ /5040
5 3 7
sinθ=θ+θ /120-θ /6-θ /5040
3 5 7 θ θ 1 θ 1 1
sinθ=θ- + -
2 6 20 6 20 42
设如本数一千万，半径一千万，求正弦。 法以弧本数一千万为第一条，半径一千万为第一率， 弧本数为第二率，二率自乘，一率除之，得一千万为第三率， 依第一条三率乘之，一率除之，得一千万为第四率，二除之，三除之，得一百六十六万六千六百六十六（小于六）为第二条， 以第二条，三率乘之，一率除之，得一百六十六万六千六百六十六（小于六）为第六率，四除之，五除之，得八万三千三百三十三（小于三）为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得八万三千三百三十三（小于三）为第八率，六除之，七除之，得一千九百八十四（小于一）为第四条，以第四条，三率乘之，一率除之，得一千九百八十四（小于一）为第十率，八除之，九除之，得二十七（小于五）为第五条，以第五条，三率乘之，一率除之，得二十七（小于五）为第十二率，十除之，十一除之，得（小于二）为第六条，第一条第三条第五条相并，第二条第四条第六条相并，两数相减，余八百四十一万四千七百零九，即五十七度一十七分四十四秒三十六微正弦也。
sin57°1744``36```=0.84166943 57°1744``36```=1
a 一率 r=1 a=r
b 二率 θ=1 b=θ
2 2
c 三率 θ =1 c=θ ,
3 3
d 四率 θ =1 d=θ ,
e 第二条 1/6=0.16666666 e=d/6
f 六率 10.16666666=0.16666666 f=ec
g 第三条 0.16666666/20=0.0083333333 g=f/20,
h 八率 0.00833333331/1=0.0083333333 h=gc
I 第四条0.0083333333/42=0.0001984126984 i=h/42
j 十率 0.00019841269841/1=0.0001984126984 j=hc/r
k 第五条0.0001984126984/72=0.000002755731922 k=j/72
m 十二率0.00019841269841/1=0.000002755731922 m=k*c/r
n 第六条0.000002755731922/110=0.00000002505210839 n=m/110
sinθ=b+g+k-e-i-n=1+0.0083333333+0.000002755731922-0.16666666-0.0001984126984-0.00000002505210839=0.84166943
sinθ=b+g+k-e-i-n=θ+f/20+j/72-d/6-h/42-m/110
=θ+e*c/20+hc/72-d/6-jc/42-kc/110
5 9 3 7 11
=θ+θ /120+θ /362880-θ /6-θ /5040-θ /39916800
5 9 3 7 11
sinθ=θ+θ /120+θ /362880-θ /6-θ /5040-θ /39916800
3 5 7 θ θ 1 θ 1 1
sinθ=θ- + -
2 6 20 6 20 42
9 11 θ 1 1 1 θ 1 1 1 1 + - 6 20 42 72 6 20 42 72 110
推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰收录于《白芙堂算学丛书》,
用无穷级数展开正矢，
弧求正矢，以半径为连比例第一率，弧本数为第二率，二率自乘，一率除之，得第三率，二除之为第一条，以第一条，三率乘之，一率除之，得第五率，三除之，四除之，为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得第七率，五除之，六除之，为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得第九率，七除之，八除之，为第四条，以下例推。除至单位下而止第一条，第三条相并，第二条第四条相并，两数相减，余即正矢。
设如五度二十分二十秒，半径一千万求正矢。
法以半径一千万为第一率，并五度二十分二十秒弧本数，得九十三万一千八百一十一（小于八）为第二率，自乘一率，除之，得八万六千八百二十七（小于三）为第三率，二除之，得四万三千四百一十三（小于六）为第一条，三率乘之，一率除之，得三百七十六（小于九）为第五率，三除之，四除之，得三十一（小于四）为第二条，第一条第二条相减，余四万三千三百八十二，即五度二十分二十秒正矢也。
5°20`20``=0.0931811,
a 一率 r=1 a=r
b 二率 θ=0.0931811 b=θ
2 2
c 三率 θ =0.0086827 c=θ /r ,
2 2
d 第一条 θ /2=0.00434135 d=c/2=θ /2,
e 五率 0.004341350.0086827=0.00003769463965 e=cd/r
f 第二条 0.00003769463965/12=0.00000314121997 f=e/12
versinθ=1-cosθ=d-f=0.00434135-0.00000314121997=0.00433820878
cosθ=1-versinθ=1-d+f=1-0.00434135+0.00000314121997=0.995661791
2 4
cosθ=1-versinθ=1-d+f=1-c/2+e/12=1-c/2+cd/12=1-θ /2+θ /24
2 4
θ θ 1
versinθ= +
2 2 12
2 4 θ θ 1
cosθ=1-versinθ=1- +
2 2 12
设如二十六度，半径一千万，求正矢。
法以半径一千万为第一率，并二十六度弧本数，得四百五十三万七千八百五十六（小于零）为第二率，二率自乘，一率除之，得二百零五万九千二百一十三（小于七）为第三率，二除之，得一百零二万九千六百零六（小于八）为第一条，以第一条，三率乘之，一率除之，得二十一万二千零一十八（小于零）为第五率，三除之，四除之，得一万七千六百六十八（小于一）为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得三千六百三十八（小于二）为第七率，五除之，六除之，得一百二十一（小于二）为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得二十四（小于九）为第九率，七除之，八除之，得（小于四）为第四条，第一条第三条相并，第二条第四条相并，两数相减，余一百零一万二千零六十零，即二十六度正矢也。
versin26°=versin0.4537856=0.1020591561,
26°=0.4537856
a 一率 r=1 a=r
b 二率 θ=0.4537856 b=θ
2 2
c 三率 θ =0.20592137 c=θ ,
d 第一条 0.20592137/2=0.102960685 d=c/2 ,
e 五率 0.1029606850.20592137/1=0.02120180531 e=dc/r
f 第二条 0.02120180531/12=0.00176681711 f=e/12
g 七率0.001766817110.20592137/1=0.00036276531 g=fc/r
h 第三条 0.00036276531/30=0.00001209218 h=g/30
I 九率0.000012092180.20592137=0.00000249004 i=h*c/r
j 第四条 0.00000249004/56=0.00000004446 j=i/56
cosθ=1-versinθ=1-d-h+f+j=1-0.102960685-0.00001209218+0.00176681711+0.00000004446=0.89879408439,
2 6 4 8
versinθ=d+h-f-j=c/2+g/30-e/12-i/56=θ /2+θ /720-θ /24-θ /40320
2 6 4 8
cosθ=1-versinθ=1-d-h+f+j=1-θ /2-θ /720+θ /24+θ /40320
2 4 6 8 θ θ 1 θ 1 1 θ 1 1 1
versinθ= - + -
2 2 12 2 12 30 2 12 30 56
cosθ=1-versinθ
2 4 6 8
θ θ 1 θ 1 1 θ 1 1 1
=1- - + -
2 2 12 2 12 30 2 12 30 56
设如弧本数一千万，半径一千万，求正矢，
法以半径一千万为第一率，弧本数一千万为第二率，二率自乘，一率除之，得一千万为第三率，二除之，得五百万为第一条，以第一条，三率乘之，一率除之，得五百万为第五率，三除之，四除之，得四十一万六千六百六十六（小于六）为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得四十一万六千六百六十六（小于六）为第七率，五除之，六除之，得一万三千八百八十八（小于八）为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得一万三千八百八十八（小于八）为第九率，七除之，八除之，得二百四十八（小于零）为第四条，以第四条，三率乘之，一率除之，得二百四十八（小于零）为第十一率，九除之，十除之，得二（小于七）为第五条，第一条第三条第五条相并，第二条第四条相并，两数相减，余四百五十九万六千九百七十七，即五十七度一十七分四十四秒三十六微正矢也。
versin57°17`44``36```=0.04596977
a 一率 r=1 a=r
b 二率 θ=1 b=θ
2 2
c 三率 θ =1 c=θ ,
2 2
d 第一条 θ /2=1/2=0.5 d=θ /2r,
4
e 五率 θ /2=1/2=0.5 e=d*c/r
4
f 第二条 θ /24=1/24=0.04166666667 f=e/12
g 七率0.041666666671/1=0.04166666667 g=fc/r
h 第三条 0.04166666667/30=0.00138888889 h=g/30
I 九率0.001388888891/1=0.00138888889 i=hc/r
j 第四条 0.00138888889/56=0.00002480159 j=i/56
k十一率 0.000024801591/1=0.00002480159 k=j*c/r
m第五条 0.00002480159/90=0.00000027557 m=k/90
versinθ=d+h+m-f-j
2 2 6 10 4 8
=θ /2r+g/30-k/90-i/56=θ /2+θ /720+θ /3628800-θ /24-θ /40320
versinθ=d+h+m-f-j
=0.5+0.00138888889+0.00000027557-0.04166666667-0.00002480159=0.459676962
cosθ=1-versinθ=1-0.459676962=0.5403023038,
2 4 6 8 10
cosθ=1-θ /2-θ /720-θ /3628800+θ /24+θ /40320
2 4 6 8
θ θ 1 θ 1 1 θ 1 1 1
versinθ= - + -
2 2 12 2 12 30 2 12 30 56
θ 1 1 1 1
+ 2 12 30 56 90
cosθ=1-versinθ
θ θ 1 θ 1 1 θ 1 1 1
=1- + - +
2 2 12 2 12 30 2 12 30 56
θ 1 1 1 1
2 12 30 56 90
正弦求弧，
以弦为第一条，以半径为连比例第一率，正弦为第二率，二率自乘，一率除之，得第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得第四率，二除之，三除之，为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得第六率，九乘之，四除之，五除之，为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得第八率，二十五乘之，六除之，七除之，为第四条，以第四条，三率乘之，一率除之，得第十率，四十九乘之，八除之，九除之，为第五条，以第五条，三率乘之，一率除之，得第十二率，八十一乘之，十除之，十一除之，为第六条，以后例推除之单位下而止，诸条相并，即弧本数，以每度分秒之本数收之，得度分秒。
设如正弦二百八十三万三千七百八十四，半径一千万，求弧度。法以正弦二百八十三万七百八十四为第一条，半径一千万为第一率，正弦为第二率，二率自乘，一率除之，得八十万零三千零叁拾三，为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得二十二万七千五百六十二，为第四率，二除之，三除之，得三万七千九百二十七，为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得三千零四十五（小于六）为第六率，九乘之，四除之，五除之，得一千三百七十零为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得一百一十零为第八率，二十五乘之，六除之，七除之，得六十五为第四条，以第四条，三率乘之，一率除之，得五（小于二）为第十率，四十九乘之，八除之，九除之，得三为第五条，以诸条相并，得二百八十七万三千一百五十一，即弧本数以度分秒之本数收之，得一十六度二十七分四十三秒。
a 第一条 sinθ=0.2833784 a=sinθ
b 一率 r=1 b=r
c 二率 sinθ=0.2833784 c=sinθ ,
2 2
d 三率 sin θ=0.08030331759 d=sin θ/r
3
e 四率 sin θ=0.02275622565 e=c*d/r
f 第二条 0.02275622565/6=0.00379270428 f=e/6
g 六率0.003792704280.08030331759/1=0.00030456674 g=fd/r
h 第三条 0.000304566749/20=0.00013705503 h=9g/20
I 八率0.000137055030.08030331759=0.00001100597 i=hd/r
j 第四条 0.0000110059725/42=0.00000655117 j=25i/42
k十率 0.000006551170.08030331759=0.00000052608 k=jd/r
m第五条 0.0.0000005260849/72=0.00000035803 m=49k/72
θ=arcsin0.2833784=a+f+h+j+m
=0.2833784+0.00379270428+0.00013705503+0.00000655117+0.00000035803=0.28731506851
θ=arcsin0.2833784=a+f+h+j+m=sinθ+e/6+9g/20+25i/42+49k/72
3 5 7 9 11
=sinθ+sin θ/6+3sin θ/40+3sin θ/40+75sin θ/1680+3675sin θ/120960
θ=16°27`43``
3 5 7 sin θ sin θ 9 sin θ 9 25
θ=sinθ+ + +
6 6 20 6 20 42
9 sin θ 9 25 49
6 20 42 72
设如正弦七百零七万一千零六十八，半径一千万，求弧度。
法以正弦七百零七万一千零六十八为第一条，半径一千万，为第一率，正弦为第二率，二率自乘，一率除之，得五百万为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得三百五十三万五千五百三十四为第四率，二除之，三除之，得五十八万九千二百五十五（小于六）为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得二十九万四千六百二十七（小于八）为第六率，九乘之，四除之，五除之，得一十三万二千五百八十二（小于五）为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得六万六千二百九十一（小于二）为第八率，二十五乘之，六除之，七除之，得三万九千四百五十九为第四条，以第四条，三率乘之，一率除之，得一万九千七百二十九（小于五）为第十率，四十九乘之，八除之，九除之，得一万三千四百二十七（小于零）为第五条，以第五条，三率乘之，一率除之，得六千七百一十三（小于五）为第十二率，八十一乘之，十除之，十一除之，得四千九百四十三（小于六）为第六条，以第六条，三率乘之，一率除之，得二千四百七十一（小于七）为第十四率，一百二十一乘之，十二除之，十三除之，得一千九百一十七（小于一）为第七条，以第七条，三率乘之，一率除之，得九百五十八（小于六）为第十六率，一百六十九乘之，十四除之，十五除之，得七百七十一（小于四）为第八条，以第八条，三率乘之，一率除之，得三百八十五（小于七）为第十八率，二百二十五乘之，十六除之，十七除之，得三百一十九（小于一）为第九条，以第九条，三率乘之，一率除之，得一百五十九（小于五）为第二十率，二百八十九乘之，十八除之，十九除之，得一百三十四（小于八）为第十条，以第十条，三率乘之，一率除之，得六十七（小于四）为第二十二率，三百六十一乘之，二十除之，二十一除之，得五十七（小于九）为第十一条，以第十一条，三率乘之，一率除之，得二十八（小于九）为第二十四率，四百四十一乘之，二十二除之，二十三除之，得二十五（小于二）为第十二条，三率乘之，一率除之，得一十二（小于六）为第二十六率，五百二十九乘之，二十四除之，二十五除之，得一十一（小于一）为第十三条，以第十三条，三率乘之，一率除之，得五（小于五）为第二十八率，六百二十五乘之，二十六除之，二十七除之，得四（小于九）为第十四条，以第十四条，三率乘之，一率除之，得二（小于四）为第三十率，七百二十九乘之，二十八除之，二十九除之，得二（小于二）为第十五条，以第十五条，三率乘之，一率除之，得一（小于一）为第三十二率，九百六十一乘之，三十除之，三十一除之，得一（小于零）为第十六条，以诸条相并，得七百八十五万三千九百八十一，即本弧数以度分秒收之，得四十五度。
