洛谷·【模板】点分树 | 震波【including 点分树

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一、点分树

其实你会点分治的话，点分树就是把点分治时的重心提出来重新连城一棵树。

比如当前点是u，求出子树v的重心root后将root与u连边。如此递归下去，就是一棵点分树。

有什么用呢？因为重构了树的结构，并且保证了深度不超过logn，所以可以把一些极其暴力的操作的复杂度变正确。

比如震波这个题。

二、题解

题意很显然：单点修改和求距某点距离在K以内的所有点的点权和。

借用点分树的性质，我们建树过后考虑如何维护这个暴力（不容易想到算是点分树自带的套路？）。另 $f_{u,i}$ 表示点u在点分树上的子树内距离在i以内的点的点权和。注意，这里可能对 $f_{u,i}$ 产生贡献的点是u在点分树上的子树内的点，但是距离是原树的距离。我们先不考虑修改，如果是询问的话，显然可以用 $f_{u,i}$ 统计一部分的点。但是因为是重构过的，所以有可能有些点还在上面，所以我们要挨着往上走，也就是从u暴力跳到整个点分树的树根去。并且点分树上点在原树上不一定相邻，所以对于当前某个父亲x，所求为距离点u距离为K以内的点的点权和，x的贡献为 $f_{x,K-dis(u,x)}$ 。

到这里就会有个问题：是否存在这样一个被统计到的点v，fa[u]是点分树上u的父亲，路径u->fa[u]->v有重复经过某条边，但依旧在K以内导致v被计算了两次？那必然存在。考虑如何容斥掉这种情况。其实这种重复的情况出现只有当原树上u、v、fa[u]是这样的祖先关系时才会出现（大概？）也就是，v是u的祖先，fa[u]又是v的祖先。这样的话如果会重复遍历，那么点分树上v一定在u的子树内。换言之，我们会重复遍历到v完全是因为在u的时候 $f_{u,K}$ 计算过了一次，在 $f_{fa[u],K-dis(u,fa[u])}$ 又计算了一次。所以减去u子树内对fa[u]的贡献即可。换言之我们再搞一个 $g_{u,i}$ 表示点分树上u的子树内的点到fa[u]距离为i的点的点权和。容斥掉即可。

修改也很容易，因为每个点的点权会影响到的就只有它的所有祖先，是log级别的。暴力跳上去就好。

但是这个题因为求的是前K个，所以需要一个前缀和。这个就用树状数组了，总的时间复杂度多一个log，为nlog^2n。

以及，因为n个点，每个点都有一个树状数组，空间不可能开n^2，所以考虑实际距离应该在size[u]以内，卡着子树大小size[u]开就好。空间复杂度也是nlogn的。（可是我卡着开就全RE了不知道为什么……）

上代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#define maxn 100005
using namespace std;
typedef long long ll;
int read() {int x = 0, f = 1, ch = getchar();while(!isdigit(ch)) {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}while(isdigit(ch)) x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0', ch = getchar();return x * f;
}struct edge {int to, nxt;} e[maxn << 1];
int head[maxn], k = 0;
void add(int u, int v) {e[k] = {v, head[u]}; head[u] = k++;}int n, m, a[maxn];
int dep[maxn], st[maxn << 1][20], num[maxn], tot = 0;
int get_min(int a, int b) {return dep[a] < dep[b]? a : b;}
void dfs(int u, int fa) {st[++tot][0] = u; num[u] = tot;for(int i = head[u], v; ~i; i = e[i].nxt) {v = e[i].to; if(v == fa) continue;dep[v] = dep[u] + 1; dfs(v, u); st[++tot][0] = u;}
}int root, size[maxn], part[maxn], max_part, all_part = 0;
bool vis[maxn];
void get_root(int u, int fa) {size[u] = 1; part[u] = 0; all_part++;for(int i = head[u], v; ~i; i = e[i].nxt) {v = e[i].to; if(v == fa || vis[v]) continue;get_root(v, u); size[u] += size[v];part[u] = max(part[u], size[v]);}part[u] = max(part[u], max_part - size[u]);if(part[u] < part[root]) root = u;
}int sz[maxn], fa[maxn];
vector<int> t[maxn][2];
void slv(int u) {vis[u] = true; sz[u] = all_part + 1;//allpart是求重心的时候算的整个子树大小，但是要+1才行，按理说不该有这么远的点……？QwQt[u][0].resize(sz[u] + 1); t[u][1].resize(sz[u] + 1);//这里+1是因为算上0位置for(int i = head[u], v; ~i; i = e[i].nxt) {v = e[i].to; if(vis[v]) continue;max_part = size[v]; all_part = root = 0; get_root(v, u);fa[root] = u; slv(root);}
}int get_dis(int u, int v) {register int x = num[u], y = num[v]; if(x > y) swap(x, y);register int len = (int)log2(y - x + 1), lca = get_min(st[x][len], st[y - (1 << len) + 1][len]);return dep[u] + dep[v] - (dep[lca] << 1);
}
//两行树状数组
void ist(int u, int op, int x, int w) {x++; for(; x <= sz[u]; x += (x & -x)) t[u][op][x] += w;}
int ask(int u, int op, int x) {x++; int res = 0; for(x = min(x, sz[u]); x; x -= (x & -x)) res += t[u][op][x]; return res;}
void update(int u, int val) {//楼上树状数组，求答案的时候一定记得上界取minfor(int i = u; i; i = fa[i]) ist(i, 0, get_dis(u, i), val);for(int i = u; fa[i]; i = fa[i]) ist(i, 1, get_dis(u, fa[i]), val);
}signed main() {n = read(), m = read(); memset(head, -1, sizeof head);for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();for(int i = 1, u, v; i < n; i++) u = read(), v = read(), add(u, v), add(v, u);dfs(1, 0);root = 0, max_part = part[0] = n; get_root(1, 0);slv(root);//建点分树dep[0] = n + n;for(int i = 1; (1 << i) <= tot; i++) for(int j = 1; j + (1 << i) <= tot; j++) st[j][i] = get_min(st[j][i - 1], st[j + (1 << i - 1)][i - 1]);//O1求LCA，st表for(int i = 1; i <= n; i++) update(i, a[i]);//更新值int ans = 0;while(m--) {register int op = read(), x = read(), y = read();x ^= ans, y ^= ans;if(!op) {ans = ask(x, 0, y);for(int i = x; fa[i]; i = fa[i]) {register int d = get_dis(x, fa[i]);//往上跳。因为点分树距离不单调所以都要求if(y >= d) ans += ask(fa[i], 0, y - d) - ask(i, 1, y - d);}printf("%d\n", ans);} else update(x, y - a[x]), a[x] = y;}return 0;
}

迎评：）
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