【洛谷】P5960 【模板】差分约束算法

题目地址：
https://www.luogu.com.cn/problem/P5960

题目描述：
给出一组包含mmm个不等式，有nnn个未知数的形如：{xc1−xc1′≤y1xc2−xc2′≤y2⋯xcm−xcm′≤ym\begin{cases} x_{c_1}-x_{c'_1}\leq y_1 \\x_{c_2}-x_{c'_2} \leq y_2 \\ \cdots\\ x_{c_m} - x_{c'_m}\leq y_m\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧xc1−xc1′≤y1xc2−xc2′≤y2⋯xcm−xcm′≤ym的不等式组，求任意一组满足这个不等式组的解。

输入格式：
第一行为两个正整数n,mn,mn,m，代表未知数的数量和不等式的数量。
接下来mmm行，每行包含三个整数c,c′,yc,c',yc,c′,y，代表一个不等式xc−xc′≤yx_c-x_{c'}\leq yxc−xc′≤y。

输出格式：
一行，nnn个数，表示x1,x2⋯xnx_1 , x_2 \cdots x_nx1,x2⋯xn的一组可行解，如果有多组解，请输出任意一组，无解请输出NO。

数据范围：
对于 100%100\%100% 的数据，1≤n,m≤5×1031\leq n,m \leq 5\times 10^31≤n,m≤5×103，−104≤y≤104-10^4\leq y\leq 10^4−104≤y≤104，1≤c,c′≤n1\leq c,c'\leq n1≤c,c′≤n，c≠c′c \neq c'c=c′。

可以把差分约束问题转化为求有向图的单源最短路问题。考虑nnn个点1∼n1\sim n1∼n，想象有一个超级源点000，设xix_ixi是000到iii的最短路长度。对于所有形如xci−xci′≤li,1≤i≤mx_{c_i}-x_{c'_i}\le l_i,1\le i\le mxci−xci′≤li,1≤i≤m的方程，我们可以在建图的时候将ci′c'_ici′向cic_ici连一条长为lil_ili的有向边，并且从000向每一个1∼n1\sim n1∼n的点连一条长000的有向边，那么对于这个图，如果不存在负环的话，可以求出以000为源点的单源最短路长度ddd，即d[i]d[i]d[i]是000到iii的最短路长度，那么这个ddd数组就是原来的差分约束的一组解；如果存在负环的话，说明无解。由于图中有负权边，所以要用SPFA来求最短路。代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;const int N = 5010, M = N;
int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
// cnt[i]是超级源点0到i的最短路边数，不包含0出发的那条边
int dist[N], cnt[N];
bool vis[N];void add(int a, int b, int c) {e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}// 返回是否能求出单源最短路
bool spfa() {queue<int> q;// 不显式建立0到每个点的边，而是直接将每个点入队for (int i = 1; i <= n; i++) {q.push(i);vis[i] = true;}while (q.size()) {int t = q.front(); q.pop();vis[t] = false;for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {int v = e[i];if (dist[v] > dist[t] + w[i]) {dist[v] = dist[t] + w[i];cnt[v] = cnt[t] + 1;// 如果某个点的最短路边数大于n - 1，说明存在负环，返回falseif (cnt[v] > n - 1) return false;if (!vis[v]) {q.push(v);vis[v] = true;}}}}return true;
}int main() {memset(h, -1, sizeof h);scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= m; i++) {int a, b, c;scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);add(b, a, c);}bool found = spfa();if (!found) puts("NO");else for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", dist[i]);
}

时间复杂度O(nm)O(nm)O(nm)，空间O(n)O(n)O(n)。

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