a 第一条 sinθ=0.7071068 a=sinθ
b 一率 r=1 b=r
c 二率 sinθ=0.7071068 c=sinθ ,
2 2
d 三率 sin θ=0.50000002661 d=sin θ/r
3
e 四率 sin θ=0.35355341881 e=c*d/r
f 第二条 0.35355341881/6=0.0589255698 f=e/6
g 六率0.05892556980.50000002661/1=0.02946278647 g=fd/r
h 第三条0.029462786479/20=0.01325825391 h=9g/20
I 八率0.013258253910.50000002661=0.00662912731 i=hd/r
j 第四条0.0066291273125/42=0.00394590911 j=25i/42
k十率 0.003945909110.50000002661=0.00197295466 k=jd/r
m第五条 0.0019729546649/72=0.00134270526 m=49k/72
n十二率0.001342705260.50000002661=0.00067135266 n=md/r
o第六条0.0006713526681/110=0.00049435969 o=81n/110
p十四率0.000494359690.50000002661/1=0.00024717986 p=od/r
q第七条0.00024717986121/1213=0.00019172284 q=121p/1213
s十六率0.000191722840.50000002661=0.00009586143 s=qd/r
t第八条0.00009586143169/1415=0.00007714562 t=s169/1415
u十八率0.000077145620.50000002661=0.00003857302 u=td/r
v第九条0.00003857302225/1617=0.00003190783 v=225u/1617
w二十率0.000031907830.50000002661/1=0.000015954 w=vd/r
δ第十条0.000015954289/1819=0.0000134816 δ=289w/1819
ε二十二率0.00001348160.50000002661=0.0000067408 ε=δd/r
ζ第十一条0.0000067408361/2021=0.00000579388 ζ=361ε/2021
η二十四率0.000005793880.50000002661=0.00000289694 η=ζd/r
λ第十二条0.00000289694441/2223=0.0000025248 λ=441η/2223
μ二十六率0.00000252480.50000002661=0.0000012624 μ=λd/r
σ第十三条0.0000012624529/2425=0.00000111302 σ=529μ/2425
τ二十八率0.000001113020.50000002661=0.00000055651 τ=σd/r
φ第十四条0.00000055651625/2627=0.00000049547 φ=625τ/2627
ψ三十率0.000000495470.50000002661=0.00000024773 ψ=φd/r
б第十六条0.00000024773729/2829=0.00000022241 б=729ψ/2829
ж三十二率0.000000222410.50000002661=0.00000011121 ж=бd/r
з第十八条9610.00000011121/3031=0.00000011491 з=961ж/3031
θ=arcsin0.7071068=
0.7071068+0.0589255698+0.01325825391+0.00394590911+0.00134270526+0.00049435969+
+0.00019172284+0.00007714562+0.00003190783+0.0000134816+0.00000579388+ +0.0000025248+0.00000111302+0.00000049547+0.00000022241+0.00000011491
=0.78539812015
θ=arcsin0.2833784=θ+f+h+j+m+o+q+t+v+δ+ζ+λ+σ+φ+б+з, θ=45°,
3 5 7 9 sin θ sin θ 9 sin θ 9 25 sin θ 9 25 49
θ=sinθ+ + + +
6 6 20 6 20 42 6 20 42 72
11 13 sin θ 9 25 49 81 sin θ 9 25 49 81 121
+ 6 20 42 72 110 6 20 42 72 110 12*13 15 sin θ 9 25 49 81 121 1696 20 42 72 110 12*13 14*1517 sin θ 9 25 49 81 121 169 2256 20 42 72 110 12*13 14*15 16*1719 sin θ 9 25 49 81 121 169 225 2896 20 42 72 110 12*13 14*15 16*17 18*1921 sin θ 9 25 49 81 121 169 225 289 3616 20 42 72 110 12*13 14*15 16*17 18*19 20*2123 sin θ 9 25 49 81 121 169 225 289 361 4416 20 42 72 110 12*13 14*15 16*17 18*19 20*21 22*23
所以,
3 5 2n+1
1 sin θ 13 sin θ 13*…(2n-1) sin θ 2n+2
θ=sinθ+ + +…+ +o(sin θ)
2 3 24 5 24*…2n 2n+1
正矢求弧，以正矢倍之为第一条，以半径为连比例第一率，倍正矢为第三率，三率自乘，一率除之，得第五率，三除之，四除之，为第二条，以第二条，四乘之，三率乘之，一率除之，得第七率，五除之，六除之，为第三条，以第三条，九乘之，三率乘之，一率除之，得第九率，七除之，八除之，为第四条，以第四条，十六乘之，三率乘之，一率除之，得第十一率，九除之，十除之，为第五条，以第五条，二十五乘之，三率乘之，一率除之，得第十三率，十一除之，十二除之，为第六条，以后例推，除至单位下而止，以诸条相并又为连比例第三率，以于第一率半径相乘，开平方，得第二率，即弧本数以度分秒收之，得度分秒。
设如，正矢四十万零九千九百一十八，半径一千万，求弧度，
法以正矢，四十万零九千九百一十八，倍之，得八十一万九千八百三十六，为第一条，以半径一千万，为第一率，倍正矢，为第三率，三率自乘，一率除之，得六万七千二百一十三，为第五率，三除之，四除之，得五千六百零一，为第二条，以第二条，四乘之，三率乘之，一率除之，得一千八百三十六，为第七率，五除之，六除之，得六十一，为第三条，以诸条相并，得八十二万五千四百九十九，又为连比例第三率，以与一率半径一千万相乘，得八兆二千五百四十九亿九千万，开方得二百八十七万三千一百五十一，为连比例第二率，即弧本数，以每度分秒之本数收之，得一十六度二十七分四十三秒。
versinθ=0.0409918
a 第一条 2versinθ=0.04099182=0.0819836 a=2versinθ
b 一率 r=1 b=r
c 三率 2versinθ=0.04099182=0.0819836 c=2versinθ
2
d 五率 0.08198360.0819836=0.00672131067 d=c /r
e 第二条 0.00672131067/34=0.00056010922 e=d/34
f 七率 0.0005601092240.0819836=0.00018367908 f=4ec
g 第三条0.00018367908/56=0.00000612264 g=f/5*6
h 连比例第三率0.0819836+0.00056010922+0.00000612264=0.08254983186
h=a+e+g
i连比例第二率 0.08254983186*1= 0.08254983186 =0.28731486537
i= hr
θ=arc(versin0.0409918)=
2 3 hr = a+e+g = 2versinθ+versin θ/12+4versin θ/360
θ=16°27`43``,
2 3 versin θ 4versin θ 1
θ= 2versinθ+ +
43 43 5*6
2 3 (1-cosθ) 4(1-cosθ) 1
θ= 2（1-cosθ）+ +
43 43 56
设如正矢，五百万，半径一千万，求弧度，
法以正矢五百万，倍之，得一千万，为第一条，以半径一千万，为第一率，倍正矢为第三率，三率自乘，一率除之，得一千万为第五率，三除之，四除之，得八十三万三千三百三十三，为第二条，以第二条，四乘之，三率乘之，一率除之，得三百三十三万三千三百三十三，为第七率，五除之，六除之，得一十一万一千一百一十一，为第三条，以第三条，九乘之，三率乘之，一率除之，得九十九万九千九百九十九，为第九率，七除之，八除之，得一万七千八百五十七，为第四条,以第四条，十六乘之，三率乘之，一率除之，得二十八万五千七百一十四，为第十一率，九除之，十除之，得三千一百七十四，为第五条，以第五条，二十五乘之，三率乘之，一率除之，得七万九千三百六十五，为第十三率，十一除之，十二除之，得六百零一为第六条，以第六条，三十六乘之，三率乘之，一率除之，得二万一千六百三十六，为第十五率，十三除之，十四除之，得一百一十八，为第七条，以第七条，四十九乘之，三率乘之，一率除之，得五千七百八十二，为第十七率，十五除之，十六除之，得二十四为第八条，以第八条，六十四乘之，三率乘之，一率除之，得一千五百五十四，为第十九率，十七除之，十八除之，得五，为第九条，诸条相并，得一千零九十六万六千二百二十五，又为连比例第三率，以与一率半径一千万相乘，得一百零九兆六千六百二十二亿五千万为连比例第二率，即弧本数以每度分秒收之，得六十度。
a 第一条 2versinθ=0.500002=1 a=2versinθ
b 一率 r=1 b=r
c 三率 2versinθ=0.500002=1 c=2versinθ
2
d 五率 11/1=1 d=c /r
e 第二条 1/12=0.08333333 e=d/34
f 七率 1/12=0.33333333 f=4e/c
g 第三条 0.33333333/30=0.0111111111 g=f/56
h 九率0.01111111119/1=0.0999999999 h=9g/c
I 第四条0.0999999999/56=0.001785714286 i=h*/78
j 十一率0.001785714286161/1=0.028571428 j=16ic/r
k第五条 0.028571428/910=0.0003174603175 k=j/910
m十三率 250.0003174603175/1=0.007936507937 m=25kc/r
n第六条0.007936507937/1112=0.00006012506013 n=m/1112
o十五率 360.00006012506013=0.002164502165 o=36nc/r
p第七条0.002164502165/1314=0.00001189286904 p=o/1314
q十七率490.000011892869041/1=0.0005827505827 q=49pc/r
s第八条0.0005827505827/1516=0.000002428127428 s=q/1516
t十九率0.000002428127428641/1=0.0001554001554 t=64sc/r
u第九条0.0001554001554/1718=0.0000005078436451 u=t/1718
v连比例第三率
1+0.08333333+0.0111111111+0.001785714286 +0.0003174603175+0.00006012506013+
+0.00001189286904+0.000002428127428++0.000002428127428+0.0000005078436451
=1.09664685 v=a+e+g+i+k+n+p+s+u
w连比例第二率1.096646851=1.09664685 w=vc
θ=arcsin0.5
=1+0.08333333+0.0111111111+0.001785714286 +0.0003174603175+0.00006012506013+
+0.00001189286904+0.000002428127428 +0.000002428127428+0.0000005078436451
=1.09664685
θ=60°,
θ=arcsin0.2833784=(a+e+g+i+k+n+p+s+u)d
=2versinθ+d/12+f/56+h/78+j/910+m/1112+o/1314+q/1516+t/1718
2 3 4
(2versinθ) 4(2versinθ) 1 94*(2versinθ) 1 1
θ=2versinθ+ + +
34 34 56 34 56 78
59*4*16*(2versinθ) 1 1 1
3*4 5*6 7*8 9*1069*4*16*25*(2versinθ) 1 1 1 13*4 5*6 7*8 9*10 11*1279*4*16*25*36*(2versinθ) 1 1 1 1 13*4 5*6 7*8 9*10 11*12 13*14 2 3 4 [2(1-cosθ)] 4[2(1-cosθ)] 1 9*4*[2(1-cosθ)] 1 1
θ=2(1-coθ)+ + +
34 34 56 34 56 78
59*4*16*[2(1-cosθ)] 1 1 1
3*4 5*6 7*8 9*1069*4*16*25*[2(1-cosθ)] 1 1 1 13*4 5*6 7*8 9*10 11*1279*4*16*25*36*[2(1-cosθ)] 1 1 1 1 13*4 5*6 7*8 9*10 11*12 13*14 2 3 2 n[2(1-cosθ)] [2(1-cosθ)] 1 (1*2*3*4*5...*n) [2(1-cosθ)] n+1
θ=2(1-coθ)+ + +…+ +o[[2(1-cosθ)] ]
34 34 56 34*…(2n+1) 2n+2
设如，通弧六十度，半径一千万，求矢，
法以半径一千万，为第一率，六十度弧本数一千零四十七万一千九百七十五（小于五一），为第二率，二率自乘，一率除之，又四除之，得二百七十四万一千五百五十六（小于七七），为第三率，二除之，得一百三十七万零七百其实吧（小于三八），为第一条，以第一条，三率乘之，一率除之，得三十七万五千八百零六（小于六七），为第五率，三除之，四除之，得三万一千三百一十七（小于二二），为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得八千五百八十五（小于七九），为第七率，五除之，六除之，得二百八十六（小于一九），为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得七十八（小于四六），为第九率，七除之，八除之，得一（小于四零），为第四条，以第一条第三条相并，第二条第四条相并，两数相减，余一百三十万九千七百四十五（小于九五），即六十度通弧之矢也，
versin60°=versin1.0471975=0.139745
a一率r=1 a=1
b二率θ=1.0471975 b=θ
