实验四用matlab计算积分

实验四 用matlab计算积分 4．1积分的有关理论 定积分：积分是微分的无限和，函数在区间上的积分定义为 其中 从几何意义上说，对于上非负函数，记分值是曲线与直线及轴所围的曲边梯形的面积。有界连续(或几何处处连续)函数的积分总是存在的。 微积分基本定理(Newton-Leibniz公式)：在上连续，且，则有 这个公式表明导数与积分是一对互逆运算，它也提供了求积分的解析方法：为了求的定积分，需要找到一个函数，使的导数正好是，我们称是的原函数或不定积分。不定积分的求法有学多数学技巧，常用的有换元积分和分部积分法。从理论上讲，可积函数的原函数总是存在的，但很多被积函数的原函数不能用初等函数表示，也就是说这些积分不能用解析方法求解，需用数值积分法解决。 在应用问题中，常常是利用微分进行分析，而问题最终归结为微分的和(即积分)。一些更复杂的问题是含微分的方程，不能直接积分求解。 多元函数的积分称为多重积分。二重积分的定义为 当非负时，积分值表示曲顶柱体的体积。二重积分的计算主要是转换为两次单积分来解决，无论是解析方法还是数值方法，如何实现这种转换，是解决问题的关键。 4．2积分的数值方法 梯形法：将划分为若干小区间则 在每一小区间上近似为一直线，用弦代替，有 从而 称为梯形公式。通常将区间等分，， 可以证明，当时由上述公式给出的梯形法是收敛的。 重积分：重积分的数值计算可通过若干次单积分的组合实现，如对于二重积分 先化为二次计分 利用梯形法，先将区间等分，利用梯形积分公式可得 再将区间等分，利用梯形积分公式可得 4．3积分的MATLAB命令 MATLAB中主要用int进行符号积分，用trapz,dblquad,quad,quad8等进行数值积分。 R=int(s,v) %对符号表达式s中指定的符号变量v计算不定积分.表达式R只是表达式函数s的一个原函数,后面没有带任意常数C. R=int(s) %对符号表达式s中确定的符号变量计算计算不定积分. R=int(s,a,b) %符号表达式s的定积分，a,b分别为积分的上、下限 R=int(s,x,a,b) %符号表达式s关于变量x的定积分，a,b分别为积分的上、下限 trapz(x,y) 梯形积分法，x时表示积分区间的离散化向量，y是与x同维数的向量，表示被积函数，z返回积分值。 fblquad(‘fun’,a,b,c,d) 矩形区域二重数值积分，fun表示被积函数的M函数名，a,b分别为x的上、下限，c,d分别为y的上、下限. 可以用help int, help trapz, help quad等查阅有关这些命令的详细信息 例1 用符号积分命令int计算积分. MATLAB代码为： >>clear; syms x; >>int(x^2*sin(x)) 结果为 ans =-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x) 如果用微分命令diff验证积分正确性，MATLAB代码为： >>clear; syms x; >>diff(-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x)) 结果为 ans =x^2*sin(x) 例2 计算数值积分. 先用梯形积分法命令trapz计算积分，MATLAB代码为： >>clear; x=-2:0.1:2; y=x.^4; %积分步长为0.1 >>trapz(x,y) 结果为 ans = 12.8533 实际上，积分的精确值为。如果取积分步长为0.01, MATLAB代码为： >>clear; x=-2:0.01:2; y=x.^4; %积分步长为0.01 >>trapz(x,y) 结果为 ans =12.8005 可用不同的步长进行计算，考虑步长和精度之间的关系。一般说来,trapz是最基本的数值积分方法,精度低,适用于数值函数和光滑性不好的函数. 如果用符号积分法命令int计算积分， 输入MATLAB代码为： >>clear; syms x; >>int(x^4,x,-2,2) 结果为 ans =64/5 例3 计算数值积分,可将此二重积分转化为累次积分 输入MATLAB代码为： >>clear; syms x y; >>iy=int(1+x+y,y,-sqrt(1-x^2),sqrt(1-x^2)); >>int(iy,x,-1,1) 结果为 ans =pi 例4(广义积分) 计算广义积分。 输入MATLAB代码为： >>syms x; >>y=int(exp(sin(x)-x^2/50),-inf,inf); >>vpa(y,10) 结果为15.86778263。 习题16-4 1．(不定积分)用int计算下列不定积分，并用diff验证 ，，，， 2．(定积分)用trapz,int计算下列定积分 ,,, 3．(椭圆的周长) 用定积分的方法计算椭圆的周长 4．(二重积分)计算积分 5． (广义积分)计算广义积分 ,,