2 2
c三率θ /41=1.0471975 1.0471975/4=0.274155651 c=θ /4
d第一条0.274155651/2=0.137077825 d=c/2
e五率0.1370778250.274155651=0.03758066 e=dc/r
f第二条0.03758066/12=0.003131721707 f=e/34
g七率0.0031317217070.274155651=0.0008585818936 g=fc/r
h第三条0.0008585818936/56=0.00002861939645 h=g/56
i九率0.000028619396450.274155651=0.000007846169266 i=hc/r
j第四条0.000007846169266/78=0.0000001401101655 j=i/78
versinθ=d+h-f-j=c/2+g/56-e/34-i/78
=0.137077825+0.00002861939645-0.003131721707-0.0000001401101655=0.133974582
2 4 2 4 2 2
θ θ θ 1 θ θ θ 1
versinθ= - +
8 8 4 34 8 4 4 56
4 2 2 2 θ θ θ θ 1
- 8 4 4 4 7*82 6 8 10θ θ 1 θ 1 1 θ 1 1 1
versinθ= - + -
8 32 34 128 34 56 512 34 56 78
2 6 8 10 θ θ θ θ
versinθ= - + -
8 384 46080 10321920
2 6 8 10 θ θ θ θ
cosθ=1- + - +
8 384 46080 10321920
正矢求通弧，以正矢，八乘之，为第一条，以半径为连比例第一率，八乘正矢，为第三率，四除之，以为每次所用之第三率，与正矢求弧之法同。
设如，正矢五百万，半径一千万，求通弦，
法取正矢五百万，八乘之，得四千万，为第一条，以半径一千万，为第一率，八乘正矢，又四除之，得一千万，为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得四千万，为第五率，三除之，四除之，得三百三十万三千三百三十（小于三三），为第二条，以第二条，四乘之，三率乘之，一率除之，得一千三百三十三万三千三百三十三，为第七率，五除之，六除之，得四十四万四千四百四十四（小于四四），为第三条，以第三条，九乘之，三率乘之，一率除之，得四百万，为第九率，七除之，八除之，得七万一千四百二十八（小于五七），为第四条，以第四条，十六乘之，三率乘之，一率除之，得一百一十四万二千八百五十七（小于一四），为第十一率，九除之，十除之，得一万二千六百九十八（小于四一），为第五条，以第五条，二十五乘之，三率乘之，一率除之，得三十一万七千四百六十零（小于三一），为第十三率，十一除之，十二除之，得二千四百零五，为第六条，以第六条，三十六乘之，三率乘之，一率除之，，得八万六千五百八十零（小于零八），为第十五率，十三除之，十四除之，得四百七十五（小于七一），为第七条，以第七率，四十九乘之，三率乘之，一率除之，得二万三千一十零（小于零二），为第十七率，十五除之，十六除之，得九十七，（小于一二），为第八条，以第八条，六十四乘之，三率乘之，一率除之，得六千二百一十六，为第十九率，十七除之，十八除之，得二十零（小于三一），为第九条，八十一乘之，三率乘之，一率除之，得一千六百四十五（小于四一），为第二十一率，十九除之，二十除之，得四（小于三三），为第十条，以诸条相并，得四千三百八十六万四千九百零七，又为连比例第三率，以与一率半径一千万相乘，得四百三十八兆六千四百九十亿零七千万，开平方，得二千零九十四万三千九百五十零，为连比例第二率，即通弧本数也，以每十度之本数收之，得一百二十度，即所求通弧度数也。
versinθ=0.5
a第一条versinθ8=0.58=4 a=8versinθ
b一率r=1 b=r
c三率versinθ8/4=1 c=a/4
d五率14/1=4 d=ac/r
e第二条 4/34=0.33333333 e=d/34
f七率0.3333333341/1=1.3333333 f=4ec/r
g第三条1.3333333/56=0.0444444444 g=f/56
h九率0.044444444491/1=0.399999996 h=9gc/r
i第四条0.399999996/78=0.007142857071 i=h/78
j十一率0.007142857071161/1=0.114285713 j=1hc/r
k第五条0.114285713/910=0.001269841257 k=j/910
m十三率0.00126984125725=0.031746031 m=25kc/r
n第六条0.031746031/1112=0.0002405002381 n=m/1112
o十五率0.000240500238136=0.008658008571 o=36nc/r
p第七条0.008658008571/1314=0.00004757147567 p=o/1314
q十七率0.0000475714756749=0.002331002308 q=49pc/r
s第八条0.002331002308/1516=0.000009712509615 s=q/1516
t十九率0.00000971250961564=0.0006216006154 t=64sc/r
u第九条0.0006216006154/1718=0.00000203137456 u=t/1718
v二十一率0.0000020313745681=1.645413394 v=81uc/r
w第十条1.645413394/1920=0.0000004330035246 w=v/1920
δ连比例第三率
4+0.33333333+0.0444444444+0.007142857071+0.001269841257+0.0002405002381+0.00004757147567 +0.000009712509615+0.00000203137456+0.0000004330035246
=4.386493588 δ=a+e+g+i+k+n+p+s+u+w
θ= δb =a+e+g+i+k+n+p+s+u+w= 4.3864935881 =2.094395757
θ=180°-120°=60°, versinθ=1-cosθ=0.5,
2 2 (8versinθ) 1 (8versinθ) 8versinθ 1 4
θ=π- 8versinθ+ + +
4 34 4 4 34 5*6
2 (8versinθ) 8versinθ 8versinθ 1 4 9
+ + 4 4 4 3*4 5*6 7*82 (8versinθ) 8versinθ 8versinθ 8versinθ 1 1 9 14 4 4 4 3*4 5*6 7*8 9*10 2 (8versinθ) 8versinθ 8versinθ 8versinθ 8versinθ 1 1 1 14 4 4 4 4 3*4 5*6*7*8 *9*10*11*12 2 2 16(1-cosθ) 16(1-cosθ) [2(1-cosθ)] 4
θ=π- 8(1-cosθ)+ +
34 34 5*6
2 2 16(1-cosθ) [2(1-cosθ)] 4 9
3*4 5*6 7*8 2 3 16(1-cosθ) [2(1-cosθ)] 4 9 13*4 5*6 7*8 9*10 2 4 16(1-cosθ) [2(1-cosθ)] 4 9 1 253*4 5*6 7*8 9*10 11*12
推导过程参见《割圆八线缀术》，清同治十二年荷池精舍出版，吴嘉善，徐有壬在长沙编撰
收录于《白芙堂算学丛书》, 推导过程参见《测圆海镜细州》，清同治十二年荷池精舍出版，金李治1248年编撰, 收录于《白芙堂算学丛书》, 推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰, 收录于《白芙堂算学丛书》,
借弧求正余弦,
视本弧过三十度至六十度内者，对于本身弧长30度到60度的弧，借四十五度弧，如甲丙与本弧甲丁或甲戊相减，余为较弧如丁丙或丙戊，较弧只在十五度内，如法求得较弧正弦，如丁戌如戊戌，皆即酉戌正矢，如丙戌，仍以半径丙已为一率，借弧弦，如丙庚或丙辛，为二率，较弧弦矢相加，如丙酉，或相减如申酉，为三率，四率为弦较，如丙丑，如丙演，或如申卯，如申辰与卯酉，丁丑，辰酉，戊演，俱等以与借弧弦相加，如戊亥同丁子，或相减，如丁壬同戊葵，即得本弧之正弦，正弦如丁壬同戊葵，余弦如丁子同戊亥，三率，本弧在六十度内，求正弦，则加成丙酉，求余弦，则减余申酉，本弧在三十度外，求正弦，则减余申酉，求余弦，则加成丙酉，四率，在四十五度内求正弦，则减余丑庚，求余弦，则加成丁子，在四十五度外，求正弦，则加成戊亥，求余弦则减余演辛。
设如，本弧三十三度，求正弦。
法以本弧三十三度，减借弧四十五度，余一十二度，如法求之，得正弦二百零七万九千一百一十七，得正矢二十一万八千五百二十四，弦矢相加，得二百二十九万七千六百四十一，乃以半径为一率，借弧正弦七百零七万一千零六十八，为二率，较弧弦矢相加得二百二十九万七千六百四十一，为三率，求得四率，一百有六十有二万四千六百七十七，以与借弧正弦七百零七万一千零六十八相减，余五百四十四万六千三百九十一，即三十三度之正弦也，
33°<45°,
45°-33°=12°,
sin12°=0.2079117,
versin12°=0.0218524,
a一率r=1 a=1
b二率sin45°=0.7071068 b=sin45°
c三率 sin12°+versin12°=0.2079117+0.0218524=0.2297641 c=sin12°+versin12°
d四率0.2297641/1.414213562=0.162467753 d=c/√2
sin33°=b-d=0.7071068-0.162467753=0.544639046，
sin33°=b-d=sin45°-(sin12°+versin12°)/√2
=sin45°-[sin(45°-33°)+versin(45°-33°)]/√2
sinθ=sinπ/4-[sin(π/4-θ)+versin(π/4-θ)]/√2， 0<θ≤π/4，
如求五十七度正弦，则以较弧弦矢相减，余一百八十六万零五百九十三，为三率，求得四率，一百三十一万五千六百三十七，与借弦正弦七百零七万一千零六十八相加，得八百三十八万六千七百零六，即五十七度之正弦也。
57°>45°，
57°-45°=12°，
sin12°=0.2079117，
versin12°=0.0218524，
a一率r=1 a=1
b二率sin45°=0.7071068 b=sin45°
c三率sin12°-versin12°=0.2079117-0.0218524=0.1860593 c=sin12°-versin12°
d四率0.1860593/1.414213562=0.131563792 d=c/√2
sin57°=b-d=0.7071068-0.131563792=0.575543007，
sin57°=b-d=sin45°-(sin12°-versin12°)/√2
=sin57°-[sin(57°-45°)+versin(57°-45°)]/√2
sinθ=sinπ/4-[sin(π/4-θ)-versin(π/4-θ)]/√2，π/4<θ≤π/2，
借弦求弧，
视正弦，若过半径十分之五至十分之六，借三十度正弦五零零零零零零，余弦八六六零二五四，用之，若过半径十分之六至十分之八，借四十五度正弦，余弦，皆七零七一零六八，用之若过半径十分之八至十分之九，借六十度正弦八六六零二五四，余弦五零零零零零零，用之，先以本弧正弦求得，本弧余弦，次以本弧正弦，与借弧正弦相减，余为正弦，较如丙演，或戊辰，皆为股以本弧余弦，与借弧余弦，相减，余为余弦，较如，演丁，或辰丙，皆为勾，求得弦如丙丁，或丙戊，为较弧通弦，如法求得较弧，如丙丁弧，或丙戊弧，与借弧相加减，得本弧，本弧正弦大于借弧正弦，则两弧相加，本弧正弦小于借弧正弦，则两弧相减。
设如正弦五百四十四万六千三百九十一，求弧度，
法以半径一千万为弦，正弦五百四十四万六千三百九十一为勾，次借三十度正弦五百万，与本弧正弦五百四十四万六千三百九十一相减，余四十四万六千三百九十一，为正弦，较为股，借三十度余弦八百六十六万零二百五十四，与本弧余弦八百三十八万六千七百零六相减，
余二十七万三千五百四十八，为余弦，较为勾，求得弦五十二万三千五百三十九，为通弦，如法求之得通弦三度，以与借弧三十度相加，得三十三度，即所求之弧度也，如正弦为八百三十八万六千七百零六，则借六十度正弦，余弦，如法求之，亦得通弦五十二万三千五百三十九，求得通弧三度，与借弧六十度相减，的五十七度，亦所求之弧度也。
33°<45°，sinθ=0.5446391，
45°-33°=12°，versin12°=0.0218524，
a弦r=1 a=1
b勾sinθ=0.5446391 b=sinθ
c 较为股sinθ-sin30°=0.5446391-0.5=0.0446391 c=sinθ-sin30°
d较为勾cosθ-cos30°=0.8660254-0.8386706=0.0273549 d=c/√2,
2 2
通弦 (sinθ-sin30°) +(cosθ-cos30°) = 0.001992649249+0.000748290554
= 0.002740939803 =0.052353985=3°
θ=3°+30°=33°,
2 2
θ=30 °- (sinθ-sin30°) +(cosθ-cos30°) 30°<θ≤45°
2 2
θ=30 °+ (sinθ-sin30°) +(cosθ-cos30°) 30°<θ≤45°
2 2
θ=60 °- (sinθ-sin60°) +(cosθ-cos60°) 45°<θ≤60°
2 2
θ=60 °+ (sinθ-sin30°) +(cosθ-cos30°) 60°<θ≤90°
上二法，又为捷法中之捷法，借弧求弦，先求较弧之弦矢，弦矢可并求也，法以半径为连比例第一率，弧本数为第二率，二率自乘，一率除之，得第三率，后每率皆用二率自乘一率除之，得相连诸率。
第一率半径，第二率弧本数，一除之（其数不变）为第一条，（求弦第一条）, 第三率二除之，为第二条，（求矢第一条）, 第四率三除之，为第三条，（求弦第二条）, 第六率五除之，为第五条，（求弦第三条）, 第七率六除之，为第六条，（求矢第三条）, 第八率七除之，为第七条，（求弦第四条）, 第九率八除之，为第八条，（求矢第四条）, 第一条与第五条相并，第三条与第七条相并，两数相减，余即正弦，第二条与第六条相并，第四条与第八条相并，两数相减，余即正矢。
七求弦矢：
法以半径一千万，为第一率，弧本数五百二十三万五千九百八十七，为第二率，一除之，得五百二十三万五千九百八十七，为第一条，（求弦第一条）, 以第一条，二率乘之，一率除之，得二百七十四万一千五百五十六，为第三率，二除之，得一百三十七万零七百七十八，为第二条，（求矢第一条）, 以第二条，二率乘之，一率除之，得七十一万七千七百三十七，为第四率，三除之，得二十三万九千二百四十五，为第三条，（求弦第二条）, 以第三条，二率乘之，一率除之，得一十二万五千二百六十八，为第五率，四除之，得三万一千三百一十七，为第四条，（求矢第二条）, 以第四条，二率乘之，一率除之，得一万六千三百九十七，为第六率，五除之，得三千二百七十九，为第五条，（求弦第三条）, 以第五条，二率乘之，一率除之，得一千七百一十六，为第七率，六除之，得二百八十六，为第六条，（求矢第三条）, 以第六条，二率乘之，一率除之，得一百四十九，为第八率，七除之，得二十一，为第七条，（求弦第四条）, 以第七条，二率乘之，一率除之，得一十零，为第九率，八除之，得一，为第八条，（求矢第四条）,第一条与第五条相并，第三条与第七条相并，两数相减，余五百万，即三十度正弦，第二条与第六条相并，第四条与第八条相并，两数相减，余一百三十三万九千七百四十六，即三十度正矢。
a一率r=1
b二率θ=0.5235987 b=θ,
c第一条，求弦第一条θ=0.5235987 c=θ，
2 2
d三率θ =0.274155598, d=θ /r
2
e第二条, 求矢第一条θ /2=0.274155598/2=0.137077799 e=d/2
f四率0.1370777990.5235987=0.071773757 f=eb/r、
g第三条，求弦第二条0.071773757/3=0.023924585 g=f/3，
h五率 0.0239245850.5235987/1=0.012526882 h=gb/r
i 第四条, 求矢第二条0.012526882/4=0.003131720511 i=h/4
j六率0.0031317205110.5235987/1=0.001639764788 j=ib/r
k 第五条, 求弦第三条0.001639764788/5=0.0003279529577 k=j/5.
m七率0.00032795295770.5235987=0.001717157423 m=kb/r
n第六条, 求矢第三条0.001717157423/6=0.00002861929038 n=m/6
o八率0.000028619290380.52359871=0.00001498502353 o=nb/r
p第七条，求弦第四条0.00001498502353/7=0.000002140717647 p=o/7,
q九率0.0000021407176470.5235987=0.000001120876977 q=pb/r，
s第八条, 求矢第四条0.000001120876977/8=0.0000001401096221 s=q/8,
sin0.5235987=c+k-g-p
=θ+j/5-f/3-o/7=0.5235987+0.0003279529577-0.023924585-0.000002140717647=0.4999999927
2 2 2 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ
sinθ=θ- + -
2 3 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7
3 5 7 θ θ θ
sinθ=θ- + - -
6 120 5040
3 5 7
sinθ=θ-θ /6+θ /120-θ /5040
sinθ=c+k-g-p=θ+j/5-f/3-o/7
=0.5235987+0.0003279529577-0.023924585-0.000002140717647=0.4999999927
versin0.5235987=e+n-i-s
=0.137077799+0.00002861929038-0.003131720511-0.0000001401096221=0.133974557
cos0.5235987=1-e-n+i+s
=1-0.137077799-0.00002861929038+0.003131720511+0.0000001401096221=0.866025442
2 2 2
θ θ θ θ θ θ θ θ θ
versinθ= - +
2 2 3 4 2 3 4 5 6
2 4 6 8 θ θ θ θ
versinθ= - + - -
2 24 720 40320
2 4 6 8 θ θ θ θ
cosθ=1- - + - +
2 24 720 40320
2 4 6 8
versinθ=θ /2-θ /24+θ /720-θ /40320
2 4 6 8
cosθ=1-θ /2+θ /24-θ /720+θ /40320
借弧求弦矢，极多不过求至四条，如或只有三条（四条已在单位下），即一第一条与第三条相并，与第二条相减，若只有一条，一条即弦矢也，弦矢并求极多，不过求至八条，即得弦矢可用八线相求切割。附录梅文穆赤水遗珍。
推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰, 收录于《白芙堂算学丛书》,
弧线表
度、分、秒化弧度表
度
1，0.017453292519943
2，0.034906585039886
3，0.052359877559829
4，0.069813170079773
5，0.087266462599716
6，0.104719755119659
7，0.122173047639603
8，0.139626340159546
9，0.15709632679489
10，0.174532925199432
分
1，0.000290888208665
2，0.000581776417331
3，0.000872664625997
4，0.001163552834662
5，0.001454441043328
6，0.001745329251994
7，0.002036217460660
8，0.002327105669325
9，0.002617993877991
10，0.002908882086657
秒
1，0.000004848136811
2，0.000009696273623
3，0.000014544410432
4，0.000019392547244
5，0.000024240684055
6，0.000029088820866
7，0.000033936957677
8，0.000038785094488
9，0.000043633221299
10，0.000048481368111
注：90°=1.570796226794896，
59°=50.174532925199432+90.017453292519943=1.029744258，
立表之法
置全周密率为实，以三百六十度，除之，得每度之弧线，屡加之至十度，又置一度之弧线为实，以六十分除之，得一分之弧线，屡加之至十分，又置一分之弧线为实，以六十秒除之，得一秒之弧线，屡加之至十秒，表而列之，为求弦矢之用。
求弦矢捷法
弧矢，割圆之术，有弧背，即可以求弦矢，然非密率大，测割圆之法，理精数密，然不能随度，以求弦矢，今任设畸零之弧，分，度，不必符乎，六宗法不必依乎，三要而弦矢可得，且与密率无殊焉，斯诚术之奇而捷者。
设弧二十一度一十九分五十一秒，（半径八位），求其正弦，
21°19`51``=0.34906585+0.01745329+0.0029088+0.00261799+0.0002424+0.0000484
=0.37229325
法于弧线表内，取二十度一十九分五十一秒之弧线，而并之得三七二二九三二五（因半径八位，故弧线亦之用八位），为设弧之，其分自乘得一三八六零二二六（亦只用八位），为屡乘数，又以二三四五六七之六数相挨，两两相乘为除数，（如二三相乘，得六，为第一除数，四五相乘，得二十，为第二除数，六七相乘，得四十二，为第三除数），即用设弧，其分为第一得数，复为实，以屡乘数乘之，（凡乘出之数，截去末八位后，放此），第一除数六除之得八六零零一一，为第二得数，又为实，以屡乘数乘之，第二除数十二除之，得五九五九，为第三得数，又为实，以屡乘数乘之，第三除数四十二除之，得一十九，为第四得数，乃以第一得数与第三得数相并，又以第二得数与第四得数相并，末以后并数，减前并数，余三六三七五二五四，截去末一位，即所求之正弦也。（凡正弦俱小于半径，人算时，多用一位以齐尾数，故得数后，亦截去一位，也后放此，）
21°19`51``=0.37229325
2
a第一数0.37229325*0.37229325=0.138602264 a=θ
3
b第二数0.1386022640.37229325/6=0.008600114554 b=θ /6
c第三数0.0086001145540.138602264/20=0.00005959976739 c=ab/20
d第四条0.00005959976739*0.138602264/42=0.0000001966824451 d=ac/42
sin0.37229325
=0.37229325+0.0005959976739-0.008600114554-0.0000001966824451=0.364288936
3 3 2 3 2 2 3 2 2 θ θ θ θ θ θ θ θ θ
sinθ=θ- + - +…-(-1) …
23 23 45 23 45 67 (n+1)(n+2) (n+3)(n+4)…(n+k)(n+k+1)
设弧十六度二十七分四十三秒（半径九位），
求其正弦，
16°27`43``=0.17453292519+0.10471975511+0.0581776417+0.203621746+0.0019392547+0.0001454441=0.28731513181
法取，设弧度分秒之弧线而并之，得二八七三一五一三（因半径九位，故弧线亦用九位），为设弧之其分自乘，得八二五四九九八五零，为屡乘数，又用二三相乘之六，为第一除数，四五相乘之二十，为第二除数，六七相乘之四十二，为第三除数，即用设弧其分为第一得数，复为实以屡乘数乘之，第一除数六除之，得三九五二九七六为第二得数，又为实以屡乘数乘之，第二除数十二除之，得一六三一五，为第三得数，又为实以屡乘数乘之，第三除数四十二除之，得三二，为第四得数，乃以第一得数与第三得数相并，又以第二得数与第四得数相并，复以后并数减前并数，余二八三三七八四三九，截去末一位，即所求之正弦也。
16°27`43``=0.28731513181,
2
a第一数0.28731513181*0.28731513181=0.08254998497 a=θ
3
b第二数0.287315131810.08254998497/6=0.00395297664 b=θ /6
c第三数0.003952976640.08254998497/20=0.00001631591 c=ab/20
d第四条0.000016315910.08254998497/42=0.00000003207 d=ac/42
sin0.28731513181=0.08254998497+0.00001631591-0.00395297664-0.00000003207
=0.283378439
3 3 2 3 2 2
θ θ θ θ θ θ
sinθ=θ- + -
23 23 45 23 45 6*7
3 3 2 3 2 2 3 2 2 θ θ θ θ θ θ n+1 θ θ θ
sinθ=θ- + - +…-(-1) …
23 23 45 23 45 67 (n+1)(n+2) (n+3)(n+4)…(n+k)(n+k+1)
如求正矢，法以设弧其分自乘之，八二五四九九八五零为屡乘数，又以三四相乘之十二，为第一除数，五六相乘之三十，为第二除数，七八相乘之五十六，为第三除数，乃以屡乘数折半，为第一得数，为实以屡乘数乘之，第一除数二十除之，得二八三九三八六，为第二得数，又为实以屡乘数乘之，第二除数十三除之，得七八一三，为第三得数，又为实以屡乘数五十六除之，得一一，为第四得数，于是以第一得数与第三得数相并，以第二得数与第四得数相并，复以两并数相减，得四零九九一八三四一。截去末二位，即所求之正矢也。以正矢减半径，得九五九零零八一七，即设弧之余弦，亦即余弧七十三度三十二分十七秒之正弦。如设弧过四十五度以上者，先求得余弧之正矢，以减半径，即得设弧之正弦也。
16°27`43``=0.28731513181
2
a 0.28731513181*0.28731513181=0.08254998497 a=θ
2
b第一数0.08254998497/2=0.04127499249 b=θ /2
c第三数0.00028393750.08254998497/30=0.0000007813 d=ac/30
e第四条0.00000078130.08254998497/56=0.000000115 e=da/56
versin0.28731513181=0.04127499249+0.0000007813-0.0002839375-0.000000115=0.409918341
2 2 2 2 2 2 θ θ θ θ θ θ
versinθ= - +
12 12 34 12 34 56
2 2 2 2 2 2 2 2 2 θ θ θ θ θ θ n+1 θ θ θ
versinθ= - -+ +…-(-1) …
12 12 34 12 34 56 n(n+1) (n+2)(n+3)…n(n+k)
2 2 2 2 2 2 θ θ θ θ θ θ
cosθ=1- - + -
12 12 34 12 34 56
2 2 2 2 2 2 2 2 2 θ θ θ θ θ θ n+1 θ θ θ
cosθ=1- - -+ +…-(-1) …
12 12 34 12 34 56 n(n+1) (n+2)(n+3)…n(n+k)
tgθ=sinθ/cosθ=
3 3 2 3 2 2 3 2 2
θ θ θ θ θ θ n+1 θ θ θ
θ- - -+ - +…-(-1) …
23 23 45 23 45 67 (n+1)(n+2)(n+3)(n+4) (n+k)(n+k+1)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 θ θ θ θ θ θ n+1 θ θ θ1- - -+ +...-(-1) … 1*2 1*2 3*4 1*2 3*4 5*6 n(n+1) (n+2)(n+3)…n(n+k)
右三术，梅文穆所译，杜德美法也，而弦矢求弧背者，缺焉，其于立法之原，亦无一语道及，盖杜氏藏匿根数秘而不宣，今乃知其用连比例术，以半径为一率，设弧共分为二率，二率自乘，一率除之，得三率，二率三率相乘，一乘，除之，得四率，由是推之，三率自乘，一率除之，得五率，三率四率相乘，一率除之，得六率，三率五率相乘，一率除之，得七率，三率六率相乘，一率除之，得八率，三率七率相乘，一率除之，得九率，循序而进，虽至亿万胥，如是也，文穆所谓，设弧共分自乘，为屡乘数，即二率之自乘也，其截去末八位者，即以一率半径一千万除之也，以七千万除其数，不变降八位而已，设半径为十万，则所截者，为末六位，而非八位，或半径非一之整数，则又非以其数除之，不可以皆布算者，宜知也至其立法之原则，有明净庵氏，董方立氏，项梅吕氏，戴鄂士氏，及徐庄憨公，各自立术，开发靡遗，皆详，本书兹不赘。
第六部分三角函数的计算缀术
推导过程可参见《古今算学丛书，圆率考真》，光绪戊戌六月算学书局印，详细推导过程可参见《古今算学丛书，切线求弧》和缀术页，
平面XOY中，存在单位圆，它的半径r=1,圆心O点，AB是圆O的切线，切点在C点，AB垂直于X轴，AO与圆O交于F点，FG是圆O的切线，切点在F点，ED平行于FG,D在直线AB上，FG平行于ED, ∠DOE=α,FG=ED，在直角三角形OED中，tgα=FG/FO，根据平面几何相关性质，可得，FG/FO=AD/BD，
AK是圆O的切线，切点在K点，AK垂直于Y轴，DH平行于AK，和Y轴交于H,，
因为，tgα=FG/FO，
FG/FO=AD/BD，ED=FG,
在三角形AED中，根据勾股定理，
AD=√2ED,
因为, AD=HK, HO=r-KH,
在三角形OHD中，根据勾股定理，
2 2 2
DO =DH +HO
DH=OC=r,
所以，
2 2 2
DO =r +(r-KH)
2 2 2
DO =r +(r-AD)
2 2 2
DO =r +(r-√2ED)
sinα=ED/DO,
因为 r=1,
2 2
DO =2-2√2ED+2ED
2
sinα=ED/(2-2√2ED+2ED )
因为ED是弧的切弦，所以，也就是说，当60°<α≤90°时，切弦和其弧的比值是4/π，也就是说，当30°<α≤60°时，切弦和其弧的比值是3√3/π，也就是说，当0°<α≤30°时，切弦和其弧的比值是3√2/π，
ED≈4α/π,当60°<α≤90°时，
ED≈α3√3/π,当30°<α≤60°时，
ED≈α3√2/π,当0°<α≤30°时，
同时，切弦和其弧的比值是 tgα/α，ED =tgα/α,
2
sinα=ED/(2-2√2ED+2ED )
2
sinα=tgα/α(2-4*2√2tgα/α+2(tgα/α) )
2 2
sinα=tgα/α(2-8tgα/α+2tg α/α )
2 2
cosαtgα=tgα/α(2-8tgα/α+2tg α/α )
2 2
cosα=1/α(2-8tgα/α+2tg α/α )
2 2
αcosα(2-8tgα/α+2tg α/α )=1
因为，
tgα=sinα/cosα，
2 2 2
tg α= (1-cos α)/cos α
2 2 2
tg α*cos α+cos α-1=0
2 2
(tg α+1)cos α-1=0
根据一元二次方程求根公式，得
2
ax +bx+c=0,
上面一元二次方程的求根公式是
2
-b± b -4ac
2a
解方程，得
2
cosα= ± (tg α+1)
2
(tg α+1)
因为，
2 2
αcosα(2-8tgα/α+2tg α/α )=1
所以,
2 2 2 2 2
α cos α[(2-8tgα/α+2tg α/α ) ]=1
2 2 2 2 2
α [(2-8tgα/α+2tg α/α ) ]=tg α+1
4 4 3 3 2 2 2 2
4tg α/α -32tg α/α +72tg α/α -32tgα/α+4=αtg α+α
4 4 3 3 2 2 2 2
4tg α/α -32tg α/α +72tg α/α -32tgα/α+4-αtg α-α =0
4 3 2 2 3 4 5 2 6
tg α-8αtg α+18α tg α-8α tgα+α -α tg α/4-α /4=0
根据一元四次方程费拉里求根公式
4 3 2
y +ay +by +cy+d=0 (13)
预先代以y=x-a/4化方程(13)为,
4 2
x +px +qx+r=0
上式中, h=-a/4, y=x-a/4,
2 4 3 4 3
p=6h +3ah, r=h +ah +h+d, q=4h +3ah +c,
解得,
p q 2t ± 2t -4( +t + ) 0 0 2 0 2 2t 0
y=x-a/4= -a/4
2
其中,
3
3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)
t = + +
0 2 4 27
3 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)
- + 2 4 27
解上面的关于tgα的一元四次方程式，得
p q 2t ± 2t -4( +t + ) 0 0 2 0 2 2t 0
tgα=x-a/4= -a/4
2
其中,
3
3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)
t = + +
0 2 4 27
3 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)
- + 2 4 27
上式中, h=-a/4, y=x-a/4,
2 4 3 4 3
p=6h +3ah, r=h +ah +h+d, q=4h +3ah +c,
2 5 3 4 6
a=-α, b=18α -α /4, c=8α , d=α -α /4,
第一种情况：
ED≈4α/π,当60°<α≤90°时，
2
sinα=ED/(2-2√2ED+2ED )
2
sinα=4α/π(2-4*2√2α/π+2(4α/π) )
2 2
sinα=4α/π(2-8√2α/π+32α /π )
2 2
cosα= 1-4α/π(2-8√2α/π+32α /π )
2 2 4α/π(2-8√2α/π+32α /π )
tgα=sinα/cosα=
2 2
1-4α/π(2-8√2α/π+32α /π )
第二种情况：
ED≈α3√3/π,当30°<α≤60°时，
2
sinα=ED/(2-2√2ED+2ED )
2
sinα=α3√3/π(2-2√2α3√3/π+2(α3√3/π) )
2 2
sinα=α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )
2 2
cosα= 1-α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )
2 2 α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )
tgα=sinα/cosα=
2 2
1-α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )
第三种情况：
ED≈α3√2/π,当0°<α≤30°时，
2
sinα=ED/(2-2√2ED+2ED )
2
sinα=α3√2/π(2-2√2α3√2/π+2(α3√2/π) )
2 2
sinα=α3√2/π(2-12α/π+36α /π )
2 2
cosα= 1-α3√2/π(2-12α/π+36α /π )
2 2 α3√2/π(2-12α/π+36α /π )
tgα=sinα/cosα=
2 2
1-α3√2/π(2-12α/π+36α /π )
因为,
2
sinα(2-2√2ED+2ED )-ED=0
2
2sinα-2√2EDsinα+2sinαED -ED=0
根据一元二次方程求根公式，得
2
ax +bx+c=0,
上面一元二次方程的求根公式是
2
-b± b -4ac
2a
解方程，得
2 2
ED= 2√2sinα+1± (2√2sinα+1) -16sin α
4sinα
2
ED= 2√2sinα+1± -8sin α+4√2sinα+1
4sinα
因为ED是弧的切弦，所以，
α≈ED,
2
α≈ 2√2sinα+1± -8sin α+4√2sinα+1
4sinα
平面XOY中，存在单位圆，它的半径r=1,圆心O点，AB是圆O的切线，OE垂直于AB，OE=r=1, ∠AOB=α,
所以根据平面几何相关知识，
当α=90°时，∠AOB=α=90°, BE=OE=r=1,
在三角形BEO中，根据勾股定理,
BO=√2EO=√2,
在三角形AEO中，根据勾股定理,
AO=√2EO=√2,
在三角形AOB中，根据勾股定理,
AB=√2AO=2,
DC和圆O交于D,EC和圆O交于E,
∠DOC=∠AOB=α=90°,
DC =π/2,
所以,
DC /AB=π/4
DC =AB*π/4
也就是说，当60°<α≤90°时，弧和其切弦的比值是π/4,
AB= DC 4/π
也就是说，当60°<α≤90°时，切弦和其弧的比值是4/π,
推导过程可参见《古今算学丛书，象数一原》，光绪戊戌六月算学书局印,
平面XOY中，存在单位圆，它的半径r=1,圆心O点，AB是圆O的切线，AC垂直于X轴，AD是圆O的切线，AD垂直于Y轴，∠AOB=α, 所以根据平面几何相关知识，
当α=60°时，AC=DO=r=1,
设∠AOB=∠ABO=α, 在三角形OHD中，根据勾股定理,
AB=2/√3AC=2/√3,
OA和圆O交于E,OB和圆O交于F,
EF =π/3
EF /AB=π√3/6
EF =AB*π√3/6
也就是说，当30°<α≤60°时，弧和其切弦的比值是π√3/6,
AB= EF 3√3/π
也就是说，当30°<α≤60°时，切弦和其弧的比值是3√3/π,
如图4所示, 平面XOY中，存在单位圆，它的半径r=1,圆心O点，AB是圆O的切线，AC垂直于X轴，AD垂直于Y轴，∠AOB=α, 所以根据平面几何相关知识，
当α=30°时，AC=r/2=1/2,
在三角形ACB中，根据勾股定理
设∠ABC=45°，所以AB=1/√2,
OA和圆O交于E,OB和圆O交于F,
EF =π/6
EF /AB=π√2/6
EF =AB*π√2/6
也就是说，当0°<α≤30°时，弧和其切弦的比值是π√2/6
AB= EF 3√2/π
也就是说，当0°<α≤30°时，切弦和其弧的比值是3√2/π,
如图5所示, 平面XOY中，存在单位圆，它的半径r=1,圆心O点，AB是圆O的切线，OE垂直于AB，OE=r=1, ∠AOB=α,
所以根据平面几何相关知识，∠EOB=α/2,
在三角形BEO中，根据勾股定理
BE=tg(α/2), AB=tg(α/2),
OA和圆O交于D,OB和圆O交于C,
DC =α
所以,
DC /AB=α/tgα
DC =AB*α/tgα
也就是说，弧和其切弦的比值是α/tgα,
AB= DC tgα/α
也就是说，切弦和其弧的比值是 tgα/α,
第七部分三角函数的计算
下面介绍一种计算三角函数的方法，
如图1所示：在圆O中，圆O的半径是1，MN是单位圆上的1/4圆弧，
它的角度是90°，P是弧MN上任意一点，
过P点作PP⊥OM,过P点作PP``⊥ON, 在直角三角形NP``P中， ∠NPP``=α，NP``=b,NP=c,PP``=e, 在直角三角形MP``P中，∠PMP=β，PP=a,MP=d,MP=f,
在直角三角形NP``P中，
sinα=b/c,cosα=e/c,
2 2
sin α+cos α=1,
所以，
2 2
(b/c) +(e/c) =1
在直角三角形NP``P中，
sinβ=a/d,cosβ=f/d,
2 2
sin β+cos β=1,
所以，
2 2
(a/d) +(f/d) =1
因为，e=ccosα,b=csinsα, a+b=1,e+f=1，
所以，
2 2
(1-e) (1-b)
+ =1
d d
2 2(1-c*cosα) (1-c*cosα)+ =1d d
在圆弧MN上，c/d=β/α, α+β=π/2,
所以, d=αc/β=αc/(π/2-α),
2 2(1-c*cosα) (1-c*cosα)+ =1 (1)
αc/(π/2-α) αc/(π/2-α)
如图2所示，在1/4圆弧中，AO=BO=1,AB=√2,
AB = π/2, θ= π/2,
设弧上的单位弦长为γ，则
γ=kθ/√2= πk/2√2,
上式中，k=1.1,
或,
3 3
k=0.33α +0.5α +α+1
所以, c=πkα/2√2,
上式中，k=1.1,
或,
3 3
k=0.33α +0.5α +α+1
(1)可以化简为
2 2 2
(1-πkαcosα/2√2) (1-πkαsinα/2√2)
+ =1 (1)
απkα/2√2(π/2-α) απkα/2√2(π/2-α)
2 2
1-πkαcosα/√2+(πkαcosα/2√2) +1-πkαsinα/√2+(πkαsinα/2√2)
2
=α πk/2√2(π/2-α)
2 2
2-πkα(cosα+sinα)/√2 +(πkα/2√2) =α πk/2√2(π/2-α) (2)
因为,
(cosα+sinα)√2/2=cosαsin(π/4)+sinαcos(π/4)=sin(α+π/4),
cosα+sinα=2sin(α+π/4)/√2,
(cosα+sinα)√2/2=cosαsin(π/4)+sinαcos(π/4)=cos(α-π/4),
cosα+sinα=2cos(α-π/4)/√2
(2)可以化简为,
2 2
2-πkαsin(α+π/4) +(πkα/2√2) -α πk/2√2(π/2-α)=0
sin(α+π/4)=-2/πkα -πkα/8+α/2√2(π/2-α),
α=arcsin[-2/πkα -πkα/8+α/2√2(π/2-α)]-π/4, (3)
tgα=tg{arcsin[-2/πkα -πkα/8+α/2√2(π/2-α)]-π/4},
(2)可以化简为,
2 2
2-πkαcos(α-π/4) +(πkα/2√2) -α πk/2√2(π/2-α)=0
cos(α-π/4)=-2/πkα -πkα/8+α/2√2(π/2-α),
α=arccos[-2/πkα -πkα/8+α/2√2(π/2-α)]+π/4 (4)
tgα=tg{arccos[-2/πkα -πkα/8+α/2√2(π/2-α)]+π/4}
在直角三角形PP`M中，sinα=b/c,cosα=e/c,
2 2
sin α+cos α=1,
所以,
2 2
(b/c) +(e/c) =1
在直角三角形NP``P中，sinβ=a/d,cosβ=f/d,
2 2
sin β+cos β=1,
所以,
2 2
(a/d) +(f/d) =1
因为, f=dcosβ,a=dsinβ, a+b=1,e+f=1,
所以,
2 2
(1-a) (1-f)
+ =1
c c
2 2(1-d*sinβ) (1-d*cosβ) + =1c c
在圆弧MN上，c/d=β/α, α+β=π/2,
所以, c=βd/α=βd/(π/2-β),
2 2
(1-dsinβ) (1-dcosβ)
+ =1
βd/(π/2-β) βd/(π/2-β)
如图2所示，在1/4圆弧中，AO=BO=1,AB=√2,
AB = π/2, θ= π/2,
设弧上的单位弦长为γ，则
γ=θk/√2= πk/2√2,
上式中，k=1.1,
或,
3 2
k=0.33α +0.5α +α+1
所以, d=πkβ/2√2,
上式中，k=1.1,
或,
3 2
k=0.33β +0.5β +β+1
(1)可以化简为
2 2 2
(1-πkβcosβ/2√2) (1-πkβcosβ/2√2)
+ =1 (1)
βπkβ/2√2(π/2-β) βπkβ/2√2(π/2-β)
2 2
1-πkβcosβ/√2+(πkβcosβ/2√2) +1-πkβsinβ/√2+(πkβsinβ/2√2)
2
=β πk/2√2(π/2-β)
2 2
2-πkβ(cosβ+sinβ)/√2 +(πkβ/2√2) =β πk/2√2(π/2-β) (2)
因为,
(cosβ+sinβ)√2/2=cosβsin(π/4)+sinβcos(π/4)=sin(β+π/4),
cosβ+sinβ=2sin(β+π/4)/√2,
(cosβ+sinβ)√2/2=cosβsin(π/4)+sinβcos(π/4)=cos(β-π/4),
cosβ+sinβ=2cos(β-π/4)/√2,
(2)可以化简为
2 2
2-πkβsin(β+π/4) +(πkβ/2√2) -β πk/2√2(π/2-β)=0
sin(β+π/4)=-2/πkβ -πkβ/8+β/2√2(π/2-β),
β=arcsin[-2/πβ -πβ/8+β/2√2(π/2-β)]-π/4,
tgβ=tg{arcsin[-2/πkβ -πkβ/8+β/2√2(π/2-β)]-π/4},
(2)可以化简为,
2 2
2-πβcos(β-π/4) +(πβ/2√2) -β π/2√2(π/2-β)=0
cos(β-π/4)=-2/πkβ -πkβ/8+α/2√2(π/2-β),
β=arccos[-2/πβ -πβ/8+β/2√2(π/2-β)]+π/4 (4),
tgβ=tg{arccos[-2/πkβ -πkβ/8+β/2√2(π/2-β)]+π/4},
在图1中，因为
NP + MP =π/2
所以,
cosα+cosβ=r,sinα+sinβ=r,
α+β=π/2,
α=arcsin[-2/πα -πα/8+α/2√2(π/2-α)]-π/4,
β=arcsin[-2/πβ -πβ/8+αβ/2√2(π/2-β)]-π/4
arcsin[-2/πα -πα/8+α/2√2(π/2-α)]-π/4+arcsin[-2/πβ -πβ/8+β/2√2(π/2-β)]-π/4=π/2,
arcsin[-2/πα -πα/8+α/2√2(π/2-α)]=arcsin[-2/πβ -πβ/8+β/2√2(π/2-β)]
-2/πα -πα/8+α/2√2(π/2-α)=-2/πβ -πβ/8+β/2√2(π/2-β)
-2/πα -πα/8+α/2√2(π/2-α)=-2/[π(π/2-α)] -π(π/2-α)/8+(π/2-α)/2√2α
2 2 2 2
-2(π/2-α)/π –πα (π/2-α)/8+α /2√2=-2α/π-π(π/2-α) α/8+(π/2-α) /2√2
3 2 2 3 4 2
-1+2α/π-π α /16+π α /8-πα /8+α /2√2
3 2 2 3 2 2
=-2α/π-π α/32+α π /8-πα /8+π /8√2-πα/2√2+α /2√2
4 2 3 3 2 2 3
πα /8+(-π /8-π/8)α +(π /16+π /8)α +(-2/π-2/π -π /32-π/2√2)α+1
2
+π /8√2=0
这样就得到一个关于α的一元四次方程式，
根据一元四次方程费拉里求根公式
4 3 2
y +ay +by +cy+d=0 (13)
预先代以y=x-a/4化方程(13)为,
4 2
x +px +qx+r=0
上式中, h=-a/4, y=x-a/4,
2 4 3 4 3
p=6h +3ah, r=h +ah +h+d, q=4h +3ah +c,
解得,
p q 2t ± 2t -4( +t + ) 0 0 2 0 2 2t 0
y=x-a/4= -a/4
2
其中,
3
3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)
t = + +
0 2 4 27
3 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)
- + 2 4 27解下面的一元四次方程
4 2 3 3 2 2 3
πα /8+(-π /8-π/8)α +(π /16+π /8)α +(-2/π-2/π -π /32-π/2√2)α+12
+π /8√2=0
2 3 2
-π /8-π/8 π /16+π /8
a= , b= ,
π/8 π/83 2-2/π-2/π -π /32-π/2√2 1+π /8√2
c= =
π/8 π/82 4 3 3 2
h=-a/4, p=6h +3ah, r=h +ah +h+d, y=x-a/4, q=4h +3ah +c
解得,
p q 2t ± 2t -4( +t + ) 0 0 2 0 2 2t 0
y=x-a/4= -a/4
2
其中,
3
3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)
t = + +
0 2 4 27
3 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)
- + 2 4 27
如图3所示，MN是单位圆的一段弧长，单位圆O的半径r=1,
NN⊥ON,MM⊥OM, NN⊥MM,垂足是P, MP=a,NP=b,∠MON=α，MN=c，
a,b在半径上的长度随α发生变化而变化，二者存在比例关系。所以,
k*r/a=π/2α, a=b, r=1, k/a=π/2α, k=1.3, 或
3 2
k=0.33α +0.5α +α+1
在直角三角形NPM中，根据勾股定理
2 2 2
a +b =c
2 2
2a =c
a=c/√2, √2k/c=π/2α, c=2√2kα/π,
在三角形MNC中，NN⊥MO,∠NOM=α，NO=e=r=1,NN=d,MN=c, MN=f,NO=g,
d=rsinα,
c=d/sin(π/2-α/2)=rsinα/sin(π/2-α/2),
因为, sin(π/2-α/2)=cos(α/2),
sinα=2sin(α/2)cos(α/2),
2rsin(α/2)cos(α/2)
c=
cos(α/2)
c=2rtg(α/2), c=2√2kα/π, 2√2kα/π=2rtg(α/2), tg(α/2)=√2kα/πr
因为r=1, tg(α/2)=√2kα/π, tgα=2√2kα/π,
上式中，k=1.3, tg40°=tg0.698132=0.8391,
tg0.698132=21.4140.6981321.3/3.14=0.81739,
解法2:
如图2所示，在1/4圆弧中，AO=BO=1,AB=√2,
AB = π/2, θ= π/2,
设弧上的单位弦长为γ，则γ=θk/√2= πk/2√2,
上式中，k=1.1, 或,
3 2
k=0.33α +0.5α +α+1
所以, c=πkα/2√2, πkα/2√2=2rtg(α/2), tg(α/2)=πkα/4√2,
tgα=πkα/2√2,
上式中，k=1.3,
tg40°=tg0.698132=0.8391,
tg0.698132=3.141591.10.698132/21.414=0.8531,
解法3:
当45°<θ≤90°时,
3 3 2 3 2 2
θ 1 θ θ 1 1 θ θ θ 1 1 1
λ=θ- + -
4 23 4 4 23 45 4 4 4 23 45 67
3 5 7
θ θ θ
λ=θ- + - -
24 1920 80640
3 3 2 2n+1
θ 1 θ θ 1 1 n θ 1 1 1
λ=θ- + -…(-1) n
4 23 4 4 23 45 4 23 45…(2n+1)
当0<θ≤45°时
3 3 2 3 2 2
θ 1 θ θ 1 1 θ θ θ 1 1 1
λ=θ+ + +
4 23 4 4 23 45 4 4 4 23 45 67
3 5 7
θ θ θ
λ=θ+ + + -
24 1920 80640
3 3 2 2n+1
θ 1 θ θ 1 1 θ 1 1 1
λ=θ+ + +…+ n
4 23 4 4 23 45 4 23 45…(2n+1)
所以,
3 5 7
α α α
c=α+ + + -
24 1920 80640
3 5 7
α α α
2r*tg(α/2)=α+ + + -
24 1920 80640
3 5 7
α α α α
tg(α/2)= + + + -
2 24 1920 80640
3 5 7
2α 16α 64α 256α
tgα= + + + -
2 48 3840 161280
3 5 7
α α α
tgα=α+ + + -
3 60 630
tg40°=tg0.698132=0.8391,
3 5 7
0.698132 0.698132 0.698132
0.698132+ + + -
3 60 630
tg40°=tg0.698132=0.698132+0.11342045376+0.00276399005+0.0001282987=0.81444474251
推导过程参见《割圆八线缀术》，清同治十二年荷池精舍出版，吴嘉善，徐有壬在长沙编撰, 收录于《白芙堂算学丛书》, 推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰, 收录于《白芙堂算学丛书》, 推导过程参见《测圆海镜细州》，清同治十二年荷池精舍出版，金李治1248年编撰, 收录于《白芙堂算学丛书》,
如图8所示，在单位圆O中，半径r=1, 弧MN在单位圆上面,P是弧MN上任意一点，
MM⊥OM,PP⊥OP,NN⊥ON,MM⊥OM,PP⊥OP,NN⊥ON,
MM和PP`相交于Q`点，NN`和PN相交于Q点，在直角三角形PQ`M中， ∠PMQ`=α，MP=a,PQ`=d,MQ`=c, 在直角三角形PQN中，∠NPQ=β，NP=b,PQ=e,NQ=f, 因为a在单位圆上面对应的弧长不断变化，因为c在半径OM`上的投影M`P`不断变化，因为d在半径ON上的投影MN不断变化，因为b在单位圆上面对应的弧长不断变化，
因为e在半径OM上的投影PN不断变化，因为f在半径ON``上的投影NS不断变化，
根据上图的几何关系可知,
sinα-sinβ=-m(a-b),
当β=90°, sinβ=1,b=2,
所以, sinα-1=-m(a-2), sinα=-m(a-2)+1,
上式中，m=1.3, 或,
3 2
m=0.33α +0.5α +α+1
例如：
sin40°=sin0.698132=0.6428,
sin0.698132=-1.3*(0.698132-2)+1=0.692428,
根据上图的几何关系可知,
sinα-sinβ=-m(a-b),
当β=0°, sinβ=0,b=0,
所以,
sinα-0=m(a-0), sinα=ma,
上式中，m=1.3, 或,
3 2
m=0.33α +0.5α +α+1
例如：
sin40°=sin0.698132=0.6428,
sin0.698132=0.90.698132=0.62831,
根据上图的几何关系可知,
cosα-cosβ=-n(a-b),
当β=90°, cosβ=0,b=2,
所以, cosα-0=-n(a-2), cosα=-n(a-2),
上式中，n=0.6, 或,
3 2
n=0.33α +0.5α +α+1
例如：
cos40°=cos0.698132=0.7660,
cos0.698132=-0.6(0.698132-2)=0.7811208,
根据上图的几何关系可知,
cosα-cosβ=-n(a-b),
当β=0°, cosβ=1,b=0,
所以, cosα-1=-n(a-0), cosα=-na+1,
上式中，n=0.3, 或,
3 2
n=0.33α +0.5α +α+1
例如：
cos40°=cos0.698132=0.7660,
cos0.698132=-0.30.698132+1=0.79056,
所以, tgα=sinα/cosα,
因为, sinα=-m(a-2)+1, cosα=-n(a-2),
所以,
-m(a-2)+1 m(a-2)-1
tgα=sinα/cosα= =
-n(a-2) n(a-2)
上式中，m=1.3, 或,
3 2
m=0.33α +0.5α +α+1
上式中，n=0.6, 或,
3 2
m=0.33α +0.5α +α+1
例如：
tg40°=tg0.698132=0.8391,
sin0.698132=0.90.698132=0.62831,
cos0.698132=-0.6*(0.698132-2)=0.7811208,
tg0.698132=0.62831/0.7811208=0.80436,
第八部分数学拾遗通弦
推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰，收录于《白芙堂算学丛书》
如图，八线二，通弦为线段己丙，它对应的通弧为弧己丙。它对应的矢是丙庚,丙庚=versinθ=1-cosθ, 角己甲丙=θ，线段己丙=λ，
通弧求通弦，法如弧求正弦，通弧求矢，法如弧求正矢，通弦求通弧法，如正弦求弧，皆以连比例第三率，四除之，以为每次所用之第三率。
设如，通弦六十度，半径一千万，求通弦，法以六十度，弧本数一千零四十七万一千九百七十五，为第一条，半径一千万为第一率，弧本数为第二率，二率自乘，一率除之，又四除之，得二百七十四万一千五百五十六，为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得二百八十七万零九百五十一，为第四率，二除之，三除之，得四十七万八千四百九十一，为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得一十三万一千一百八十一，为第六率，四除之，五除之，得六千五百五十九，为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得一千七百九十三，为第八率，六除之，七除之，得四十二，为第四条，以第一条第三条相并，第二条第四条相并，两数相减，余一千万，即六十度通弦也。
a第一条θ=1.0471975 a=θ,
b一率r=1 b=θr,
c二率 θ=1.0471975 c=θ,
2 2
d三率 θ /41=0.274155651 d=c /4,
e四率0.2741556511.0471975/1=0.287095112 e=ad/r
f第二条0.287095112/6=0.047849185 f=e/23
g六率 0.0478491850.274155651/1=0.013118124 g=fd/r
h第三条0.013118124/45=0.0006559062285 h=g/45
i八率0.00065590622850.274155651=0.0001798203991 i=hd/r
j第四条0.0001798203991/67=0.000004281438073 j=i/67
x=a+h-f-j=θ+g/45-e/23-i/67
=1.0471975+0.0006559062285-0.047849185-0.000004281438073=0.994777439
当45°<θ≤90°时,
3 3 2 3 2 2
θ 1 θ θ 1 1 θ θ θ 1 1 1
λ=θ- + -
4 23 4 4 23 45 4 4 4 23 45 67
3 5 7
θ θ θ
λ=θ- + - -
24 1920 80640
3 3 2 2n+1
θ 1 θ θ 1 1 n θ 1 1 1
λ=θ- + -…(-1) n
4 23 4 4 23 45 4 23 45…(2n+1)
当0<θ≤45°时
3 3 2 3 2 2
θ 1 θ θ 1 1 θ θ θ 1 1 1
λ=θ+ + +
4 23 4 4 23 45 4 4 4 23 45 67
3 5 7
θ θ θ
λ=θ+ + + -
24 1920 80640
3 3 2 2n+1
θ 1 θ θ 1 1 θ 1 1 1
λ=θ+ + +…+ n
4 23 4 4 23 45 4 23 45…(2n+1)
设如，通弦一千万为第一条，半径一千万，为第一率，通弦为第二率，二率自乘，一率除之，又四除之，得二百五十万，为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得二百五十万，为第四率，二除之，三除之，得四十一万六千六百六十六（小于六六），为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得一十万零四千一百六十六（小于六六），为第六率，九乘之，四除之，五除之，得四万六千八百七十五，为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得一万一千七百一十八（小于七五），为第八率，二十五乘之，六除之，七除之，得六千九百七十五（小于四四），为第四条，以第四条，三率乘之，一率除之，得一千七百四十三（小于八六），为第十率，四十九乘之，八除之，九除之，得一千一百八十六（小于七九），为第五条，以第五条，三率乘之，一率除之，得二百九十六（小于六九），为第十二率，八十一乘之，十除之，十一除之，得二百一十八（小于四七），为第六条，以第六条，三率乘之，一率除之，得五十四（小于六一），为第十四率，一百二十一乘之，十二除之，十三除之，得四十二（小于三六），为第七条，以第七条，三率乘之，一率除之，得一十零（小于五九），为第十六率，一百六十九乘之，十四除之，十五除之，得八（小于五二），为第八条，以第八条，三率乘之，一率除之，得二（小于一三），为第十八率，二百二十五乘之，十六除之，十七除之，得一（小于七六），为第九条，诸条相并，得一千零四十七万一千九百七十五，即六十度通弧本数也。
θ=1.0471975, θ=60°
a第一条λ=1 a=λ
b一率r=1 b=r
c二率λ=1 c=1
2 2
d三率λ /41=1/4=0.25 d=λ /4
e四率0.251/1=0.25 e=λd/r
f第二条0.25/23=0.041666666 f=e/23
g六率0.0416666660.25=0.010416666 g=fd/r
h第三条0.0104166669/45=0.0046875 h=9g/45
i八率0.00468750.25=0.001171875 i=hd/r
j第四条0.00117187525/67=0.0006975446428 j=25i/67
k十率0.00069754464280.25=0.0001743861607 k=jd/r
m第五条0.000174386160749/89=0.0001186794705 m=49k/89
n十二率0.00011867947050.25=0.00002966986762 n=md/r
o第六条0.0000296698676281/1011=0.00002184781161 o=81n/1011
p十四率0.000021847811610.25=0.000005461952903 p=od/r
q第七条0.000005461952903121/1213=0.000004236514752 q=121p/1213
s十六率0.0000042365147520.25=0.000001059128688 s=qd/r
t第八条0.000001059128688168/1415=0.0000008523464203 t=169s/1415
u十八率0.00000085234642030.25=0.0000002130866051 u=td/r
v第九条0.0000002130866051225/1617=0.0000001762664932 v=225u/1617
θ=a+f+h+j+m+o+q+t+v
=λ+e/23+25i/67+49k/89+81n/1011+121p/1213+169s/1415+225u/16*17=
=1+0.041666666+0.0046875+0.0006975446428+0.0001186794705+0.00002184781161
+0.000004236514752+0.0000008523464203+0.0000001762664932
=1.048265618
θ=60°
3 3 2 3 2 2
λ 1 λ λ 1 9 λ λ λ 1 9 25
θ=λ+ + +
4 23 4 4 23 45 4 4 4 23 45 67
3 2 2 2
λ λ λ λ 1 9 25 49
+
4 4 4 4 23 45 67 89
3 2 2 2 2
λ λ λ λ λ 1 9 25 49 81
+
4 4 4 4 4 23 45 67 89 1011
3 2 2 2 2 2
λ λ λ λ λ λ 1 9 25 49 81 121
+
4 4 4 4 4 4 23 45 67 89 1011 12*13
当0<θ≤45°时
3 5 7 9
λ 1 λ 9 λ 225 λ 11025
θ=λ+ + + +
4 6 16 120 32 5040 64 362880
11 13 15
λ 893025 λ 108056025 λ 1826146823
+ +
128 39916800 512 6227020800 2048 13167436900
3 3 2 2n+1
λ 1 λ λ 1 9 λ 1 3344…(2n+1)(2n+1)
θ=λ+ + +…+ n
4 23 4 4 23 45 4 23 45…*(2n+1)
当0<θ≤45°时
3 5 7 9
λ 1 λ 9 λ 225 λ 11025
θ=λ- + - +
4 6 16 120 32 5040 64 362880
11 13 15
λ 893025 λ 108056025 λ 1826146823
+ - 128 39916800 512 6227020800 2048 13167436900
3 3 2 2n+1
λ 1 λ λ 1 9 n λ 1 3344…(2n+1)(2n+1)
θ=λ+ + +…+(-1) n
4 23 4 4 23 45 4 23 45…(2n+1)
π的计算,
圆径求周，以全径（半径即六十度弧之通弧，全径为六十度弧通弦者二）三因之（为六十度通弦者六）为第一条，以第一条，四除之，又二除之，三除之，为第二条，以第二条，九乘之，四除之，又四除之，五除之，为第三条，以第三条，二十五乘之，四除之，又六除之，七除之，为第四条，以第四条，四十九乘之，四除之，又八除之，九除之，为第五条，以第五条，八十一乘之，四除之，又十除之，十一除之，为第六条，以后例推除至，单位而至，以逐条相并，即圆周也。
设如，全径一千万，求圆周。
法以全径一千万，三因之，得三千万，为第一条，以第一条，四除之，又二除之，三除之，得一百二十五万，为第二条，以第二条，九乘之，四除之，又四除之，五除之，得一十四万零六百二十五，为第三条，以第三条，二十五乘之，四除之，又六除之，七除之，得二万零九百二十六（小于三三），为第四条，以第四条，四十九乘之，四除之，又八除之，九除之，得三千五百六十零（小于三八），为第五条，以第五条，八十一乘之，四除之，又十除之，十一除之，得六百五十五（小于四三），为第六条，以第七条，一百六十九乘之，四除之，又十四除之，十五除之，得二十五（小于五七），为第八条，以第八条，二百二十五乘之，四除之，又十六除之，十七除之，得五（小于二八），为第九条，以第九条，二百八十九乘之，四除之，又十八除之，十九除之，得一（小于一一），为第十条，以十条相并，得三千一百四十一万五千九百二十六，即圆周。
a第一条3r=13=3 a=3r
b第二条3/423=0.125 b=a/42
c第三条0.1259/445=0.0140625 c=9b/445
d第四条0.014062525/467=0.002092633929 d=25c/467
e第五条0.00209263392949/489=0.0003560384115 e=49d/489
f第六条0.000356038411581/41011=0.00006554343484 f=81e/41011
g第七条0.00006554343484121/41213=0.00001270954426 g=121f/41213
h第八条0.00001270954426169/41415=0.0000002557039262 h=169g/41415
i第九条0.0000002557039262225/41617=0.00000005287994797 i=225h/41617
j第十条0.00000005287994797289/41819=0.00000001117127556 j=289i/41819
π=a+b+c+d+e+f+g+h+i+j
=3r+a/423+9b/445+25c/467+49d/489+81e/41011+121f/41213+169g/41415+225h/41617+289i/41819
=3+0.125+0.0140625+0.002092633929+0.0003560384115+0.00006554343484+0.00001270954426+0.0000002557039262+0.00000005287994797+0.00000001117127556
=3.141592522
3r 3r 25 3r 25 49
π=3r+ + +
423 423 467 423 467 489
3r 25 49 81
4*2*3 4*6*7 4*8*9 4*10*113r 25 49 81 1694*2*3 4*6*7 4*8*9 4*10*11 4*14*153r 25 49 81 169 2254*2*3 4*6*7 4*8*9 4*10*11 4*14*15 4*16*173r 25 49 81 169 225 2894*2*3 4*6*7 4*8*9 4*10*11 4*14*15 4*16*17 4*18*1923r 3r 25 3r 25 49 (2n+1)
π=3r+ + + +…+
423 423 467 423 467 489 423 …42n*(2n+1)
此六通弦，求六通弧也，其不用连比例者，六十度通弦与半径等，则每率皆等无用比例也，
每条多，一四除之者，即不用连比例，则第三率之四除以，为每次第三率者，分用于每条中也，盖求通弦，通弧之于第三率，先用四除原，即每条各用之四除，总用之于第三率也。以上诸法，无论弧之大小，按法求之，皆得真数，若弧过六十度者，可以余弧求得，余弦乃用勾股法求得，正弦，若弧在三十度以外，至六十度者，求之之条数，渐多，尚若其繁，则又有借弧借弦之法。
求周径密率捷法，译西士杜德美法。
割圆旧术，屡求勾股至精至密，但开数十位之方，非旬日不能辩，今以圆内六等边，别立乘除之数，以求之得之，顷刻与屡求勾股者无异，故称捷焉。
先将一三五七九等数，各自乘为屡次乘数，如一自乘仍得一，为第一乘数，三自乘得九，为第二乘数，以至二十三自乘，得五百二十九，为第十二乘数，又将二三四五六七八九等数，以挨次两位相乘，又以四乘之，为屡次除数。
如二三相乘，得六，以四除之，得二十四，为第一除数，四五相乘，得二十，以四乘之，得八十，为第二除数，以至二十四与二十五相乘，得六百，以四乘之，得二千四百，为第十二除数。
设径二十亿，求周（径位愈多，尾数愈密，兹以十位为例）, 法以径二十亿，三因之，得六十亿（即圆内六边形），为第一数，为实以第一乘数乘之，（一乘其数不变），第一除数（二十四）除之，得二五零零零零零零零，为第二数，又为实以第二乘数（九）乘之，第二除数八十除之，得二八一二五零零零，为第三数，累次乘除至所得一位为止，（去单位以下之零数不用）, 乃并之，得六二八三一八五二九九，即所求二十亿之周也。
a第一数3r=23=6
b第二数61/24=0.25
c第三条0.259/80=0.028125
d第四条0.02812525/168=0.004185267857
e第五条0.02812549/288=0.0007120768229
f第六条0.000712076822981/440=0.0001310868697
g第七条0.0001310868697121/624=0.00002541908851
h第八条0.00002541908851169/840=0.000005114078522
i第九条0.000005114078522225/1088=0.000001057598959
j第十条0.000001057598959289/1368=0.0000002234255111
k第十一条0.0000002234255111316/1680=0.00000004800988661
m第十二条0.00000004800988661441/2064=0.00000001025792635
n第十三条0.00000001025792635*529/2400=0.00000002261017934
2π=a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+m+n=6+0.25+0.028125+0.004185267857+0.0007120768229
+0.0001310868697+0.00002541908851+0.000005114078522+0.000001057598959
+0.0000002234255111+0.00000004800988661+0.00000001025792635+0.00000002261017934
=6.283022345
3r 3r 9 3r 9 25
π=3r+ + +
24 24 80 24 80 168
3r 9 25 49
24 80 168 2883r 9 25 49 8124 80 168 288 4403r 9 25 49 81 12124 80 168 288 440 6243r 9 25 49 81 121 16924 80 168 288 440 624 8403r*1*1 3r*1*1 3*3 3r*1*1 3*3 5*5
π=3r+ + + +…+
234 234 454 234 454 674 (n+1)(n+2)*4
3r*n*n (n+2)(n+2) (n+4)(n+4) (n+2k)(n+2k)
+…+
(n+1)(n+2)*4 (n+3)(n+4)*4 (n+5)(n+6)*4 (n+k+1)(n+k+2)*4
论曰，乘除俱至单位止，今设十位之径，须乘除十二次，始至单位，若位数多，则所用乘除之数，必须按位增加也。
弧线表
度、分、秒化弧度表
度
1，0.017453292519943
2，0.034906585039886
3，0.052359877559829
4，0.069813170079773
5，0.087266462599716
6，0.104719755119659
7，0.122173047639603
8，0.139626340159546
9，0.15709632679489
10，0.174532925199432
分
1，0.000290888208665
2，0.000581776417331
3，0.000872664625997
4，0.001163552834662
5，0.001454441043328
6，0.001745329251994
7，0.002036217460660
8，0.002327105669325
9，0.002617993877991
10，0.002908882086657
秒
1，0.000004848136811
2，0.000009696273623
3，0.000014544410432
4，0.000019392547244
5，0.000024240684055
6，0.000029088820866
7，0.000033936957677
8，0.000038785094488
9，0.000043633221299
10，0.000048481368111
注：90°=1.570796226794896，
59°=50.174532925199432+90.017453292519943=1.029744258，
立表之法
置全周密率为实，以三百六十度，除之，得每度之弧线，屡加之至十度，又置一度之弧线为实，以六十分除之，得一分之弧线，屡加之至十分，又置一分之弧线为实，以六十秒除之，得一秒之弧线，屡加之至十秒，表而列之，为求弦矢之用。
求弦矢捷法
弧矢，割圆之术，有弧背，即可以求弦矢，然非密率大，测割圆之法，理精数密，然不能随度，以求弦矢，今任设畸零之弧，分，度，不必符乎，六宗法不必依乎，三要而弦矢可得，且与密率无殊焉，斯诚术之奇而捷者。
设弧二十一度一十九分五十一秒，（半径八位），求其正弦，
21°19`51``=0.34906585+0.01745329+0.0029088+0.00261799+0.0002424+0.0000484
=0.37229325
法于弧线表内，取二十度一十九分五十一秒之弧线，而并之得三七二二九三二五（因半径八位，故弧线亦之用八位），为设弧之，其分自乘得一三八六零二二六（亦只用八位），为屡乘数，又以二三四五六七之六数相挨，两两相乘为除数，（如二三相乘，得六，为第一除数，四五相乘，得二十，为第二除数，六七相乘，得四十二，为第三除数），即用设弧，其分为第一得数，复为实，以屡乘数乘之，（凡乘出之数，截去末八位后，放此），第一除数六除之得八六零零一一，为第二得数，又为实，以屡乘数乘之，第二除数十二除之，得五九五九，为第三得数，又为实，以屡乘数乘之，第三除数四十二除之，得一十九，为第四得数，乃以第一得数与第三得数相并，又以第二得数与第四得数相并，末以后并数，减前并数，余三六三七五二五四，截去末一位，即所求之正弦也。（凡正弦俱小于半径，人算时，多用一位以齐尾数，故得数后，亦截去一位，也后放此，）
21°19`51``=0.37229325
2
a第一数0.37229325*0.37229325=0.138602264 a=θ
3
b第二数0.1386022640.37229325/6=0.008600114554 b=θ /6
c第三数0.0086001145540.138602264/20=0.00005959976739 c=ab/20
d第四条0.00005959976739*0.138602264/42=0.0000001966824451 d=ac/42
sin0.37229325
=0.37229325+0.0005959976739-0.008600114554-0.0000001966824451=0.364288936
3 3 2 3 2 2 3 2 2 θ θ θ θ θ θ θ θ θ
sinθ=θ- + - +…-(-1) …
23 23 45 23 45 67 (n+1)(n+2) (n+3)(n+4)…(n+k)(n+k+1)
16°27`43``=0.17453292519+0.10471975511+0.0581776417+0.203621746+0.0019392547+0.0001454441=0.28731513181
法取，设弧度分秒之弧线而并之，得二八七三一五一三（因半径九位，故弧线亦用九位），为设弧之其分自乘，得八二五四九九八五零，为屡乘数，又用二三相乘之六，为第一除数，四五相乘之二十，为第二除数，六七相乘之四十二，为第三除数，即用设弧其分为第一得数，复为实以屡乘数乘之，第一除数六除之，得三九五二九七六为第二得数，又为实以屡乘数乘之，第二除数十二除之，得一六三一五，为第三得数，又为实以屡乘数乘之，第三除数四十二除之，得三二，为第四得数，乃以第一得数与第三得数相并，又以第二得数与第四得数相并，复以后并数减前并数，余二八三三七八四三九，截去末一位，即所求之正弦也。
16°27`43``=0.28731513181,
2
a第一数0.28731513181*0.28731513181=0.08254998497 a=θ
3
b第二数0.287315131810.08254998497/6=0.00395297664 b=θ /6
c第三数0.003952976640.08254998497/20=0.00001631591 c=ab/20
d第四条0.00001631591*0.08254998497/42=0.00000003207 d=ac/42
sin0.28731513181=0.08254998497+0.00001631591-0.00395297664-0.00000003207
=0.283378439
第八部分惠更斯公式和契贝塞夫法则
如图1所示在单位圆O中，圆O的半径是1，AB是圆O上的一段弧，OM是角AOB的角平分线，OM和圆O交于M，AB是弧AB的弦，MN是弧AB的矢，OM垂直于AB,垂足是N，AB是弧AB的弦，MN是弧AB的矢，OM垂直于AB,垂足是N，L在OM的延长线上，
∠AOB=α，
4
NL=MN
3
根据契贝塞夫法则，
AB =AL+BL=2AL
AN=sinα,，NO=cosα,，MN=1-cosα,，
根据契贝塞夫法则，
LN=MN√4/√3=(1-cosα)√4/√3,，
在直角三角形ANL中，根据勾股定理，
2 2 2
AL =AN +LN
2 2 2
AL =sin α+4(1-cosα) /3,
因为ALB是等腰三角形，所以AL=BL，
2 2 2
BL =sin α+4(1-cosα) /3,
根据契贝塞夫法则，α≈AL+BL
所以，
2 2
α≈2 sin α+4(1-cosα) /3,
2 2 2
α ≈4sin α+4(1-cosα) /3,
2 2 2
3α ≈12sin α+4(1-cosα) ,
2 2 2
3α ≈12sin α+4-8cosα+4cos α ,
2 2
3α ≈8sin α+8-8cosα
2 2
3α ≈8(1-cos α)+8-8cosα
2 2
3α ≈16-8cos α-8cosα
2 2
8cos α-8cosα-3α +16=0
根据一元二次方程求根公式，得
2
ax +bx+c=0,
上面一元二次方程的求根公式是
2
-b± b -4ac
2a
解方程，得
2
8± 64-32(-3α +16)
cosα
16
2
2± 4-2(-3α +16)
cosα=
4
2
2± 4-2(-3α +16) 2
sinα= 1-[ ]
4
2 2
4±2 4-2(-3α +16) +4-2(-3α +16)
sinα= 1-[ ]
16
2 2
8+6α ±2 4-2(-3α +16)
sinα=
4
2 2
8+6α ±2 4-2(-3α +16)
4
tgα=sinα/cosα=
2
2± 4-2(-3α +16)
42 2
8+6α ±2 4-2(-3α +16)
tgα=sinα/cosα=
2
2± 4-2(-3α +16)
例如：tg40°=tg0.698132=0.8391,
2 2 8+6*0.698132 ±2 4-2(-3*0.698132 +16)
tg0.698132=sinα/cosα= ≈0.91371
2
2± 4-2(-3α +16)
下面公式的推导, 可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册,
5）为着同一目的，契贝塞夫(П.Л.Чебышев)曾给出下面的法则：
4
弦长近似地等于作在弦上而高为矢的 倍的等腰三角形两腰之和。
3
如图2所示在单位圆O中，圆O的半径是1，AB是圆O上的一段弧，OM是角AOB的角平分线，OM和圆O交于M，AB是弧AB的弦，MN是弧AB的矢，OM垂直于AB,垂足是N, AM=δ,AB=d, 弧AB的长度为s, ∠AOB=α，根据惠更斯公式，
8δ-d 2δ-d
s=α= =2δ+
3 3
MN=1-cosα, AN=sinα, d=2AN=2sinα,
在直角三角形ANM中，根据勾股定理
2 2 2
AM =AN +MN
2 2
δ =sin α+(1-cosα)
2
δ =2-2cosα,
δ= 2-2cosα
所以,
8δ-d 2δ-d
α= =2δ+
3 3
8 2-2cosα -sinα
α=
3
3α=8 2-2cosα -sinα
2 2
9α =64(2-2cosα)-16sinα 2-2cosα +sin α
2 2
9α -64(2-2cosα)-sin α =16sinα 2-2cosα
2 2 2 2
[9α -64(2-2cosα)-sin α ] =256sin α(2-2cosα)
2 2 2 2
[9α -64(2-2cosα)-1+cos α ] =256(1-cos α)(2-2cosα)
2 2 2 2
[9α -129-4cosα+cos α ] =256(1-cos α)(2-2cosα)
4 3 2 2 2 4 2
cos α-8cos α+(18α -242)cos α+(1032-72α )cosα+81α -2322α +16641
2 3
=512-512cosα-512cos α-512cos α
4 3 2 2 4 2
cos α+504cos α+(18α+270)cos α+(1544-72α )cosα+81α -2322α +16129=0
根据一元四次方程费拉里求根公式
4 3 2
y +ay +by +cy+d=0 (13)
预先代以y=x-a/4化方程(13)为,
4 2
x +px +qx+r=0
上式中, h=-a/4, y=x-a/4,
2 4 3 4 3
p=6h +3ah, r=h +ah +h+d, q=4h +3ah +c,
解得,
p q 2t ± 2t -4( +t + ) 0 0 2 0 2 2t 0
y=x-a/4= -a/4
2
其中,
3
3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)
t = + +
0 2 4 27
3 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)
- + 2 4 27
解上面的一元四次方程式，得
p q 2t ± 2t -4( +t + ) 0 0 2 0 2 2t 0
cosα=x-a/4= -a/4
2
其中,
3
3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)
t = + +
0 2 4 27
3 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)
- + 2 4 27
上式中, h=-a/4, y=x-a/4,
2 4 3 4 3
p=6h +3ah, r=h +ah +h+d, q=4h +3ah +c,
2 4 2
a=504, b=18α+270, c=1544-72α , d=81α -2322α +16129,
可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第二卷第二分册
398.对数的计算
由上面的推导可知
ln n
log n=
a ln a
因为,
lnn
log n=
10 ln 10
log n=0.4329*ln
10
因为,
ln n
log n=
a ln a
所以,
lg(1+x) ln e 1 1
lim = = = =0.4343
x→0 x ln 10 ln10 2.3025
因为,
ln n
log n=
a lna
log 6=0.9208
7
ln6=1.7917, ln7=1.9459,
ln6 1.7917
log 6= = =0.9207
7 ln7 1.9459
因为, ln6=1.7917, ln5=1.6094,
ln6 1.7917
log 6= = =1.11327
5 ln5 1.6094
由数学归纳法可得
lgn
ln n=
lge
ln6=1.791759, lg2.718=0.434294, lg6=0.778151,
lg6 0.778151
ln6= = =1.791
lg2.718 0.434294
由数学归纳法可得
lgn
log n=
a lga
log 6=1.791759
5
lg5=0.69897, lg6=0.778151,
lg6 0.778151
log 6= = =1.11328
5 lg5 0.69897
因为,
lgn
log n=
a lga
所以,
lg(1+x) ln e
lim = =lge=0.4342
x→0 x ln 10
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